幾何原本二二 19819972219681991992200 九州帝國大學理 6619 物理學教室 66640 大學學學校教育學部 九州帝國大學理學 大學工科大學大學校 金 同断 272年/0月2日 數學物理學教室 これはその月二日 国 キヨト 幾一 細井 泰西利瑪寶口譯 呉淞徐光版筆受 5 及5一 及5== 遊 逆。川蔵 *** 和 一〇一一 部3州 学111 学2=九 理2 第一男 凡直角形之兩邊函一直角者爲直角形之矩線 如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此兩邊卽知 戊巳 直角形大小之度今別作戌線已線與甲乙乙 丙各等亦卽知甲乙丙丁直角形大小之度則 戊偕巳雨線為直角形之矩線 1.1..2 第21. 158416 六 細井 幾何原本第二巻之首一 泰西利瑪寶口譯 同同同同同同同同同所同 界説二則 第一界 凡直角形之兩邊函一直角者爲直角形之矩線 如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此兩邊卽知 直角形大小之度今別作戌線己線與甲乙乙 丙各等亦卽知甲乙丙丁直角形大小之度則 戊偕己雨線爲直角形之矩線 6619 物理學教室 6619 理學部 州帝國大學理學』 6619 九州帝國大學理學 大學大科工學校 □□□□□□□□ 10月ニク日 2年/0月ニ 學物理學教室 學物理學教室 全 此例與算法通如上圖一邊得三一邊得四相 乘得十二則三偕四兩邊爲十二之矩數凡直 角諸形之内四角皆直故不必更言四邊及平 行線、止名為直角形。省文也。 凡直角諸形不必全舉四角止舉對角二字卽指全形 如甲乙丙丁直角形止舉甲丙或乙丁亦省文也 第二界 諸方形有對角線者其兩餘方形任偕一角線方形爲聲 折形 甲乙丙丁方形任直斜角作甲丙對角線從庚點作戊 辛 甲ド 丁 甲一 己 関 丑 戊 癸亥 戊 己辛壬兩線與方形邊平行面分本形爲四 壬 方形其辛己庚乙両形為餘方形辛戊己壬 内 乙 二卷界 兩形爲角線方形 雨餘方形任借一 説三六 壬 角線方形為馨折形如辛己庚乙兩餘方形一 角線大形爲聲折形如辛己庚乙兩傍方形 偕己壬角線方形同在癸子丑園界内者是 葵子丑馨折形也用辛戌角線方形、倣此・ 幾河原本第二巻本篇論線計十四題 幾何原本第二卷十 泰西利瑪売口譯 呉淞徐光敗筆受 同同呉淞徐光版筆受 第一題 兩直線任以一線任分爲若干分其兩元線矩内直角形一 與不分線偕諸分線矩内諸直角形并等 解曰甲與乙丙兩線如以乙丙三分之爲乙 丁丁戊戊丙題言甲偕乙丙矩線内直角形 與甲偕乙丁甲借丁戊甲偕戊丙三矩線内 直角形并等・ 論曰試作乙己直角形在乙丙偕等甲之己丙矩線内 作法、于乙界作庚乙、丙界作己丙、兩垂線、俱」 次於丁戊 與甲等爲平行次作庚己直線與乙丙平行一 一卷 兩點作辛丁壬戊雨垂線與庚乙己丙平行 兩點作辛丁壬戊雨垂線與庚乙己丙平行卅其辛 丁與庚乙壬戌與己丙既平行則辛丁與壬戌亦平行。 一巻 而辛丁壬戌與己丙等卽亦與甲等 如此則乙辛 卅四 直角形在甲偕乙丁矩線内丁壬直角形在甲偕丁戊 矩線内戊己直角形在甲借戌丙矩線内并之則三矩一 内直角形與甲偕乙丙兩元線矩内直角形等 能者謂其上能爲 注曰、二卷前十題皆言線之能也。 直角形也、如十尺 線。其上能爲百 其説與算數最近故九卷之十四題 同尺方形之類、 俱以數明此十題之理今未及詳因題意難顯畧用 數明之如本題、設兩數、當兩線。爲六、爲十.以十任三 分之為五為三為二六乘十為六十之一大實與六 乘五爲三十及六乘三爲十八六乘二爲十二之三 小實并等 第二題 一直線任兩分之其元線上直角方形與元線偕兩分線 兩矩内直角形并等、 解曰甲乙線任兩分於丙題言甲乙上直角方形與甲 乙偕甲丙甲乙偕丙乙丙卯矩線内直角形井等。 ・論曰試於甲乙線上作甲丁直角方形從丙 一點作己丙垂線與甲戌乙丁平行一卷其甲 形一卷、 則甲己直角形在甲乙 戊與甲乙既等 。卅四 甲丙矩線内乙丁與甲乙既等則丙丁直角形在甲乙一 丙乙矩線内而此兩形并與甲丁直角方形等 丙十 文論曰試別作丁線與甲乙等其甲乙線既任 自身の上 分於丙則甲乙偕丁矩線内直角形首用 分於丙則甲乙偕丁矩線内直角形 直角方形 甲丁丁 與甲丙借丁丙乙偕丁兩矩線内直角形并等 本篇 11 注曰以數明之設十數任兩分之爲七爲三十乘七 爲七十、及十乘三爲三十.之兩小實與十自之百一 大羃等 第三題 一直線任兩分之其元線任偕一分線矩内直角形與分一 餘線借一分線矩内直角形及一分線上直角方形并 等 丙 解曰甲乙線任兩分於丙題言元線甲乙任 不論甲丙爲 工-丙偕一分線如甲丙矩内直角形不論甲丙爲 楷一分線如甲丙矩内直角形 丁一両 長分爲短分 與分餘丙乙偕甲丙矩線内直角形及甲丙 上直角方形并等、 論曰試作甲丁直角方形從乙界作乙己垂線與甲戌 二卷 平行 可行 卅一 而於戊丁引長之遇於己其甲戌與甲丙等 則甲己直角形在元線甲乙偕一分線甲丙矩内丙丁 與甲丙等則丙己直角形在一分線甲丙偕分餘線丙 乙矩内而甲己直角形與甲丙丙乙矩線内丙己直角一 形及甲丙上甲丁直角方形并等 乙十 丙十一 甲丁丁 又論曰試別作丁線與一分線甲丙等其甲乙 即 線既任分於丙則甲乙偕丁矩線内直角形鴨 甲 件 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 乙偕甲丙矩 丁借甲丙 與丁偕丙乙 階両乙、「 線内直角形、 偕丙乙、 自 甲 丙上直 午年本篇 兩矩線内直角形并等本外 五本篇 角方形 注曰以數明之設十數任兩分之爲七爲三如前圖 則十乘七爲七十・與七乘三之實二十一・及七自之 羃四十九并等、如後圖、十乘三爲三十.與七乘三之 實二十一・及三之羃九并等。 第四題 一直線任兩分之其元線上直角方形與各分上兩直角 方形及兩分互偕矩線内兩直角形并等 解曰甲乙線任兩分於丙題言甲乙線上直角方形與 甲丙丙乙線上兩直角方形及甲丙借丙乙丙乙偕甲 丙矩線内兩直角形并等 戊戌 己 庚 辛 論曰試於甲乙線上作甲丁直角方形次作 丙 乙戊對角線次從丙作丙己線與乙丁平行 遇對角線於庚末從庚作辛壬線與甲乙平 行而分本形爲四直角形卽甲乙戌角形之甲乙甲戊 巻 一巻 夫甲乙戌 兩邊等而甲乙戌與甲戌乙兩角亦等 五 二卷 而甲爲直角卽甲乙戊 形之三角并與兩直角等一冊二而甲爲直角卽甲乙戌 卅二 巻卅一巻卅 甲戌乙皆半直角 依顯丁乙戌角形之丁乙戌 之二系 丁戊乙兩角亦皆半直角則戊己庚外角與内角丁等 一卷 而己戊庚既半直角則己庚戌等為半直 為直角 廿九 巻 角矣角既等則己庚己戌雨邊亦等」 庚辛辛戌亦 六 等 卅四 巻 而辛己爲直角方形也依顯丙壬亦直角方形 一卷 也又庚辛與甲丙兩對邊等 而乙丙與庚丙俱爲 卅四 直角方形邊亦等則辛己爲甲丙線上直角方形丙壬 為丙乙線上直角方形也又甲庚及庚丁雨直角形各 在甲丙丙乙矩線内也則甲丁直角方形與甲丙丙乙 兩線上兩直角方形及兩線矩内兩直角形并等矣 系從此推知凡直角方形之角線形皆直角方形 乙十 丙十 甲上 又論曰甲乙線既任分於丙則元線甲乙上直 角方形與元線偕各分線矩内兩直角形并等 本篇 加船又甲乙偕甲丙矩線内直角形與甲丙偕 丙乙矩線内直角形及甲丙上直角方形并等 「一二 宗本篇一 甲 乙偕丙乙矩線内直角形與丙乙偕甲丙矩線内直角 本篇 『則甲乙上直角方形！ 形及丙乙上直角方形并等 一一一 二一 與甲丙丙乙上兩直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲 丙矩線内兩直角形并等 注曰以數明之設十數任兩分之爲七爲三十之羃 百。與七之羃四十九三之羃九及三七互乘之實兩 二十一并等、 第五題 一直線兩平分之。又任兩分之。其任兩分線矩内直角形 及分内線上直角方形并與平分半線上直角方形等 戊 庚 丑辛 寅 寅1 卵 残 解曰甲乙線兩平分於丙又任兩分於丁其 丁 丙 丙丁線者丙乙所以大於丁 丙丁為分内線 第乙之較又甲丁所以大於甲 丙之較故夏一 ●甲丁丁乙矩線内直角形及 日分内線是 分内線丙丁上直角方形并與丙乙線上直 一条--用角方形等 論曰試於丙乙線上作丙已直角方形次作乙戊對角 線從丁作丁庚線與乙己平行遇對角線於辛次從辛 作壬癸線與丙乙平行次從甲作甲子線與丙戊平行 末從壬癸線引長之遇於子夫丁壬癸庚皆直角方形 一卷 本篇四 癸辛與丙丁兩線 卅四 「而辛丁與丁乙兩線等 之系 等則甲辛直角形在任分之甲丁丁乙矩線内而癸庚 為分内線丙丁上直角方形也今欲顯甲辛直角形及 癸庚直角方形并與丙己直角方形等者於丙辛辛巳 癸卯二乙卯卯并典区己直角大形等者加丙辛辛巳 一巻 每加一丁壬直角方形卽丙壬 相等之兩餘方形 四三、 及丁己兩直角形等矣而甲癸與丙壬兩形同在平行 一巻、 則甲癸與丁己亦等也。卯 線内又底等、卽形亦等、 卅六 又毎加一丙辛直角形則丑寅卯磬折形豈不與甲辛 等次於馨折形又加一癸庚直角方形豈不與丙己直 角方形等也而甲辛癸庚雨形并亦與丙己等也則甲 丁丁乙矩線内直角形及丙丁上直角方形并與丙乙 上直角方形等 注曰以數明之設十數兩平分之各五又任分之爲 三者五所以大於二之較一 八爲二則三爲分内數一 又八所以大於五之較、 八之實十六三之羃九與五之羃二十五等 第六題 一直線兩平分之。又任引増一直線其爲一全線其全線 偕引增線矩内直角形及半元線上直角方形并與半 元線偕引增線上直角方形等 解曰甲乙線兩平分於丙又從乙引長之増乙丁與甲一 庚 壬 丑辛 寅 卯 癸 乙通爲一全線題言甲丁偕乙丁矩線内直 角形及半元線丙乙上直角方形并與丙丁 丙 上直角方形等 論曰試於丙丁上作丙戌直角方形次作丁 己對角線從乙作乙庚線與丁戊平行遇對 角線於辛次從辛作壬癸線與丙丁平行次從甲作甲 子線與丙己平行末從壬癸線引長之遇於子夫乙壬 一卷 癸庚皆直角方形、 之系 本篇四 而乙丁與丁壬兩線等 卅四 癸辛與丙乙兩線等則甲壬直角形在甲丁偕乙丁矩 線内而癸庚爲丙乙上直角方形也今欲顯甲壬直角 形及癸庚直角方形并與丙戌直角方形等者試觀甲 癸與丙辛兩直角形同在平行線内又底等即形亦等 一巻 十五、片艾第一巻川平花垣、四 廿一冊二而丙辛與等戊等 卅六 四三 毎加一丙壬直角形則丑寅卯馨折形與甲壬等夫聲 折形加一癸庚形本與丙戌直角方形等也卽甲壬癸 庚雨形并亦與丙戌等也則甲丁乙丁矩線内直角形 及丙乙上直角方形并豈不與丙丁上直角方形等 注目以數明之設十數兩平分之各五文引増二其 十二二乘之爲二十四及五之羃二十五與七之羃 四十九等 第七題 一直線任兩分之其元線上及任用一分線上兩直角方 形并與元線偕一分線矩内直角形二反分餘線上直 角方形并等 己 丁 辛 解曰甲乙線任分於丙題言元線甲乙上及 一任用一分線如甲丙上兩直角方形并町 不論 甲丙 爲長分 與甲乙偕甲丙矩内直角形二及分 爲短分. 餘線丙乙上直角方形并等 己 庚丑 癸亥 辛 丙 論曰試於甲乙上作甲丁直角方形次作乙 戌封角線巡丙作丙己線與乙丁平行遇対 戊對角線從丙作丙己線與乙丁平行遇對 角線於庚末從庚作辛壬線與甲乙平行夫辛己丙壬 本篇四 二巻 皆直角方形四 而辛庚與甲丙等 即辛己爲 之系 卅四 甲丙上直角方形也又甲戌與甲乙等。卽甲己角形 在甲乙偕甲丙矩線内也又戌丁丁壬與甲乙甲丙各 等卽辛丁直角形亦在甲乙偕甲丙矩線内也夫甲己 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 己壬兩直角形 磬折形 及丙壬直角方形并本與甲 丁直角方形等今於甲己辛丁兩直角形并加一丙壬 直角方形卽與甲丁直角方形加一辛己直角方形等 矣則甲乙甲丙矩線内直角形二反丙乙上直角方形 并與甲乙上直角方形及甲丙上直角方形并等也 注曰以數明之設十數任分之爲六爲四加前圖十 之羃百及六之羃三十六并與十六互乘之兩實百 二十、及四之羃十六等如後圖、十之羃百。及四之羃。 等 十六并與十四互乘之兩實八十及六之羃三十六 第八題 一直線任兩分之其元線借初分線矩内直角形四反分 餘線上直角方形并與元線偕初分線上直角方形等 一解曰。甲乙線。任分於。内題。 解曰甲乙線任分於丙題言元線甲乙借初分線丙乙 不論丙乙為 一同同二十四丁 及分餘線甲丙上直角方 長分爲短分。 庚 丁形并與甲乙偕丙乙上直角方形等、 を論曰試以甲乙線引増至丁而乙丁與丙乙一 等於全線上作甲戌直角方形次作丁己對 二十 戊「 角線從乙作乙庚線與丁戊平行遇對角線 於辛次從丙作丙壬線與甲己平行遇對角 兩線於癸次從辛作子丑線與甲丁平行遇丙 壬於寅末從癸作卯辰線。與戊己平行遇乙 二巻卅一 庚於己其卯壬寅己乙丑俱角線方形。 而卯癸 四之系 二卷 與甲丙兩線等。 即死亡為甲丙上直角方形又寅 卅四 一篇 一辛與丙乙兩線等 辨即寅己爲丙乙上直角方形與 卅四 辛丙乙與乙 乙丑竿 一丁等故 又乙辛辛辛己兩線亦各與丙乙等而 甲辛子己兩直角形各在甲乙丙乙矩線内卽等躬 子辛 與甲 乙等 故 丑寅庚辛戊雨直角形亦各在甲乙丙乙矩線内即 六、寅辛、辛丑。與丙乙乙丁等辛庚。 又笙 入等 一丑戊戌等甲乙之子辛等故、 寅己既與乙丑等 而每加一癸庚即乙丑癸庚拜與寅庚又等是甲辛一 子己二辛戌三乙丑四癸庚五五直角形并爲午未申 馨折形與元線甲乙偕初分線丙乙矩内直角形四等 而午未申馨折形及卯壬直角方形本與甲戌直角方 形等則甲乙乙丙矩線内直角形四及甲丙上直角方 形并與甲乙借丙乙上直角方形等 注曰以數明之設十數任分之爲六爲四如前圖十 六互乘之實四爲二百四十及四之羃十六其二百 五十六與十六之羃等如後圖十四互乘之實四爲 一百六十及六之羃三十六其一百九十六與十四 之羃等 第九題 一直線兩平分之又任兩分之任分線上兩直角方形并 倍大於平分半線上及分内線上兩直角方形并一 解曰甲乙線平分於丙又任分於丁題言甲丁丁乙上 兩直角方形并倍大於平分半線甲丙上分内線丙丁 上雨直角方形并 論曰試於丙上作丙戌垂線與甲丙等次作 甲戌戊乙兩腰次從丁作丁己垂線週戊乙 於己從己作己庚線與甲乙平行遇戌丙於庚未作用 己線其甲丙戌角形之甲丙丙戌雨腰等即丙戊甲丙 二巻 而甲丙戊爲直角即餘兩角皆半 甲戌ノ雨角亦等 一五 二巻卅二巻卅一 直角・ 依顯丙戊乙亦半直角又戊庚己角形之 二之系、 二巻 而庚戊己 戊庚巳角爲戊丙乙之外角卽亦直角 廿九 一卷卅一巻卅 半直角即庚巳戌亦半直角一 二之系 又庚戊己庚己戊 二巻 依顯丁乙己角形 兩角等即庚戌庚己兩腰亦等一卷依顯丁乙己角形 之丁乙丁己兩腰亦等夫甲丙戌角形之丙爲直角即 甲戌線上直角方形與甲丙丙戌線上兩直角方形并一 等一 等 等 巻 四七 而甲丙丙戌上兩直角方形自相等即甲戌上 直角方形倍大於甲丙上直角方形矣又戌庚己角形 之庚為直角即戊己線上直角方形與庚戌庚己線上 第一巻、 両直角方形并等 兩直角方形并等四七五 而庚戌庚已上兩直角方形自 兩直角方形并等一塊而庚戌庚已上兩直角方形自 相等卽戊己上直角方形倍大於等庚巳之丙丁上直 庚己丙丁為丙巳直角形 角方形矣 之對邉故、見一卷卅四. 則是甲戊戊已上 両直角方形并倍大於甲丙丙丁上兩直角方形并也 又甲己上直角方形既等於甲戌戊已上兩直角方形 則甲丁丁 并又等於甲丁丁己上兩直角方形并町七丁 己上兩直角方形并亦倍大於甲丙丙丁上兩直角方 形并矣而丁己與丁乙等則甲丁丁乙上兩直角方形 并豈不倍大於甲丙丙丁上兩直角方形并也 注曰以數明之設十數兩平分之各五又任分之爲 七爲三分内數二其七之羃四十九及三之羃九倍 大於五之羃二十五及二之羃四 第十題 一直線兩平分之又任引増一線其爲一全線其全線上一 及引增線上兩直角方形并倍大於平分半線上及分 餘半線借引增線上兩直角方形并 異解曰甲乙直線平分於丙又任引増爲乙丁一 題言甲丁線上及乙丁線上兩直角方形并 戊戌 倍大於甲丙線上及丙丁線上兩直角方形 年 并 論曰試於、丙上作丙戌垂線與甲丙等、自戊 至用至乙、各作腰線。次從丁作己丁垂線引長之又從 戊乙引長之遇於庚次作戊己線與丙丁平行末作用 庚線依前題論推顯甲戌乙爲直角面丙戌乙爲半直 二卷 一一一相對之戊庚己亦半直角 又己爲直角 廿九 一卷 卅四 巻 一卷 即己戊庚亦半直角 而己戊己庚雨腰必等 卅二 六 依顯乙丁丁庚雨腰亦等夫甲戌上直角方形等於甲 巻 一丙丙戌上雨直角方形并、 丙丙戌上雨直角方形并配七倍大於甲丙上直角 方形而戊庚上直角方形等於戊己己庚上兩直角方 形并． 一卷 一巻 四七 必倍大於對戊己邊之丙丁上直角方形 巻 卅一 叶則甲戊戌庚上兩直角方形并倍大於甲丙丙丁上 兩直角方形并也又甲庚上直角方形等於甲戊戌庚 上兩直角方形并亦等於甲丁丁庚上兩直角方形并 則甲丁丁庚上兩直角方形并亦倍大於甲丙丙丁上 兩直角方形并也而甲丁乙丁上兩直角方形并倍大 丁庚與乙 一於甲丙丙丁上雨直角方形并矣 丁等故 注曰.以數明之。設十數。平分之。各五。又任增三爲十 三、十三之羃一百六十九及三之羃九倍大於五之 羃二十五及八之羃六十四也 第十一題 一直線求兩分之而元線偕初分線矩内直角形與分餘 線上直角方形等 法曰甲乙線求雨分之而元線借初分小線 矩内直角形與分餘大線上直角方形等.先 於甲乙上作甲丙直角方形次以甲丁線兩 平分於戊次作戊乙線次從戌甲引增至己而戊己線 與戊乙等末於甲乙線截取甲庚與甲己等卽甲乙偕 庚乙矩線内直角形與甲庚上直角方形等如所求 論曰試於庚上作壬辛線與丁己平行次作己辛線與 甲庚平行其壬庚與丙乙等卽與甲乙等而庚丙直角 形在甲乙偕庚乙矩線内也又甲庚與甲己等而甲爲 一卷 今欲顕庚丙 直角卽己庚爲甲庚上直角方形也 卅四 直角形與己庚直角方形等者試觀甲丁兩平分於戊 即丁辛 而引增一甲己是丁己偕甲己矩線内直角形 直角形 及甲戌上直角方形并與等戊己之戌乙上直角方形 等本篇夫戌乙上直角方形等於甲戌甲乙上兩直角 方形并・丁目丁辛直角形及甲戌上直角方形并與 甲戌甲乙上兩直角方形并等矣次各減同用之甲戌 上直角方形即所存丁辛直角形不與甲乙上甲丙直 角方形等乎此二率者又各減同用之甲壬直角形則 所存己庚直角方形與庚丙直角形等而甲乙偕庚乙 矩線内直角形與甲庚上直角方形等也。 注曰、此題無數可解、説見九卷十四題、 第十二題 三邊鈍角形之對鈍角邊上直角方形大於餘邊上兩直 角方形并之較爲鈍角旁任用一邊偕其引增線之與 對角所下垂線相遇者矩内直角形二 甲イ 解曰甲乙丙三邊鈍角形甲乙丙爲鈍角從 餘角如用下一垂線與鈍角旁一邊如丙乙 丙 之引增線遇於丁爲直角題言對鈍角之甲 丙邊上直角方形大於甲乙乙丙邊上兩直 角方形并之較爲丙乙偕乙丁矩線内直角 形二反説之則甲乙乙丙上兩直角方形及 等 丙乙借乙丁矩線内直角形二并與甲丙上直角方形 論曰丙丁線既任分於乙即丙丁上直角方形與丙乙 乙丁上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線内直角形二 并等町一年篇此二率者每加一甲丁上直角方形即丙丁 四 甲丁上兩直角方形并與丙乙乙丁甲丁上直角方形一 三及丙乙階乙丁矩線内直角形二井等也夫甲丙上 直角方形等於丙丁甲丁上兩直角方形并 等於丙乙乙丁甲丁上直角方形三及丙乙偕乙丁矩 線内直角形二并也又甲乙線上直角方形既等於乙 一卷 卽甲丙上直角方形與 四七 甲乙丙乙上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線内直角一 形二并等矣、 第十三題 三邊鋭角形之對鋭角邊上直角方形小於餘邊上兩直 角方形并之較爲鋭角旁任用一邊偕其對角所下垂 線旁之近鋭角分線矩内直角形二 解曰甲乙丙三邊鋭角形從一角如甲向對邊乙丙下 一垂線分乙丙於丁題言對甲丙乙鋭角之甲乙邊上 直角方形小於乙丙甲丙邊上兩直角方形并之較爲 乙丙偕丁丙矩線内直角形二反説之則乙丙甲丙上 兩直角方形并與甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩 線内直角形二并等。 論曰乙丙線既任分於丁。卽乙丙丁丙上兩 直角方形并與乙丙借丁丙矩線内直角形 二及乙丁上直角方形并等体篇此二率者 三及乙丁上直角方形并等本篇此二率者 毎加一甲丁上直角方形即乙丙丁丙甲丁 上直角方形三與乙丙偕丁丙矩線内直角 形二及乙丁甲丁上兩直角方形并等也又甲丙上直 一卷 角方形等於丁丙甲丁上兩直角方形并 即乙丙 四七、 甲丙上兩直角方形并與乙丙偕丁丙矩線内直角形 二、及乙丁甲丁上兩直角方形并等也又甲乙上直角 卷 方形等於乙丁甲丁上兩直角方形并町地即乙丙甲 丙上兩直角方形并與乙丙偕丁丙矩線内直角形二 及甲乙上直角方形并等反説之則甲乙上直角方形 小於乙丙甲丙上兩直角方形并者爲乙丙階丁丙矩 線内直角形二也、 注曰題中止論鋭角形不言直角鈍角形而直角鈍 一卷十 角形中俱有兩鋭角 七卅二 即對銃角邊上形亦同 此論 如第二第 「但三鋭角形所作垂線任用一角面 三圖是 直角形必用直角鈍角形必用鈍角此爲異、耳 直角 鈍角 形不用直角鈍 角不能作垂線一 第十四題 有直線形求作直角方形與之等、 ○法曰甲直線無法四邊形求作直角方 形與之等先作乙丁形與甲等而直角 巻 四五 次任用一邊引長之如丁丙引之 ○至己而丙己與乙丙等次以丁己兩平 戊戌 乙 分於庚。其庚點或在丙點或在丙點之 葢丙己與乙 外若在丙即乙丁是直角方形與甲等矣 丙等又與丙 丁等而餘邊俱相等故乙丁 同若庚在丙外卽以庚爲心 爲直角方形見一巻卅四 丁己爲界作丁辛己半圓末從乙丙線引長之遇園界 於辛即丙辛上直角方形與甲等 論曰試自庚至辛作直線、其丁己線既兩平分於、庚、又 卽乙丁直角 任兩分於丙則丁丙偕丙己矩内直角形 形葢丙己與 乙丙 等故 □及庚丙上直角方形并與等庚己之庚辛上直角 本篇 福夫庚辛上直角方形等於庚丙丙辛上兩 二五 直角方形并町境卽乙丁直角形及庚丙上直角方形 并與庚丙丙辛上雨直角方形并等次各減同用之庚 丙上直角方形則丙辛上直角方形與乙丁直角形等 增題凡先得直角方形之對角線所長於本形邊之較 而求本形邊、 法曰直角方形之對角線所長於本形邊之一 較爲甲乙而求本形邊先於甲乙上作甲丙 直角方形作乙丁對角線又引長之爲丁戊 線而丁戊與甲丁等。卽得乙戊線。如所求・ 論曰試於乙戌作戊己垂線從乙甲線引長之遇於己一 巻 卅一一一印戊己乙 其乙戊己既直角而戊乙己爲半直角一卷即戊己乙乙乙 卅一 亦半直角而戊乙與戊己兩邊等」 亦半直角而戊乙與戊己兩邊等一卷次作己庚與戊 乙平行作乙庚與戊己平行即戌庚形爲戊乙邊上直 角方形也末作戊甲線即丁戊甲丁甲戌兩角等也。 五夫乙戊己丁甲己既兩皆直角試每減一相等之丁 戊甲丁甲戌角即所存己戊甲巳甲戌兩角必等而已 巻 則乙己對角線大於乙戊邊之 戊巳甲雨邊必等 六 較爲甲乙矣此増不在本書因其方形故類附於此 幾何原本第三巻之首 界説十則 泰西利瑪寶口譯 同同同番訳筆受 第一界 凡圜之徑線等或從心至圜界線等爲等爲等圖 三卷將論圜之情故先爲図界説此解図 之等者如上圖甲乙乙丙兩徑等或丁己 戊庚從心至圜界等即甲己乙乙庚丙兩 圖等若下圖甲乙乙丙兩徑不等或丁己 戊庚從心至圖界不等。則兩圖亦不等矣。 第二界 凡直線、切圜界過之而不與界交、爲切線、 丙 甲乙線切乙己丁園之界乙又引長之至 丙。而不與界交。其甲丙線全在園外爲切 線若戊己線先切圜界而引之至庚入圖 内、則交線也、 第三界 凡兩圓相切而不相交爲切圖 甲乙兩圍不相交而相切於丙或切於外如第一圖或 乙 切於内如第三圖其第 二第四圖。則交圖也。 第四界 凡圜内直線從心下垂線其垂線大小之度即直線距心 遠近之度 甲 凡一點至一直線上惟垂線至近其他卽遠 三戊子内 垂線一而已遠者無數也故欲知點與線相 第一行一而已遠者無慙無數也故欲欲點與線相 去遠近必用垂線爲度試如前圖甲點與乙丙線相去 遠近必以甲丁垂線爲度爲甲丁一線獨去直線至近 他若甲戊甲己諸線愈大愈遠乃至無數故如後圖設 甲乙丙丁園内之甲乙丙丁兩線其去戌心 遠近等為己戊庚戌雨垂線等故若辛壬線 去戌心近矣爲戊癸垂線小故 第五界 凡直線割図之形爲図分、 甲乙丙丁園之乙丁直線任割圜之一分如 ・戊・ 甲乙丁及乙丙丁兩形皆爲圜分凡分有三 形其過心者爲半圍分函心者爲園大分不 函心者爲圖小分又割圖之直線爲舷所割圜界之一 分為弧 第六界 凡圜界偕直線内角.爲園分角. 以下三界論図角三種。本界所言雑角 乙 也其在半図分内為半図角在大分内 爲大分角在小分内爲小分角 第七界 凡圜界任於一點出兩直線作一角爲負圜分角一 甲乙丙園分甲丙爲底於圜周乙點出雨直線 作甲乙丙角形其甲乙丙角爲負甲乙丙園分 角. 第八界 若兩直線之角乘圜之一分爲乘圍分角。 甲乙丙丁圓内於甲點出甲乙甲丁兩線其乙 甲丁角爲乘乙丙丁園分角 図角一 三種之外又有一種爲切邊角或直線切圍或兩 園相切其兩園相切者又或内或外如上圖 甲乙線切丙丁戊園於丙即甲丙丁乙丙戌 雨角爲切邊角又丙丁戊己戌庚雨園外相 切於戊及己戌庚己辛壬兩図内相切於己 即丙戊己戊己辛、壬己庚三角俱爲切邊角 第九界 凡從圍心以兩直線作角偕圍界作三角形爲分圜形一 甲乙丙園從戌心出戊甲戌丙雨線偕甲丁 丙園界作角形為分図形 第十界 凡圜内兩負圜分角相等。即所負之図分相似。 甲乙丙丁園内有甲乙己與丁丙戌雨負園 分角等則所負甲乙丁己與丁丙甲戌兩園 分相似 欧戊 子葉 又有兩園或等或不等其 並負圜分角等即圖分倶相 似如上三圖三圖之甲乙 丙丁戊己庚辛壬三負圜分角等卽所負甲乙丙丁戊 相似者如云同為 一己庚辛壬、三図分相似 幾分圜之幾也。 幾何原本第三弐本篇論図計三十七題 幾何原本第三巻。 泰西利瑪売口譯 同同同同同一同一九、一 第一題 有図求尋其心 【法目甲乙丙丁図求尋其心先於図之兩界 法目甲乙丙丁園求尋其心先於園之兩界 任作一甲丙直線次兩平分之於戊一卷次 於戌上作乙丁垂線兩平分之於己卽己爲 図心 論曰如云不然令言心何在彼不得言在已之上下何一 者乙丁線既平分於己離平分不能爲心故必言心在 乙丁線外爲庚卽令自庚至丙至戊至甲各作直線則 甲庚戌角形之甲戌既與丙庚戌角形之丙戌雨邊等 戊庚同邊而庚甲庚丙兩線俱從心至界宜亦等即對 一卷 而爲兩直角 等邊之庚戌甲庚戌丙雨角宜亦等 一八 等過之庚戌甲庚戌丙雨角宜亦等に兎而爲雨直角 二巻界二巻 矣も 矣 矣説十 説十 那夫乙戊甲既直角而庚戌甲又爲直角可不 可也 系因此推顕図内有直線分他線為兩平分而作直角 即國心在其内 第二題 園界任取二點以直線相聯則直線全在圜内一 解曰甲乙丙圖界上任取甲丙二點作直線 相聯題言甲丙線全在園内 論曰如云在外若甲丁丙線令尋取甲乙丙 本篇 図之戊心 卅次作戌甲戌丙雨直線次於甲丁丙線 上作戊乙丁線而與圜界遇於乙即戊甲丁丙當爲三 角形以甲丁丙爲底戊甲戌丙兩腰等其戌甲丙戊丙 巻 甲兩角宜等 而戌丁甲為戊丙丁之外角宜大於 五 一卷 一戊丙丁角卽亦宜大於戊甲丁角 則對戊丁甲大 十六 □□□□□□□□□ 一巻 巻 角之戊甲線宜大於戊丁線矣 夫戊甲與戊乙本 十九 同図之半径等據如所論則戊乙亦大於戊丁不可通 也若云不在図外面在圜界依前論令戊甲大於戊乙 亦不可通也、 第三題 直線過圖心分他直線爲兩平分其外處必爲兩直角爲 兩直角必兩平分 解曰乙丙丁園有丙戊線過甲心分乙丁線 丙丁 戌爲兩平分於己題言甲己必是垂線而己有 爲兩直角又言己有既爲兩直角則甲己分 乙丁必雨平分 先論曰試從甲作甲乙甲丁兩線即甲乙己角形之乙一 己與甲丁己角形之丁己兩邊等甲己同邊甲乙甲丁 兩線俱從心至界又等即兩形等則其對等邊之甲己 乙甲乙丁・亦等・ 巻 八 而爲兩直角矣、 後論曰如前作甲乙甲丁兩線甲乙丁角形之甲乙甲 丁兩邊既等則甲乙丁甲丁乙兩角亦等一卷又甲乙 己角形之甲己乙甲乙己兩角與甲丁己角形之甲己一 丁甲丁己兩角各等面對直角之甲乙甲丁兩邊又等 二巻 則己乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙 廿六 欲顯次論之旨又有一說 『廿六匁 如甲丁上直角方形與甲己己丁上兩直角方形并等 一巻 而甲乙上直角方形與甲己乙己上兩直角方形 四七 并亦等即甲己己乙上兩直角方形并與甲己己丁上 兩直角方形并亦等此二率者毎減一甲己上直角方一 形則所存乙己己丁上兩直角方形自相等而兩邊亦 等 第四題 圜内不過心兩直線相交不得俱爲兩平分 解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁兩直線俱不過己心 若一過心、一不過心、即兩線 而交於戊題言兩直線或 不得俱爲兩平分其理易顯 有一線爲兩平分不得俱爲兩平分 論曰若云不然而甲乙丙丁能俱兩平分於 本篇{ 戊戌試令尋本園心於己本篇編從己至戊作甲 乙之垂線其己戊既分甲乙爲兩平分卽爲 本篇 両直角 而又能分丙丁爲兩平分亦宜爲兩直角 二一 是己戊甲為直角而己戊丙亦直角全與其分等矣、 第五題 兩圖相交必不同心 解曰甲乙丁戊乙丁兩園交於乙於乙於丁題言 兩圖不同心 論曰、若言丙爲同心令自丙至乙至甲各作 直線其丙乙至圖交。而丙甲截兩圖之界於戊於甲、夫 丙既爲戊乙丁圍之心則丙乙與丙戌等而又爲甲乙 丁図之心則丙乙與丙甲又等是丙戌與丙甲亦等而 全與其分等也、 第六題 兩圜内相切必不同心 解目甲乙丙乙兩園内相切於乙題言兩圖 不同心 論曰若言丁爲同心令自丁至乙至丙各作 直線其丁乙至切界而丁丙截兩圍之界於甲於丙夫一 丁既爲甲乙園之心。則丁乙與丁甲等而又爲丙乙園 之心則丁乙與丁丙又等是丁甲與丁丙亦等而全與、 其分等也。 第七題 園徑離心任取一點從點至圖界任出幾線其過心線最 大不過心線最小餘線愈近心者愈大愈近不過心線 一者愈小、而諸線中.止兩線等. 解日甲丙丁戊乙園其徑甲乙其心己離心 任取一點爲庚從庚至園界任出幾線爲庚 丙庚丁庚戌題先言從庚所出諸線惟過心 庚甲最大次言不過心庚乙最小三言庚丙大於庚丁 庚丁大於庚戌愈近心愈大愈近庚乙愈小後言庚乙 兩旁、止可出兩線等。 先論曰試從己心出三線至丙至丁至戌其丙己庚角 一巻 而丙己己 形之丙己己庚雨邊并大於丙庚一邊 二十 庚等於甲己己庚則庚甲大於庚丙依顯庚丁庚戌俱 小於庚甲是庚甲最大 次論曰己庚戌角形之己戌一邊小於己庚庚戌雨邊 并 一巻 十 而己戌與己乙等則己乙小於己庚庚戌并矣 次各減同用之己庚則庚乙小於庚戌依顯庚戌小於一 庚丁庚丁小於庚丙是庚乙最小 三論曰丙己庚角形之丙己與丁己庚角形之丁己兩 全大 邊等己庚同邊。而丙己庚角大於丁己庚角。 貝業 於分貝業 卷 大角之庚丙邊。大於對小角之庚丁邊 依顯庚丁 廿四 大於庚戌而愈近心愈大愈近庚乙愈小 後論曰試依戊己乙己辛相等角而抵図冊掲界爲己 辛線次從庚作庚辛線其戌己庚角形之戊己腰與庚 己辛角形之辛己腰既等己庚同腰兩腰間角又等則 對等角之庚戌庚辛両底亦等一卷而庚乙兩有之庚 戊庚辛等矣此外若有從庚出線在辛之上即依第三 論、大於庚辛。在辛之下、即小於庚辛。云庚乙兩旁止 可出庚戌庚辛雨線等。雨線等。 第八題 園外任取一點從點任出幾線其至規内則過圖心線最 大餘線愈離心愈小其至規外則過圜心線爲徑之餘 者最小.餘線愈近徑餘愈小、而諸線中止雨線等。 解曰乙丙丁戊園之外從甲點任出 幾線其一爲過癸心之甲壬其餘爲 規内 甲辛爲甲庚爲甲己皆至規内 線者 如車輻 題先言過心之甲壬最大次 之指牙 言近心之甲辛大於離心之甲庚甲庚又大於甲己三 規外線者、如 反上言規外之甲乙爲乙壬徑餘者 最小 車輻之奏載 四言甲丙近徑餘小於甲丁甲丁又小於甲戌後言甲 乙兩方止可出兩線等 先論曰試從奏心至丙丁戊己庚辛各出直線其甲癸 巻 辛角形之甲癸癸辛兩邊并大於甲辛一邊一ニ而甲 二十 奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏 甲庚甲乙酉過心之甲壬最大 次論曰甲癸辛角形之癸辛與甲癸庚角形之癸庚雨 ・全大川守 邊等甲癸同邊。而甲癸辛角。大於甲癸庚角。 貝堂 於分 卷 依顕甲庚 大角之甲辛邊大於對小角之甲庚邊 廿四 大於甲己而規内線愈離心愈小 三論曰甲癸丙角形之甲癸一邊小於甲丙丙癸兩邊 并一二次毎減一相等之乙癸丙癸則甲乙小於甲丙 矣依顯甲乙更小於甲丁甲戌而規外甲乙最小 四論曰甲丁癸角形之内從甲與癸出甲丙丙癸兩邊 此二率者毎減一相等 ブ廿 之丙癸丁癸則甲丙小於甲丁矣依顯甲丙更小於甲 成而愈近径餘甲乙者愈小 後論曰試依乙癸丙作乙癸子相等角抵図界次作甲 子線其甲子癸角形之甲癸癸子雨腰與甲癸丙角形 之甲癸癸丙兩腰各等面兩腰間角又等則對等角之 甲子甲丙兩底亦等也吁祗此外若有從甲出線在子 之上即依第四論、小於甲丙在子之下・卽大於甲丙故 云甲乙兩有止可出甲丙甲子兩線等 第九題 園内從一點至界作三線以上皆等即此點必圜心 解曰從甲點至乙丙丁園界作甲乙甲丙 甲丁三直線若等題言甲點爲圜心三以 上等者更不待論 論曰試於乙丙丙丁界作乙丙丙丁兩直線相聯此兩 線各兩平分於戊於己從甲出兩直線爲甲戌爲甲巳 其甲乙戌角形之甲乙與甲戌丙角形之甲丙兩腰既 等甲戊同腰乙戊戌丙兩底又等即甲戌乙與甲戌丙 巻 兩角、亦等一 爲雨直角依顯甲己丙甲己丁亦等爲 八 両直角則甲戌甲己之分乙丙丙丁俱平分爲直角而 本篇一 此兩線俱爲函心線 定相遇於甲、甲爲園心矣。 之系 一人一ツヽ 又論曰若言甲非心心在於戊者令戊甲 甲戌 相聯引作己庚徑線即甲是戌心外所取 丙 一點而從甲所出線愈近心者宜愈大矣 十篇・ 七 四篇則甲丁宜大於甲丙而先設等何也 第十題 兩圍相交.止於兩點。 論曰若言甲乙丙丁戊己園與甲庚乙丁辛 癸{ 戊園三相交於、甲於乙於丁.於丁.令作甲乙乙丁 兩直線相聯、此兩線各兩平分於壬於、次 從士奏作子壬子癸兩垂線其子壬分甲乙 子癸分乙丁既皆兩平分而各爲兩直角即子壬子癸 本篇 兩線俱爲甲庚乙丁辛戌図之面心線 而子爲 之系 其心矣依顯甲乙丙丁戊己園亦以子爲心也夫兩交 本篇可録 之図尚不得同心 本篇 何縁得有三交 五 庚 又論曰若言兩園三相交於甲於乙於丁一 令先尋甲庚乙丁辛戌園之心於壬寅 本篇 次從心至三交界作壬甲壬乙壬丁三線 二卷界 又甲乙丙丁戊己園 此三線等也。 説十五 内有從壬出之壬甲壬乙壬丁三相等線則壬又爲甲 本篇 本篇 乙丙丁戊己園之心 不亦交図同心乎一 九 五 五 第十一題 兩圍内相切、作直線聯兩心、引出之。必至切界、 解曰甲乙丙甲丁戊雨圜内相切於甲而已爲甲乙丙 之心庚爲甲丁戊之心題言作直線聯聯 己兩心引抵圜界ノ必至甲。 論曰如云不至用而截兩園於乙丁及丙 戊令從甲作甲乙甲庚兩線其甲己庚角 卷 形之庚己己甲兩邊并大於庚甲一邊 而同園心 上 所出之庚甲庚丁宜等即庚己己甲大於庚丁矣此二 率者各減同用之庚己即己甲亦大於己丁矣夫己甲 與己乙是内図同心所出等線則己乙亦大於己丁而 分大於全也可乎若曰庚為甲乙丙心己為甲丁戊心 亦依前轉説之甲己庚角形之己庚庚甲兩邊并大於 一卷一 甲己一 乙丙同圖心所出之己甲己戊宜等卽己 甲己一邊一捲而同圍心所出之己甲己戌宜等即己 二十 庚庚甲大於己戊矣。此二率者各減同用之己庚即庚 庚庚甲大於己戊矣此二率者各滅同用之己庚卯庚 甲大於庚戌矣夫庚甲與庚丙是内図同心所出等線 則庚丙亦大於庚戌。而分大於全也可乎 第十二題 兩圍外相切、以直線兩心必過切界、 解曰甲乙丙丁乙戌兩園外相切於乙其甲 乙丙心爲己丁乙戊心爲庚題言作己庚直 甲 線必過乙 論曰如云不然而己庚線截兩圜界於戊於、 丙令於切界作乙己乙庚兩線其乙己庚角形之己乙乙 乙庚雨邊并大於己庚一邊而乙庚與庚戌乙己與己 丙俱同心所出線宜各等即庚戌丙己兩線并亦大於 巻 庚己一線矣一二捲夫庚己線分爲庚戌丙巳尚餘丙戌 而云庚戌丙巳大於庚己則分大於全也故直線聯己 庚必過乙、 第十三組二文 第十三題 二支 図相切不論内外止以一點 先論曰甲乙丙丁與甲戌丙己兩圖内相切若云有兩 点相切於甲又於丙令作直線函兩圍心庚辛引出之一 乙 庚辛 癸 庚子 己 丙 本篇！ 則甲丙 一如前圖宜至相切之甲之丙 如前圖宜至相切之甲之丙本篇則甲丙 為兩図之同径矣而此径線者兩平分於 庚又兩平分於辛何也 直線止以上 若云 點兩平分五 庚辛引出直線一抵甲、一截兩園之界於 奏於壬即如後圖令從兩心各作直線至 又相切之丙次問之甲乙丙丁図之心爲 庚卯辛卯如曰庚也而辛為甲戌丙巳之 甲 心則丙庚辛角形之庚辛辛丙雨邊并大 辛癸辛丙 於庚丙一邊一 一卷 巻 而庚辛辛丙與庚癸宜等 同園心所 二十 故出 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 所出等線也将庚癸亦大於庚壬可乎如曰辛也而庚 為甲戌丙己之心則丙庚辛角形之辛庚庚丙雨邊并 而辛丙與辛甲宜等即辛庚庚丙 大於辛丙一邊。 二十 亦大於辛甲矣此二率者各減同用之辛庚即庚丙亦 大於庚甲也夫庚甲與庚丙者亦同圍心所出等線也 而安有大小 後論曰甲乙與乙丙兩園外相切於己從甲 甲 乙之丁心丙乙之戌心作直線相聯必過己 本篇 4篇若云又相切於乙令自乙至丁至戌各 十二ヵ 一作直線其丁乙乙戌并宜與丁戌等而爲角一 一卷 則兩圓相切安得兩點 一形之雨腰又宜大於丁戌一 二十 又後論曰更令於兩相切之乙之己作直線相聯其直 本篇 線當在甲乙圜内 又當在乙丙園内何所置之 二 二支 第十四題 園内兩直線等即距心之遠近等距心之遠近等即兩兩 卽距心之遠近等距心之遠近等即兩直 線等 甲 庚 戊 先解曰甲乙丙丁園其心戊園内甲乙丁 丙兩線等題言兩線距戊心遠近亦等 論曰試從戌心向甲乙作戌已向丁丙作 戊庚各垂線次自丁自甲至戌各作直線 其戌己戊庚既各分甲乙丁丙線爲兩平分本篇而甲 乙丁丙等則平分之甲己丁庚亦等夫甲戌上直角方 一巻迄 形與甲己己戌上兩直角方形并等町一卷等甲戌之丁一 戌上直角方形与丁庚庚戌上雨直角方形并等而甲 己丁庚上兩直角方形既等即戊己戌庚上両直角方 形亦等則戊己戊庚兩線亦等是甲乙丁丙兩線距心 天本巻界 之度等 説皿 後解曰甲乙丁丙兩線距戊心遠近等題言甲乙丁丙 両線亦等 本巻界 論曰依前論從戌作戊己戊庚雨垂線既等。 論曰。依前論從戌作戊己戌庚兩垂線、既等本巻界而 分甲乙丁丙各爲兩平分本筒其甲戌上直角方形與 一巻仁 甲己己戊上兩直角方形并等一號等甲戌之丁戌上 直角方形與丁庚庚戌上兩直角方形并等卽甲己己 戌上兩直角方形并與丁庚庚戌上爾直角方形并亦 等此二率者每減一相等之己戊戌庚上直角方形即 所存甲己丁庚上兩直角方形亦等是甲己丁庚兩線 等也夫甲乙倍甲乙丁丙倍丁庚其半等其全必等。 第十五題 徑爲圜内之大線其餘線者近心大於遠心 解曰甲乙丙丁戊己図其心庚其徑甲己其近心線爲 辛壬遠心線爲丙丁題言甲己最大辛壬 子 近心大於丙丁遠心 論曰試從庚向丙丁作庚癸向辛壬作庚 子各垂線其丙丁距心遠於辛壬即庚癸亥 大於庚子・ ・本巻界・ 次於庚癸線截庚丑與庚子等次從 説四 丑作乙戌為庚癸之垂線末於庚乙庚丙庚丁庚戌各 作直線相聯其庚丑既等於庚子卽乙戌與辛壬各以一 号本巻界 本篇 垂線距心遠近等 而兩線亦等 夫庚乙庚 説四 十四 一巻 一戊戌戊乙戊子 而與甲己等即甲己大於乙戌亦 二十 大於辛壬矣依顯甲己大於他線則甲己最大又乙庚 戊角形之乙庚庚戌雨腰與丙庚丁角形之丙庚庚丁 雨腰等而乙庚戌角大於丙庚丁角則乙戌底大於丙 丁底 一卷 廿四 故等乙戊之辛壬亦大於丙丁也是近心線 大於遠心線也。 第十六題三支 第十六題 圍徑末之直角線全在圖外而直線偕園界所作切邊角一 不得更作一直線入其内其半図分角大於各直線鋭 角切邊角小於各直線鋭角 先解曰甲乙丙園丁爲心甲丙爲徑從甲作甲丙之垂 線題言此線全在図外 己 論曰若言在内如甲乙。令自丁至乙作直 線卽丁甲乙與丁乙甲兩角等 五 巻 乙爲直角丁乙甲亦直角乎。夫角形三角 一卷書 同同同三十二冊壹得形内自有両直角 并。等雨直角 十七号 也則垂線必在圖外若己戌必不在図内若甲乙又不 一。如云在界 故曰全在園外、 在図界之上 一六十論文 次解曰題又言戊甲垂線偕乙甲圖界所作切邊角不 同得更作一直線入其内 論曰若云可作如庚甲、令從丁心向庚甲作丁辛爲庚 一卷 ル夫丁甲辛角形之丁甲辛丁辛甲兩角 甲之垂線 十一 巻 而丁辛甲爲直角卽對小角之丁 一番、小於兩直角、 十七 一卷 甲丁者與丁壬爲 辛線小於對大角之甲丁線矣」 十九 同団相等者也将丁壬亦大於丁辛乎則戊甲乙角之一 内不得更作一直線而戊甲之下但有直線必入本図 之内也、 後解曰題又言丁甲垂線偕乙甲園界所作丙甲乙圖 分角大於各直線鏡角而戊甲垂線偕乙甲圜界所作 同切邊角小於各直線鋭角 論曰依前論甲戌下有直線說云必入図内卽此直線 偕戊甲所作各直線鋭角皆小於図分角而切邊角小 於各直線鋭角 系己甲線必切圖以一點 庚ノ 增先解目甲乙丙圖其心丁其徑甲丙從 甲作戊甲爲甲丙之垂線題言戊甲全在一 図外 d 増正論目試於甲戌線内、任取一點爲庚 自庚至丁作直線其甲丁庚角形之丁甲庚丁庚甲雨 巻 而丁甲庚爲直角、即丁庚甲小於、 角小於兩直角、 十七 直角對大角之丁庚線、大於對小角之丁甲線矣 巻 十九 則庚點在園之外也凡戊甲以内作點皆依此論故成 甲線全在圖外一 增次解曰從甲作甲辛線在戊甲之下。題言甲辛必割 図為分 増正論曰試作甲丁壬角與戊甲辛角等其甲丁壬辛 甲丁兩角并等於戊甲丁直角。必小於兩直角。而丁壬 公論 同十二十一年二月二十二年二月 甲辛兩線必相遇フ 甲辛兩線必相遇又必在國之内如壬何 者壬甲丁壬丁甲兩角既與一直角等即甲壬丁必爲 直角 卷 卅二 十一一 而對大角之甲丁線必大於對小角之丁壬 巻 記夫甲丁線僅至圓界則丁壬不能抵鬪界必 線矣、 十九 在園之内也、 同同後支前已正論 或難曰切邊角有大有小何以畢不得兩分向者聞幾 何之分不可窮盡如莊子尺種之義深著明矣今切邊 之内有角非幾何乎此幾何何獨不可分邪又十卷第 一題言設一小幾何又設一大幾何若從大者半減之 減之又減必至一處小於所設小率此題最明無可疑 者今言切邊之角小於直線鋭角是亦小幾何也彼直 線鋭角是亦大幾何也若從直線鏡角半減之減之又 減何以終竟不得小於切邊角邪既本題推顯切邊角 中不得容一直線如此著明便當并無切邊角無角則 無幾何此則不可得分耳且幾何原本書中無有至大 不可加之率無有至小不可減之率若切邊角不可分 豈非至小不可減乎答曰謬矣子之言也有図有線安 得無切邊角且既言直線鋭角大於切邊角.卽有切邊角切邊 角矣苟無角安所較大小哉且子言直線與図界并無 切邊角則兩圍外相切亦無角乎曰然曰。試如作甲己 乙図、其心而丁戊為切線、卽丁甲己為切邊角次移 心於庚又作甲辛癸圖卽丁甲辛爲切邊角而小於丁 甲己次移心於子又作甲丑寅圖即丁甲丑爲切邊角 而又小於丁甲辛如是小之又小疑無角焉次又於切 午 此 辰。 巳 丙庚子 癸亥 線之外以辰爲心作甲巳午圖而 與前圓外相切於甲依子所説疑 員 無角焉然兩園外相切而以丁戊 線分之不可分乎更自辰至寅作 直線截兩圍之界面分丁戌爲兩平分不可分乎兩圍 兩直線交羅相遇於甲也能不皆以一點乎如以一點 也即此一點之外不能無空即不能不能不爲四切邊角矣 子所據尺種之分無盡又言幾何原本書中無至小不 可減之率也是也夫切邊角但不可以直線分之耳若 用図線則可分也如甲乙庚園與丙甲丁直線相切於 甲 庚 辛 用作丁甲庚切邊大角若移一心作用 壬 戊辛図又得丁甲辛切邊角卽小於丁 甲庚也又移一心作甲己壬園又得丁 丙 甲壬切邊小角卽又小於丁甲辛也如 此以至無窮則切邊角分之無盡何謂不可減邪若十 巻第一題所言元無可疑但以図角分圜角則與其説 合矣彼所言大小雨幾何者謂夫能相較爲大能相較 為小者也如以直線分直線角以図線分図線角是已 此切邊角與直線角豈能相較爲大小哉。 増題有兩種幾何一大一小以小率半増之遞增至於 無窮以大率半減之遞減至於無窮其元大者恆大元 小者恆小 己 甲一 二解曰戊甲乙切邊角爲小率壬庚辛直線 鋭角爲大率今別作甲丙甲丁等園俱切 戊己線於甲其切邊角愈增愈大如前論 戊 庚 別以庚癸庚子線作角分壬庚辛角於庚 愈分愈小。然直線角恆大切邊角恆小。 至終古不得相比、 又增題舊有一說以一小率加一大率之上或以一大 率加一小率之上不相離逐線漸移之必至一相等之 処又一説有率大於此率者有率小於此率者則必有 卒等於此率者昔人以為皆公論也若用以律本題即 不可得故今斥不為公論 解曰甲乙丙園其徑甲丙令甲丙之甲界 甲一 定在於甲、而引丙線逐線漸移之向己其 所経丁戊己及中間逐線所経無数然依 本題論則甲丙所經凡割圜時皆爲鋭角 卽小於半圍分角纔離鋭角便爲直角卽大於半圖分 角是所經無數線終無有相等線可見前一舊説求爲 公諭.又直線鋭角皆小於半図分角直角與鈍角皆大 於半圖分角是有大者有小者終無等者可見後一舊 説。未爲公論也。 第十七題 設一點、一園、求從點作切線、 法曰、甲點、求作直線切乙丙園其図心丁・先 從甲作甲丁直線截乙丙園於乙次以丁爲 心甲爲界作甲戌園次從乙作甲丁之垂線 而遇甲戌図於戊次作戊丁直線而截乙丙圖於丙未 作甲丙直線即切乙丙園於丙 論曰乙戊丁角形之戊丁丁乙両腰與甲丙丁角形之一 一卷界 丁角同即甲丙乙戊兩底 甲丁丁丙兩腰各等。 説十五一 同同所等。一 亦等。 四 巻 而戊乙丁爲直角卽甲丙丁亦直角則甲丙 偕乙丙園之半徑丁丙爲一直角矣豈非圖之切線 本 篇 十六 之系 第十八題 直線切圖、從図心作直線至切界、必爲切線之垂線、 解曰甲乙直線切丙丁図於丙從戌心至切 界作戊丙線題言戊丙爲甲乙之垂線 甲 論曰、如云不然、令從戌別作垂線如至乙而 論曰如云不然、令從戊別作垂線、如至乙而 截丙丁圓於丁其丙戊乙角形之戌乙丙既爲直角即 巻 同宜大於乙丙戌角 宜大於乙丙戌角十十十七、、、十七 九九九未戊丙與戊丁等也戊丙大於 小角之戌乙邊矣一燿夫戌丙與戊丁等也戊丙大於 同戊乙則戊丁亦大於戊乙乎 又論曰若云丙非直角卽其兩旁角一鋭一鋭一鈍、令乙丙 本篇 戊爲鋭角則鋭角乃大於半圍分角乎 十六 第十九題 直線切圜圍内作切線之垂線則圖心必在垂線之内 解曰甲乙線切丙丁戊図於丙圜内作戌丙一 爲甲乙之垂線題言図心在戊丙線内 甲 論曰如云不然心在於己令從己作己丙直 本篇 而己丙甲與戊丙甲 線卽己丙亦爲甲乙之垂線 十八 等爲直角是全與其分等矣 第二十題 負圜角與分圖角。所員所分之圖分同。則分圖角必倍大 於負圜角 解曰甲乙丙園其心丁有乙丁丙分園角乙甲丙負圖 角同以乙丙圖分爲底題言乙丁丙角倍大於乙甲丙 角 先論分圖角在乙甲甲丙之内者曰如上圖試從甲過 丁心作甲戊線其甲丁乙角形之丁甲丁乙等卽丁甲 乙丁乙甲兩角等一卷而乙丁戊外角與内 一卷 卽乙丁戊倍大於乙甲 相對兩角并等 会卅一 丁矣依顯丙丁戊亦倍大於丙甲丁則乙丁 丙全角亦倍大於乙甲丙全角一 次論分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙線 過丁心者曰如上圖依前論推顯乙丁丙外 角等於内相對之丁甲丙丁丙用兩角并卷 一卷 則乙丁 二而丁甲丁丙兩腰等即甲丙兩角亦等 二而丁甲丁丙兩腰等即甲丙兩角亦等五卷則乙丁 丙角、倍大於乙甲丙角、 後論分圜角在負圜角線之外而甲乙截丁丙者曰如一 上図試従甲過丁心作甲戌線其戌丁丙分 圜角與戊甲丙負圓角同以戊乙丙園分爲 底如前次論戊丁丙角倍大於戊甲丙角角 底如前次論戊丁丙角倍大於戊甲丙角依 題戊丁乙分圜角亦倍大於戊甲乙負圖角次於戊丁 丙角減戊丁乙角戊甲丙角減戊甲乙角則所存乙丁 丙角必倍大於乙甲丙角 増若乙丁丁丙不作角於心或爲半圓或大 於半圓則丁心外餘地亦倍大於同底之負 図角 論曰試從甲過丁心作甲戌線即丁心外餘 地分爲乙丁戊戌丁丙兩角依前論推顯此兩角倍大 於乙甲丁・丁甲丙兩角、 第二十一題 凡同図分内所作負図角俱等 解曰甲乙丙丁園其心戊於丁甲乙丙圖分内任作丁 甲丙丁乙丙雨角題言雨角等 先論函心大分所作曰試從戌作戌丁戊丙 線其丁戊丙分園角既倍大於丁甲丙角丁 本篇 乙丙角 千二 乙丙角本篇即甲乙兩角自相等公論 即甲乙兩角自相等ニ 「七 十八論 後論半園分不函心小分所作、曰丁甲乙丙一 丙 或爲半圍分或爲不函心小分俱從甲從乙 過戊作甲己乙庚雨線若不函心更從戌作 庚戌丁戊丙兩線其丁戊己分圜角既倍大於 本篇 依顯丙戊己分圜角亦 丁甲己負圜角一 二十 二十、 倍大於丙甲己負圜角而丁戊庚庚戊己兩 庚角與丁戊己一角等則丁戊庚庚戌己己戊 丙三角必倍大於丁甲丙戌十二丙戌三角亦倍 大於丁乙丙則丁甲丙丁乙丙兩角自相等 又後論曰二十題増言分図不作角其心外餘地倍大 於同底名負同僧同所各角自相等 又後論曰甲丙乙丁線交羅相遇爲己試作甲乙線相 聯其甲丁己角形之三角并與乙丙己角形 戊戌 卷 次毎減一交角相等之甲 「卅一 之三角并等。 卅一 卅二 =一一 巻 卽己甲丁己丁用兩角并 己丁・乙己丙 十五、 與己丙乙己乙丙兩角并等矣而甲丁乙乙丙甲丁乙丙甲丁乙丙甲丁乙丙甲丙甲丙午 本題第一 則丁甲丙與 同在甲丁丙乙函心大分内又等一 一論 丙乙丁・亦等 又後論曰丁丙之外任取一界爲己。作丁己 。丙己兩線令俱函心而丁甲乙丙己與丙乙一 甲丁己俱爲大分次於甲己乙乙乙乙乙己各作直線 相聯其丁甲己與丁乙己兩角同負丁甲乙丙己圖界 即等 本題第一 一論 依顯丙乙己與丙甲己兩角同負丙乙甲 丁己園界又等此二等率并之。則丁甲丙丁乙丙兩全 角亦等 第二十二題 圜内切界四邊形毎相對兩角并與兩直角等 丙 ・戊 解曰甲乙丙丁園其心戊園内有甲乙丙丁 四邊形題言甲乙丙丙丁用兩角并乙丙丁 丁甲乙兩角并各與兩直角等 論曰試作甲丙乙丁兩對角線其甲乙丁甲 丙丁兩角同負甲乙丙丁圍分、帆等。 顯丙甲丁丙乙丁兩角亦等、兩角亦等、丙乙 丁兩角并爲甲乙丙一角與甲丙丁丙甲丁一 兩角并等次毎加一丙丁甲角即甲乙丙丙 丁甲、并與甲丙丁。丙甲丁丙丁丙丁。丙丁甲。 一卷 則甲乙丙丙丁甲、相對兩角并與 元與兩直角等 卅一 卅二 兩直角等依顯乙丙丁丁甲乙并亦與兩直角等 第二十三題 一直線上作両図分不得相似而不相等 論曰如云不燃令於甲乙線上作同方兩図分相似而 不相等必作甲丙乙、又作甲丁乙、其兩園相 本篇 交止於甲乙兩點 『即一園分全在内一 十 一團分全在外矣次令作甲丁線截甲丙乙園一 於丙未令作丙乙丁乙兩線相聯夫兩圖分相似者其 一同二本 負圜角宜笑 三説十 「則乙丙甲外角與相對之乙丁甲 一卷 内角等乎 十六 第二十四題 相等兩直線上作相似兩圖分必等。 解曰甲乙丙丁兩線上作甲丙乙丙己丁、相似兩圖分 題言兩園分等。 丙 戊巳戊 戊 論曰甲乙丙丁兩線既等試以甲乙線加 丙丁線上兩線必相合即甲丙乙丙巳丁 兩圖分相加亦相合。如云不然必兩鬪分 相加或在内或在外或半在内半在外矣。 若在内在外卽一直線上有兩圓分相似 本篇 丙 甲 若半在内半在外即兩 而不相等也。 廿三日 十三 本篇 両俱不可故相似者必 図三相交也。 十一 等 甲丙 第二十五題 有圜之分求成図 法曰甲乙丙園分求成園先於分之兩端。 甲丙線次作乙丁爲甲丙之垂線、次作甲乙 線相聯其丁乙甲角或大於丁甲乙角或等 或小若大即甲乙丙當爲圍之小分何也乙丁分甲丙 本篇 爲兩平分即知圍之心必在乙丁線内 而心在 之系 本 丁點之外則從丁點所出丁乙爲不過心徑線至小斷 筒 七文封小臺ノ一冊一句、八十二年 七故對小邊之丁甲乙角小於對大邊之丁乙甲角也 +故對小邊之丁甲乙角小於對大邊之丁乙甲角也 一巻 十八 即作乙甲戊角與丁乙甲角等次從乙丁引出一 線、與甲戌線遇於、戊、即戌爲園心、 論曰試從戊作戌丙線其甲丁戊角形之甲丁線與丙 丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁戊雨 巻 皆直角即對直角之甲戌與戌丙兩線等。町卷夫甲戌 巻 與乙戊以對角等故ニ既等 戊丙與甲戊又等。則從 六 ・本管 同戊至界三線皆等.而戌爲心。 本篇 九 次法兼論目若丁乙甲丁甲乙兩角等卽甲 乙丙爲半圖而甲丙爲徑丁爲心何也丁乙 丁甲兩邊等然後丁乙甲・丁甲乙兩角等一 巻 五今丁乙甲丁甲乙兩角既等即丁乙丁甲兩線必笠 一巻 丁丙元與丁甲等則從丁所出三線等而丁爲図 六 心本篇 後法曰若丁乙甲小於丁甲乙酉甲乙丙 當爲圓大分何也乙丁分甲丙爲兩平分 ↓本篇一・ 本篇 即知圖心在乙丁線内 之系 而丁點在 本篇 本篇 心之外則所出丁乙爲過心徑線至大 ノ七一 故對大邊 七 巻 之丁甲乙大於對小邊之丁乙甲也 即作乙甲戌 十八、 角與丁乙甲角等而甲戌線與乙丁線遇於戌即戌爲 園心 論曰試從戌作戊丙線其甲丁戊角形之甲丁線與丙 丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁戊雨一 一巻 皆直角即對直角之甲戊戌丙兩線亦等一卷夫乙戌一 四 巻 與甲戌以對角等故既等一 戊丙與甲戌亦等則從 五 同戊至界。三線皆等而戌為心本 本篇 九 增求圖分之心有一簡法於甲乙丙圓分任 取三點於甲於乙、於丙以兩直線聯之各兩 平分於丁於戌從丁從戌作甲乙乙丙之各 垂線爲己丁爲己戊而相遇於己卽己爲鬪心 論曰己丁己戊既各以兩直角平分甲乙乙丙兩線即 本篇 図之心當在兩垂線内 而相遇於己卽己爲園心 其用法。圖界上任取四點、爲乙爲丙爲丁毎兩點 各自為心相向各任作図分四円分兩兩 相交於戊於己於庚於辛從戊己從庚辛 各作直線引長之交於壬卽壬爲圖心 論曰試作甲戌戊乙乙乙己己甲、四直線此 四線各爲同圖等圖之半徑各等即甲戊己角形之甲 戊己甲己戌兩角等而乙戊己角形之乙戊己乙己乙己乙己戊己戊己戊己己乙己己戌 兩角亦等次作甲乙直線分戊己於癸即甲己癸角形 之甲己邊與乙己癸角形之乙己邊等己癸同邊而對 甲己癸角之甲癸邊與對乙己癸角之乙癸邊亦等 則甲癸己乙癸己俱爲直角而戌巳線必過心本篇 則甲癸己乙乙癸己俱爲直角而戊己線必過心 依顯庚辛線亦過心而相遇於壬爲図心 一支 第二十六題 等圜之乘團分角或在心或在界等其所乘之圖分亦等 て 庚 丙 先解在心者曰甲乙丙丁戊己兩園等其 心爲庚爲辛有甲庚丙與丁辛己兩乘園 甲 角等題言所乘之甲丙丁己兩圍分亦等 論曰試於甲乙丙丁戊己兩園分之上任 戊ル 辛人 取兩點於乙於戊從乙作乙甲乙丙從戊 作戊丁戊己各兩線次作甲丙丁己兩線 相聯其乙與戊兩角既各半於庚辛兩角 本篇 卽乙與戊自相等 而所負甲乙丙與丁戊己兩園 二十 ・本卷界 分相似 ※又甲庚丙角形之甲庚庚丙雨邊與丁 説十 辛己角形之丁辛辛己両邊各等庚角與辛角又等即 一卷 甲丙與丁己兩邊亦等 而相似之甲乙丙與丁戊 甲丙與丁己兩邊亦等一朱而相似之甲乙丙與丁戊一 本篇 己雨図分在等線上亦等、 ”夫相等園減相等園分 廿四 則所存甲丙丁己兩園分亦等故云等角所乘之圍分 等。 一後解在界者曰兩圍之乙與戌兩乘圜角等題言所乘 之甲丙丁己兩園分亦等 論曰乙戊雨角既等而庚辛雨角各倍於乙戌即庚辛 本篇 自相笙 依前論甲丙丁己兩邊亦自相等而甲乙 白椎等 会二十 同所 丙與丁戊己兩園分亦等 今於相等園減相等園 、廿四 分則所存甲丙丁己兩團分亦等 注曰後解極易明蓋庚辛角既各倍於乙戌則依先 在心之乘圜角卽一 論甲丙丁己自相等 分圜角隨類異名 第二十七題 一支 等圖之角所乘圜分等則其角或在心或在界俱等 先解在心者曰甲乙丙丁戊己雨図等其心爲庚爲辛 先解在心者曰甲乙丙丁戊己兩圍等其心爲庚爲至 若甲庚丙乘圖角所乘之甲丙分與丁辛己所乘之丁 己分等題言甲庚丙丁辛己兩角等 論曰如云不然而庚大於辛、令作甲庚壬 角與丁辛己角等卽甲壬園分宜與丁己 本篇 図分等 而甲丙與丁己元等則甲壬 廿六 與甲丙亦等乎。 後解在界者曰甲丙丁己兩團分等題言 其上乙戊雨角亦等 論曰如云不然而乙大於戊令作甲乙壬 角與戊角等其甲乙壬與丁戊己若等即 本篇 所乘之甲壬丁己宜等 而甲丙與丁己元等則甲 廿六 壬與甲丙亦等乎。 同断同 増題從此推顯兩直線不相交而在一圖之一 丙若兩線界相去之図分等則兩線必平行 若兩線平行則兩線界相去之図分等 先解曰甲乙丙丁園内有甲丁乙丙兩線其相去之甲 乙丁丙兩圖分等題言兩線必平行一 論曰試自甲至丙作直線相聯其甲乙丁丙既等卽甲 日本 丙乙與丙甲丁兩乘園角亦筮 既内相對之兩角等 丙乙與丙甲丁兩乘園角亦等本既内相對之兩角等 巻 即雨線必平行廿七日 後解曰甲丁乙丙爲平行線題言甲乙丁丙兩圖分必一 等 等 論曰試作甲丙線其甲丁乙丙既平行卽内相對之兩 巻 巻 而所乘園分甲乙丁丙亦 角甲丙乙丙甲丁必等 廿七 仝本篇 等廿六 ・廿六 第二十八題 等園内之直線等則其割本圍之分大與大小與小各等 解曰甲乙丙丁戊己兩図等其心爲庚爲辛圖内有用 丙丁已雨直線等題言甲乙丙與丁戊己兩大分甲丙 與丁己兩小分各等 乙 庚 論曰試於甲庚庚丙丁辛辛己各作直線其 甲庚丙角形之甲丙與丁辛己角形之丁己 兩底既等而甲庚庚丙雨腰與丁辛辛巳雨 戊 辛 一卷 一腰又等即庚辛兩角亦等 其所乘之甲 )腰又等即庚辛兩角亦等一卷其所乘之甲 本篇 丙丁己雨小分必等 次減相等之甲丙 廿六 丁己兩小分則所存甲乙丙丁戊己兩大分亦等 第二十九題 等図之図分等則其割図分之直線亦等 解曰依前題兩園之甲乙丙丁戊己 乙 庚 兩圍分等而甲丙丁己兩園分亦等 題言甲丙丁己兩線必等 論曰依前題作四線其甲庚丙角形之甲庚庚丙雨腰 與丁辛己角形之丁辛辛己兩腰等而庚辛兩角所乘 四十六年 之甲丙丁己雨図分等即庚辛雨角亦第 三十七日半年 三十七日 角之甲丙丁己雨線必等一番 巻 四 注曰第二十六至二十九四題所説俱等図其在同 図亦依此論 第三十題 有図之分。求兩平分之、 内法曰甲乙丙圖分求兩平分先於分之兩界 ・作甲丙線次兩平分於丁從丁從丁作乙丁爲甲 1丙之垂線卽乙丁分甲乙丙園分爲兩平分 論曰從乙作乙甲乙丙兩線其甲乙丁角形之甲丁與 丙乙丁角形之丙丁兩腰等丁乙同腰而甲丁乙與丙 丁乙兩直角又等即對直角之甲乙乙丙兩底亦等 巻 五本篇 四而甲乙與乙丙兩園分亦等 則甲乙丙園界兩 十八 平分於乙矣 第三十一題五文 第三十一題丁 負牛園角、必直角、負大分角、小於直角、負小分角大於直 角、大園分角、大於直角、小於直角、小於直角、小於直角、小於直角 角大園分角大於直角小図分角小於直角 解曰甲乙丙園其心丁其徑甲丙於半圖分内任作用 乙丙角形即甲乙丙角負甲乙丙半圖分乙甲丙角負 乙甲丙大分又任作乙戊丙角負乙戌丙小 分題先言負半圓之甲乙丙爲直角二言負 大分之乙甲丙角小於直角三言負小分之 乙戌丙角大於直角四言丙乙甲大図分角大於直角 後言丙乙戊小園分角小於直角 先論曰試作乙丁線次以甲乙線引長之至己其丁乙一 同第一巻 依顯丁乙 今五 丁甲兩線等卽丁乙甲丁甲乙兩角等一卷依顯丁乙一 丙丁丙乙兩角亦等而甲乙丙全角與乙甲丙甲丙乙 兩角并等又己乙丙外角亦與相對之乙甲丙甲丙乙 二卷 乙乙乙乙丙卯甲乙丙卯甲乙丙卯甲乙丙乙乙乙乙乙丙乙乙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙丙乙乙乙乙乙丙乙丙 兩内角并等 卅二 二論曰甲乙丙角形之甲乙丙既爲直角則乙甲丙小 巻 於直角 十七 三論曰甲乙戊丙四邊形在園之内其乙甲丙乙戊丙 米篇 相對兩角并等兩直角 而乙甲丙小於直角則乙一 廿一 戊丙大於直角 四論曰甲乙丙直角爲丙乙甲大園分角之分則大於 直角 後論曰丙乙戊小園分角爲己乙丙直角之分則小於 直角 此題別有四解四論先解曰甲乙丙半圖其心丁其上 任作甲乙丙角題言此爲直角 論曰試作乙丁線其丁乙丁甲兩線既等即 巻 而乙丁丙外 丁乙用丁甲乙兩角亦等一 五 角既與丁乙甲丁甲乙相對之兩内角并等 甲冊一冊一 巻 卅二 即倍大於丁乙甲角依顯乙丁甲外角 亦倍大於丁乙丙角卽乙丁甲乙丁丙兩角并亦倍大一 一卷 則用 於甲乙丙角夫乙丁甲乙丁丙并等雨直角一 於甲乙丙角夫乙丁甲乙丁丙并等兩直角角 則甲 十三 乙丙爲直角 二解曰甲乙丙大図分其心丁任作甲乙丙角題言此一 小於直角 論曰試作甲丁戊径線次作乙戌線相聯其 本題 甲乙戊既爲直角ニ 即甲乙丙爲其分而 一論 小於直角 六三解曰甲乙丙小園分其心丁。任作甲乙丙 角題言此大於直角 論曰試作甲丁戊徑線而引乙丙圜界至戌 次作乙戊線其甲乙戌既負半圜之直角而爲甲乙丙 角之分則甲乙丙大於直角一 四五合解曰甲乙丙大園分丙丁甲小園分其心戊題 言同甲乙大圖分角大於直角。大於直角、大於直角、小松、 戊 直角 論曰試作乙戌丙徑線次作乙甲線引長之 至己其乙甲丙直角爲丙甲乙大圖分角之 分而丙甲丁小園分角又爲己甲丙直角之分則大分一 角大於直角小分角小於直角 一系凡角形之内一角與兩角并等其一角必直角何 者其外角與内相對之兩角等則與外角等之内交角一 豈非直角 二系大分之角大於直角小分之角小於直角終無有 角等於直角又從小過大從大過小。者大卽小。終無相 等依此題四五論甚明與本篇十六題増注互相發也 第三十二題 直線切圍從切界任作直線割圜爲兩分分内各任爲負 圜角其切線與割線所作兩角與兩負圜角交互相等 解曰甲乙線切丙丁戊園於丙從丙任作丙戌直線割 図爲兩分兩分内任作丙丁戊丙庚戌雨負圜角題言 甲丙戌角與丙庚戌角乙丙戌角與丙丁戊角交互相 等 先論割圜線過心者曰如前圖甲丙戌乙丙戌兩皆直 一卷 角 角十リ 十八 而丙庚戌丙丁戊雨負半園角亦皆直角 本篇 卅一 庚 乙 庚 則交互相等 後論割圜線不過心者曰如後圖試作丙 己過心直線次作戊己線相聯其己丙爲 本篇 一卷 甲乙之垂線 而丙戊己為直角 十八 卅一 卽戊丙己戊己丙兩角并等於一直角亦 丙子 等於甲丙己角矣此兩率者各減同用之 戊丙己角即所存戊己丙與甲丙戌等也 本篇 夫戊己丙與丙庚戌元等 則甲丙戌 廿一 與丙庚戌交互相等又丙丁戊庚四邊形之丙丁戊丙丁戊丙丁戊辰丙丁戊丙丁戊丙丁戊丙丁戊戌亥巳之丙丁戊丙午 本篇{ 庚戌。雨對角并。等雨直角。 而甲丙戌。乙丙戌雨交 廿二 一卷 角、亦等雨直角 此二卒者、各減一相等之甲丙戌 十三 丙庚戌則所存丙丁戊乙丙戌亦交互相等 第三十三題 一線上求作圜分面負団分角與所設直線角等一 先法曰設甲乙線丙角求線上作圖分而負 図分角與丙等其兩角或直或鋭或鈍若直 角先以甲乙兩平分於丁次以丁爲心甲乙 ニ爲累作半園圖分内作甲戌乙角卽負半圖 本篇 角為直角 卅一 如所求。 次法曰若設丙鋭角先於甲県上作丁甲乙鋭角與丙一 等次作戊用爲甲丁之垂線於甲乙之上 次作己乙甲角與己甲乙角等而乙己線 與甲戊線遇於己即己乙己甲兩線等 丙ノ半 六未以已爲心甲爲累作甲庚園必過乙一 即甲庚乙図分内甲乙線上所作負図角必爲鋭角面 與丙等 論曰試作甲庚乙角其甲己戌線過己心而丁甲又爲 本篇十 戊甲之垂線卽丁甲線切甲庚乙園於甲 則一 六之系貝」 則丁 六之系曰 五本篇 甲乙與甲庚乙兩角交互相等 如所求、 卅二 後法曰若設辛鈍角依前作壬甲乙鈍角與辛等次作 戊甲。爲壬甲之垂線餘倣第二法而於甲乙線上作甲 同同十十十二十二十一 後論同次. 第三十四題 設図求割一分而負圜分角與所設直線角等 十 巳 法曰設甲乙丙園求割一分而負圓分角 本篇 與丁等、先作戊己直線切図於甲 次 十七 作己甲乙角與丁等。卽割圍之甲乙線上 戊 所作甲丙乙角負甲丙乙圖分而與丁等 何者己甲乙角與丁等亦與甲丙乙交互相等故躰 本篇 卅二 第三十五題 図内兩直線交而相分各兩分線矩内直角形等 解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁雨線交而 相分於戊題言甲戌偕戊乙與丙戌偕戊丁 甲ノ 兩矩内直角形等其兩線或俱過心或一過 心一不過心或俱不過心若俱過心者其各分四線等 即雨矩内直角形亦等 咒論曰、國内線。獨丙丁過己心者又有二種 内 其一丙丁平分甲乙線於戊即丙戌線在甲 本篇 ”試作己乙線相聯其丙 乙上、成雨直角、 二一 丁線既兩平分於己又任兩分於戊卯丙戌偕戊丁矩 内直角形及己戌上直角方形并與等己丁之己乙上 一卷 夫己乙上直角方形與己戊戌乙上 直角方形等□□□夫己乙上直角方形與己戊戌乙上 一卷 両直角方形并等 即丙戊借戊丁矩内直角形及 ノ今四七自 己戌上直角方形并与己戌戊乙上兩直角方形并亦 等矣次毎減同用之己戌上直角方形則所存丙戌借 戊丁矩内直角形不與戊乙上直角方形等乎戊乙與 甲戌既等即甲戌偕戊乙矩内直角形與丙戌借戊丁 同九九十四九一九二一二 次論曰若丙丁任分甲乙線於戌即以甲乙線兩平分一 於庚次於庚己己乙乙各作直線相聯。卽己庚 本篇 其丙戌借 爲甲乙之垂線、而成兩直角、 一一 戊丁矩内直角形及己戌上直角方形并與一 一卷 等己丁之己乙上直角方形等二卷而己戊 ・一卷 上直角方形與己庚庚戌上雨直角方形并等 四七七 乙上直角方形與己庚庚乙上兩直角方形并亦等則 丙戌借戊丁矩内直角形及己庚庚戌上雨直角方形 并與己庚庚乙上兩直角方形并等次每減同用之己 庚上直角方形即所存丙戌借戌丁矩内直角形及庚 成上直角方形不與庚乙上直角方形等平夫甲戊借 戌乙矩内直角形及庚戌上直角方形并亦與庚乙上 巻 同十一月直角方形等 此二相等率者毎減同用之庚戌上 五 直角方形則丙戌偕戊丁與甲戌借戊乙兩矩内直角 形等矣、 庚 後論曰、國内兩線俱不過心者、又有二種或 一線平分或兩俱任分皆從己心與戊相聯 作直線引長之爲庚辛線依上論甲戊借戊 乙矩内直角形不論甲乙線平分任分皆與 己… 過心之庚戌偕戌辛矩内直角形等又依上 論丙戌偕戊丁矩内直角形不論丙丁線平 分任分亦与過心之庚戌偕戌辛矩内直角形等則甲 戊午戊乙與丙戌借戊丁兩矩内直角形等 第三十六題 圖外任取一點從點出兩直線、一切圖、一割圍、其割圍之 全線借規外線矩内直角形與切図線上直角方形等 解曰甲乙丙園外任取丁點從丁作丁乙線切圍於乙 本篇巨 十七作丁甲線截図界於丙題言甲丁偕丙丁矩内直 角形與丁乙上直角方形等 先論丁甲過戊心者曰試作乙戌線爲丁 本篇 乙之垂線 其甲丙線平分於戊又引 十八 出一丙丁線卽甲丁偕丙丁矩内直角形及等戊丙之 戌乙上直角方形并與戊丁上直角方形等二巻而戌 一卷 丁上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形并等 四七 即甲丁偕丙丁矩内直角形及戊乙上直角方形并與 戊乙丁乙上兩直角方形并等此兩率者每減同用之一 戌乙上直角方形則所存甲丁偕丙丁矩内直角形與 丁乙上直角方形等 後論丁甲不過戊心者曰試以甲丙線兩平分於己次 従戌心作戊己戌丙戌丁戊乙四線即戊乙為丁乙之 本篇 本篇 戊己爲甲丙之垂線. 垂線 十八 其甲丙線既兩平 三 戊戌 分於己又引出一丙丁線卽甲丁借丁丙 間矩内直角形及己丙上直角方形并與己 一卷 次毎加一戊己上 丁上直角方形等」 六 直角方形即甲丁偕丁丙矩内直角形及 己丙戊己上兩直角方形并與己丁戊己 上兩直角方形并等夫己丙戊己上兩直 角方形并與等戊丙之戊乙上直角方形 巻 等． 而戊丁上直角方形與己丁戊己上兩直角方 等 四七 形并等卽甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方 形井與戊丁上直角方形等矣又戊丁上直角方形與 戊乙丁乙上兩直角方形并等卽甲丁借丁丙矩内直 角形及戊乙上直角方形并與戌乙丁乙上兩直角方一 形并等次毎減同用之戌乙上直角方形則所存甲丁 借丁丙矩内直角形與丁乙上直角方形等 甲 一系若從圖外一點作數線至規内各全 線借規外線矩内直角形俱等如從甲作 丙甲丙甲丁甲戊各線截圖界於己於庚於 辛其甲丙偕己甲甲丁偕庚甲甲戌借辛 甲各矩内直角形俱等何者試作甲乙切圜線則各矩一 線内直角形與甲乙上直角方形俱等故 二系從圜外一點。作兩直線切圍、此兩線等 テ如甲點作甲乙甲丙兩切圜線即甲丙與甲 乙等何者試從甲作甲丁線截圖界於戊其 甲乙甲丙上兩直角方形各與甲丁偕甲戌矩内直角一 本 形等本 則此両直角方形自相等 形等 問 三系從圜外一點止可作兩直線切圍若言 戊戌 一從甲既作甲乙甲丙兩線切圜又可作甲丁 線亦切図令從戌心作戌乙戊丁兩線即甲 本篇 乙戌為直角而甲丁戌亦宜等爲直角一 試作甲戌 十八 直線則甲乙戌角形内有甲丁戊角應大於甲乙戌角 廿 巻 左安得爲直角也又甲乙甲丁若俱切圜即兩線宜 第本題 試作甲戊線截園於己則甲丁爲近己線甚小 同一一糸二一 當小於遠己之甲乙線本論又安得相等也故一點上 止可作切園線兩也。 第三十七題 圖外任於一點出兩直線一至規外一割圖至規内而割 図全線借割図之規外線矩内直角形與至規外之線 上直角方形等則至規外之線必切図 解曰甲乙丙圖其心戊從丁點作丁乙至規外之線遇 圜界於乙、又作丁甲割園至規内之線而截圍界於丙 其丁甲偕丁丙矩内直角形與丁乙上直 角方形等題言丁乙爲切圜線 本篇』 論日試從丁作丁己線切圍於己本 作戌乙戊己兩線相聯若丁甲不過戌心 者又作丁戊直線其丁已上直角方形與 本篇 而丁乙 丁甲借丁丙矩内直角形等 卅六 上直角方形與丁甲借丁丙矩内直角形 亦等則丁乙丁己上兩直角方形自相等而丁乙丁己一 兩線亦等夫丁乙戌角形之丁乙乙戌與丁己戊角形 之丁己己戌谷兩腰等丁戈司民即兩角杉之三角各 之丁己己戊各兩腰等丁戊同底即兩角形之三角各 第一巻 等 2而對丁戊底之丁己戊爲直角 等に 本篇十 亦直角故丁乙爲切二線一 六之系 本篇 即丁乙戊 千八、 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□
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