下學算法

一、第一学算法全 19972 番号9259 下學算法序 狩野氏図書記 天之高也星辰之遠也古今 之悠久也。測候ヲ以致レ之ヲ推歩ノ 以計レル之ヲ。先而弗違後而奉レテ而奉レテ而奉レフ之。 輿地之廣也錢穀之瑣也有 度有量有二テ權衡一。以節二シ其ノ遠邇 以均其出納民時於レテ民時於レテ是乎可レク 授ク經費於是乎可レシ制非レハ非レク數ニ熟ス 能與之數之爲事也。 哉古人尚レ實不レ崇一ニ虚飾一ヲ以テ凡テ關 倫紀一ヲ。資生養一ヲ者ノ皆莫不二ル皆莫不二ヲ請シ且 習レハ之ヲ故ニ禮樂射御書之文併二 之干數列爲六藝焉世之弊 也。去レ實就レク華ニ文士ノ之常ニ從事ニ從テ事ニ 者ノ誦數ノ者。爾耳。范藻ノ。爾耳。 筆札焉爾耳乃若乗除紐折 之法視以爲胥徒之狼務而 至レ二ル有二テ一把算子一ヲヲ一ヲ不レル知其縦 横一テ者二ノ亦獨何哉若夫レ日ニ運二ク牙 籌一一ヲ利折二テ秋毫者用數之失也。 非二数之罪一ニ也。穗積翁與信。占。 籍伏見夙精二數術二數術二數術一ニ勤辛多年。 造二ル其精微一ニ幸二局テ一書一書一ヲ曰二フ下學 算法近者共子以貫從一ノ子以貫從レテ予ニ受 學テ來テ。請二ノ之ニ序ニ丁也自タヲ知二テ其ノ失一ヲ。 而船蹈一ス其弊亦不不レ諳二ルヿヲ算法鄙一 言何足爲二ニ輕重二二懇辭其記道 而不置今覽其書雖未會其 玄妙而嘉一ヲ而嘉一ト其精詳明備不二 有神二於算學一ニ而專レ心致志亦 學レヲ遺者之所當視像也爲叙二ル 其首云 正德五年乙未十月日 京兆伊藤長胤叙 下学算法 凡例 『売料恭旧氏ノ寄贈会ヲ 以テ購入セル竹精博士 一狩野亭吉氏藤蔵 此書因算法樵談集題辭有闕 有ルルニ行其ノ闕者相レ之行者削之圖 形ノ不レ正者ノ者ノ茲ニ訂レ之 所ノ顕之外省功ノ妙術術間多シ然レト凡一 不レ論二セ功之難易一ヲ唯就二テ其所ニ問而 答之 一巻尾ノ十一款同志ノ某等問レ之ノ故ニ 下学草去 題首ニ各著ス著二姓氏一ヲ予私シ得二其ノ術一ヲテ 此ニ不レ載蓋欲レ使二コト初学者ヲ用二其ノ工 夫耳 下字算法巻之上 城州伏見穂積與信伊助撰 ○算法樵談集九問ノ答術 一問ニ曰問今釣股弦ノ内ニ有二圓径一只云鈎 一弦ノ差ニ乗レ股ヲ得ル数ト与二長弦一和ノ結又云股絃ノ 差ニ乗レ釣ヲ得ル数ト与二短弦及中鈎一和ノ諾円径 幾許 答曰得圓徑其術如左ノ 術ニ曰立天元ノ一ヲ為二圓徑一 糸糸 内減シ二一算ヲ一余名ヲ曰レ東○ 列シ二圓徑一加二ハ二算ヲ一ヲ一名テ曰レ冬 女子 全 ○列二シ只云數一ヲ加二圓徑一ヲ一ヲ 大阪 女子 名テ曰江○列併只云數 鈎 與フ又云數及因ル圓径一ニ東二名テ曰レ支ヤ○列因二ル只 云數ニ一又云數四上内併二圓徑ノ再乘羃ニ答 問與ノ因一圓徑ニ只云數四ニ只云數四餘名テ 曰レ微○列二併円径再自乗ト與一テ圓径冪一名ヲ曰 レ魚ト○列レシ微テ内滅因二。圓径冪一ニ東更ニ一ニ一ニ一ニ ○列二シ江既一ヲ加二因レル冬ニ支貼得ル数以二圓径羃一ヲ乗 一之ヲ名テ曰レ齎ト○列二江町一加二支配名ヲ曰レ佳○列シ 一レ徹ヲ内滅因二圓径冪一ニ因レル東ニ冬太町二余名テ曰レ夜ト○ 列併因レ支ニ徹配廻シテ因二円径羃。因レ東ニ江四反 因二圓径冪ニ一魚二魚二共ニ得テ数名テ曰レ直サ○列併因ル二 齊、幕一佳配與テ因テ因二ル虞霧ニ一灰灰及因ル魚霧ニ一眞貞反二 共ニ得数寄レ左ニ○列レ併因レ佳ク因レル夜ニ真閲典ヲ因 13 レ魚ニ因レレル虞ニニ齊四二共ニ得ル數與レ寄レル左ニ相消ク得開方ノ 式一ヲ一十一乗方ノ法ニ関レ之ヲ是也 二問ニ曰問今鈎股弦ノ内ニ有一圓徑只云鈎 股務ノ三和為レ実ト平方ニ関レ之見商ノ数ト與二巾 鈎四乗羃和諾又云短弦ト與二圓徑相乗 諾其ノ鈎幾許 答曰得レ鈎テ其ノ術如左 術ニ曰立二天元ノ一ヲ為レ鈎ト自乗ヲ加二入シ又云數ヲ名テ名ヲ 曰レ東リ○列レ東ルヿ加二鈎羃一ヲ名テ曰レ冬○列二又云数一 4 以レ冬ヲ乗レ之名ヲ曰レ江○列二 鈎三自乘一ト加二東冪一ヲ名曰 十一丁目 本 □□□□□□□ 鈎 幾 支○列支審一ヲ内減因滅因東 羃羃ニ江閲餘名テ曰レ微○列シ 一因レ東ニテ内併滅因二鈎三 乗羃ニ因東江阪幽因釣四乗羃只云數四 餘名テ曰レ魚ト○列二因レ江ニ微羃一ヲ内減魚鼻二魚冪仁余 名テ曰レ虞○列因レ東ニ微羃上テ内減二内滅二因ニ微ニ魚虹一ニ 名テ曰レ齊ト○列二因レ東ニ齊二仁一一内減レ虞ヲ餘以レ列併 ⑤ 六十 鈎一十乗羃 四段 与ヲ因レ虜ニ又云数更ニ得ル 数二乗レ之寄レ左ニ○列二併釣一十乗羃 三十 二段 興 因齊ニ又云數女ニ得数自乗以冬閲喪之 二十二 与レ寄レ左ニ相消ノ得二開方式ノ式ヲ三十九乗方法ニ 之是也 三問ニ曰問今釣股弦ノ内ニ有二空圓徑只云 外余ノ積諾又云鈎股核別々ニ為レ実リ平方ニ 開レ之ヲ見商數三和ノ諾開二弦ヲ平方ニ之見商ノ 数幾許ノ g 成 答曰得二私ノ商一ヲ其術如左 術ニ曰立天元ノ一ヲ為二秡ノ商ト一ヲ以減 云和一テ余名テ目東ト○列二圓積率 空円径 四ノ内減二シ一算一ヲ餘名テ曰レ冬○列 絃ノ商一ヲ自乗ツ為レ移リ加二東羃一ヲ曰 鈎 レ江ト○列東ヲ内減二抜商一ヲ余自乗ノ 以二云和羃一ヲ一乗レ之名ヲ曰レ支○列二因レ按ニ支配内 滅因江ニ外積関餘以上於既與因レ冬江冬江冬江冬江冬江冬江冬江安和 乗レ之寄レ左ニ○列二併レ冬ニ支配与ヲ与テ外積ノ由 得レ數自乗ノ廻レ寄レ左ニ相消ノ得二開方得二開方式二五乗方ノ 法開之是也 四問ニ曰問今釣股弦ノ内ニ有圓径及方面 只云鈎再自乗ヲ得ル數ト與二短我再自乗ノ得 數及圓徑再自乗ノ得ル數三和ノ諸又云方 面数不レ及二於私数一ニ於幾許 答曰得教ヲ其ノ術加左 術ニ曰立二天元一ヲ一ヲ爲レ法ト内滅レ云差一ヲ餘為レ万倍ノ レ之得数ニ加レ於テ名テ曰レ東○列二シ東畧ノ東霧ヲ一内減因レル 四 十一十一余名テ曰レ冬○列二併只云 数女典二ヲ放ク再自乗四一共得内 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ □□ 方面 圓徑 鈎 函 減レ因二ル因一方記ニ一方記テ曰江○ 列レ冬ヲ加二因ルニ云茲ニ云差配名ヲ曰レ支 ○列江ヲ加二方再乗冪ヲ加二方再乗羃ヲ曰レ微 ○列因レ方ニ江誕一内二レ滅因レシ冬ニ支与二二テ因レ私ニ方ノ 再乗羃餘名テ曰魚○列併弦羃方支相乗 一與ノ方冬支相乗関二共得ル内減二因レハ冬江一ヲ 名ヲ曰レ虞ト○列二微冪一ヲ内減二因レ教ニ因レル東魚ヲ餘名テ 〇 川 曰レ齊ト○列二ル松ノ再乗響ニ一支霧興因冬虞 名ヲ目レ佳ト○列併因レ按ニ因レル支ニ微既ニ既二ヲ因レル冬魚二 共レ得内減二因レ東ニ虞一ヲ餘名ニ曰夜○列二○二二因二ハ於、羃一ニ 灰内減因方佳仁餘以因税灰因方 齊題和テ乘レノ之寄レ左ニ○列レ佳ヲ加二入ル因レ私ニ齊一ヲ一ヲ共ニ 得レ数自乗ヲ以レ眩ヲ参レ之輿レ寄レ寄スル左相消テ得二開方ノ 式ヲ一十四乗方法開レ之是也 五問ニ曰問テ釣股弦ノ内ニ有二空方面一只云方ノ 外餘ノ積結又云方面股相乗ノ而得ル数與 鉤再乗幕及弦再乗幕三位和ク諸方面 幾許 答曰得二方面一ヲ其術如左ノ □ 術ニ曰立天元ノ一ヲ一ヲ為レ方ト自乗ノ加二 入シ外積一ヲ共ニ得ル数倍レク之ヲ名テ曰レ東ト ○列東冪一ヲ内併滅方ノ内併滅方ノ再乘羃ト 空方面 與ヲ因二ル方羃一ニ東上餘名テ曰レ冬○列シ上 鉄 因二リ東羃ニ一外積□内減因二角 乗羃一ニ又云數二餘名テ曰レレレ江○列二因二東再乘羃一ニ 山 六十 外積再乗冪、 外積再乗冪六十上内減二シ江羃ヲ一ヲ餘名テ曰レ支サ曰 列二因レル東ニ冬羃一ヲ内減二因レ冬ニ江霞ヲ餘以二方羃東 冬江相乗既興因東ニ支受東ヲ支配ノ之寄左ニ○ 列レ支ヲ加入因二方羃ニ因レ東ニ冬羃ニ冬羃一ヲ共ニ得數自乘ノ 與レ寄レ左ニ相消ク得二関方式一ヲ二十三乗方ノ法ニ開 之是也 六問曰問今有九乗而塚果子及方切 子各一只云九乗菓子筒積與方切子 一百丁十万零八千六百六 立積一共和 十八箇八五六一八零八二 22 又云方切子面數不レ及於九乘果子底 二 此法為何 子面 箇 原丈従約ニ不挙員数一員一一シ然幼学或ノ有二易 レ迷者一故ニ不レ厭二其詞ノ之繁ヲテ今審ニ出スレ之ヲ第 九問亦傚之 答曰 方切子面二寸 果子底子面四箇 術ニ曰立二天元ノ一ヲ一為二切子面一加二入シ云差一ヲ為二果 六十 子底子面一ト名テ○東西東区東四乗幕一 五十 東八乗羃 五段 六段 三十 東九乗冪 三段 東一十乗 19 冪跡右五位相併テ共ニ得ル内併二滅東再乗霧 三十 三段 六十 與東六乘羃 六段 余為六十六段果 六十 餘自乘ノ寄レ左ニ○列二 六段 二万四千 切子面五乗羃 二百段 與寄左相消ノ得 開方ノ式式ニ二十一乗方ノ法ニ関レ之ヲ得二切子面ヲ加二 差得二果子底子面一ヲ是也 七問ニ曰問今有二蕎麦形及七乗ノ而塚ル果 子各一只云七乗而塚果子箇積與蕎 変形立積共ニ和ノ塔又云七乗ノ梁果子底 24 子面ヲ為レ実ト平方ニ開レ之ヲ見商ノ数ト与二蕎麦形 不用蕎麦形之 方面一共ニ和メ諾此法為何ト 積定率而可答 術、 答曰其ノ術如左 術ニ曰立天元ノ一一為二蕎麦形方面一以減二又云 数一余自乗ノ為二果子底子底子面ト名テ曰レ東○東再 四十 六十 東七乘羃 乗霧院十東六乗冪跡ナ東七乗幕四十五貫 段 五段 東八乘冪閾十右四位相併共得内併滅 四十 東 十一余為九十段ノ果子 二段 25 積一以減レ只云数 積一以減二シ只云數九十餘自乘ヲ得ル數倍ノ數倍ノ之ヲ寄一 二百二 左○列蕎麦形方面五乗霧 十五段 與寄 ノ左ニ相消ヲ得二開方ノ、式ヲ式テ三十五乗方ノ法ニ開レ之ヲ得二 蕎麦形方面一ヲ以減二又云数一ヲシテ餘自乗ソ得二果子 底子面是也 八問ニ曰問今有立方不知段数只云立 方面数和メ諾又云立方積和メ諸別ニ云古 方毎面差諾段数幾許 答曰得二段數一ヲ其術如左ノ 同 術ニ曰立天元一ヲ為二叚數三自乗一ト三自乗ヲ以二因二只云 散一ニ別ニ云數羃アリ乘レ之得数加入口云數再乗 冪四寄レ左ニ○列レ併又云數四號ノ因二口ハ云數一 別ニ云數羃聞聞共テ得ル數以二叚數羃乘之與寄 レ左ニ相消メ得二開方式ヲ一三乗方ノ法ニ関レ之是也 九問ニ曰問今有二銀二十五貫目限ノ四年ヲ 而貸之於他不レ知二其人数只云分元銀一ヲ只云分元銀一ニ元銀一ヲ 各齊等ニ至二ニ於年期一ニ収銀ヲ観テ銀ヲ観レハ之則増加至二 四十二貫三百七十 九匁九分八三二二 而テ又云毎家ノ利ノ差 三草章六 二分別ニ云併二テ毎家不同ノ之年利ヲ一ヲ七割割ヲ 此ノ方稱テ十分 毎年息 者 割 一為一割 人数幾許 又加息 一一割 二一割二分 答曰得人数一テ五人利三一割四分 四一割六分 五一割八分 術ニ曰立天元一ヲ一ヲ為二人数一加二入二入レ別ニ云数一名曰 レ東リ○列二シ人数一ヲ三自乗ノ内減二人数羃一ヲ餘名チ曰 一百 レ冬○列悦東冪冬又云數羃相乗 與 廿段 人数三乗冪冬又云數三乗羃相乗距及 東三乗羃 二百四 十段上 共得ノ内減因人数羃ニ因ル レ冬又云數三乗幕七餘以二原銀ヲ一乗レ之寄左ニ ○列因人数三乗羃只云數三 二百四 与寄 十段ヲ 左ニ相消ノ得二開方、式一ヲ七乗方ノ法ニ関レ之是也 ー学算法巻之上ル 織 28 下学算法巻之下 此巻為二ニ初学ノ設二十一問一ヲ以テ為下後来精術ノ 者下二ノ工夫一ヲ之資上蓋欲レ使二使二学者ヲ加二勉励ノ 之功ヲ一也 ○第一問 攝州難波鹽田一胤長左衞門 問有客入市ニ而糴二糯米粳米粳米粳米黒豆白豆蕎 麦之五品其毎碩價糯米四十四匁粳 米ハ四十一匁黒豆ハ三十八匁白豆ハ三十 四匁蕎麦ハ二十匁也乃粳米直銀ハ増二於 如一 糯米ノ直銀一ニ外五割 加半 黒豆ノ直銀多於 粳米ノ直銀一リ二十貫目黒豆ヲ直銀ニ取二四分ノ 之三一ヲ為二白豆ノ直銀一倍二倍二テ白豆ノ直銀一ヲ為二蕎麦ノ 直銀一ト矣或ノ間二貯銀若干一ヲ客莞爾ク而對テ曰 不レ満丁銀二百万枚ニ 一枚当四 十三匁 密語其 八十八分 碩下有奇一ヲ曰糯米 碩之一 粳米 百六 十四 分碩之 百零三 黒豆 一百五十二分一 硯之一十二 白豆 五百 四十 四分硯之三 百五十三 蕎麦 一百六十 分碩之一 冀聞五件 各幾許ノ ○第二問 攝州難波垂見一隆太右衞門 問今有方台一所立積三百三十六萬零 九十二尺只云如圖截上立積二十一、 萬零五百零四尺。竪上ノ方下ノ方及高冬 自二ノ上ノ方ノ中心而 幾許 至ヲ于截徑ノ中心ニ 名テ為レ竪ク自二上リ方ノ中心 而至テ于下方ノ中心名 為高而竪ノ短如上 上リ方ノ短キレ如二下方一下方一下方 下学学法 一世帯一 短キ如モレ高其ノ差各一般 31 ○第三問 摂州難波井開知辰十兵衛 問周天三百六十五度四分度ノ之一也今一 有二甲乙丙丁戊ノ五星一共ニ會二フ于同度ニ其ノ運一 旋也如二環ノ無レ端只云五星一目ノ之行各一 不レ齊甲星ハ二十八度一十六分度ノ之一 十三。乙星ハ一十九度四分度ノ之一ニ丙星ノ 一十三度一十二分度ノ之五ル丁星ハ一十 道 一度七分度ノ之一ニ戊星ハ二度九分度之 七幾日ヲシテ而再二会于問度耶 ○第四問 摂州難波大島喜侍忠右衛門 問今有二不等只云西長再乗羃與中ノ兵 西長 再乗冪一レ二二千一百 中長 四十九尺 八分尺 之七 又云西ノ長 再乗寨ト与二東ノ長再乗羃保之 東長 共得二九千七百二十八尺東 貞享保 一牽二索ヲ於自テ乾二而巽自ノ 西及中ノ長幾許 相當ル處即中ノ長是也 坤而艮一ニ其ノ所二テ索ト与ノ索 ○第五問 攝州難波淺海通孝清兵衛 問今有二兄弟不レ知二其ノ数以元銀一十 二貫五百目各齊等分貸之有定期嫡 子ハ一年二男ハ二年三男ハ三年未次第ニ如 此而ノ兄弟各加於二割年利二 毎年息 上に加息 還 之則只云嫡子與末子之元利合之八 貫五百九十三匁 一百二十五分 匁之五十八 又云 右除二ノ伯季一ヲ之兄弟元利合レ之二貫 三百四十二匁 二十五分 匁之八 如クレ此則兄弟 幾人乎 ○第六問 浅海通孝門人 摂州難波西川嘉當與兵衛 問今長平ノ内ニ有二如レ図ノ長平空一外餘ノ積ノ積ノ 七千 八百 四十 尺 又云 戸人只云外ノ長平ノ差 九尺 内長平差 一百一 十九尺 内外長平 幾許 ○第七問 36 浅海通孝門人 摂州難波林定隆治助 問今五角平ノ内ニ有二如レ図ノ五角空一只云外方 面一尺二寸又云矢各一尺二寸五分 川様 内ノ五角方面幾許ヲ 巳下ノ之四問仍二樵リ談九問ノ中第六第 七第八第九問一ニ増二減シ減テ来一問レ之蓋歌レ使ト 童蒙リテ因二前術一開レ之也 ○第八問 浅海通孝門人 城州伏見穂積勝重木工蔵 38 問今有二八乗ノ而塚ル果子及方切子各一尺 云八乗ノ果子箇積リ與二方切子立積一共ニ和 諾又云方切子面数不レ及于八乗ノ果子 底子面一ル面ナノ所 ○第九問 城州伏見穂積之冨平三郎 問今有二蕎麦形及六乗ヲ而塚ル果子各一只 云六乘ノ果子箇積與蕎麦形立積一共ニ和ノ 諾又云六乗ノ塚ル果子成「子面ヲ為レ実ト平方ニ 39 関レ之見商ノ数ト与二蕎麦形方面共ニ和ノ諸其 法為何 ○第十問垂見一隆門 摂州難波橘善善左衛門 問今有立方不知幾戴只云立方面数 禾 七尺三 寸八分 二万九千八 又之立方積知 百一十八歩 一分五 厘二毛 別ニ云立ルカ毎レ面差次第ニ内二割 也如此則方面段数幾許 ○第十一問 一同五十一日同 京兆穂積以前貝善兵衛 問今有二銀二十五貫目一欲レ貸一欲レ貸一商人一故ニ審二シ元 乃又毎 貸之至 銀等数一限二テ五年一ヲ一ヲ一ヲ一ヲ一 息加息 四十八貫 年期一ニ而収レ銀観レ銀観レ銀観レハ至二ル 四百三十 一匁八分 二八四。 只云年利有レ差毎戸二分ニ又 併二毎戸不問ノ之年利一割也所レ貸商 家ノ数及毎戸ノ銀幾許ヲ 下学算法跋 數學之用。其理甚神ニ其術甚妙。 語二其大一則原二於図書之数図書之数一言二其 細ヲ一則包ス二織委抄忽之徴ヲ。古昔聖 人。建二ニ六藝之科一ヲ以教レ入。数居二ル其 一一宜哉然然レト云一響二其云一探二其要一テ其要一ヲ以聞 天人之秘一テ悉二六合之数者不レ為 多ク。是レ其ノ所二以理至ルニシテ漸至ニ漸至ニシテ而 不一易二窺ヒ測一。也吾カ師中西改好風 42 耽リ。夢一ニ。研究有年。嘗テ著著二シ算法績 43 適等ノ集一テ。明二演段之術ヲ一人得ルヿ其利ヲ 居多シ先レ是ヨリ近實年間東武人關 孝和著ス二發微算法一法一。或ルヿ又著シヤ一演段 諺解一ヲ以發二發微之蘊レ然ルヲ。然レル未レ行スル 世一ニ。続適等ノ集大。行二于世一。而シテ後人 知二演改之理一而二書亦得顕于 世一矣。吾友摂人嶋田尚政甚嗜二 数学一ヲ。致仕講究ヲ。得二大ニニ明二先輩未 発之理ヲ一欲考二考二樵談算法中ノ所レ載 九問答術ヲ為テ一書ヲ一書ヲ。以便セモ学ヲ 而未タリ果終予深ク痛ハ焉。追取一リ尚政 之意ヲ。撰テ此書ヲ一以壽二于梓二于梓一将使二 政之意一伝ヘ不朽ニ冀クハ冀クハ冀スル者不シテ咎レテ 之不文ヲレ嘉継キ二尚政之志ヲ述上尚改 之事ヲ一則可也 9259 46 正徳五年乙未秋七月 讃州 穂積興信伊助父跋 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□