筆算諸比例 文十八 二十四 図21912 〃11. 九州帝國大學理學部 6655 物理學教室 嘉善陳維棋纂 書 州 九 一如度法命丈為単位則尺寸分釐皆為奇零。命尺為單位則 止而為十若命寸為単位則分以下為奇零而尺則進而為 一叩石為單位則斗升合勺皆為奇零。命斗為單位則升以下 一若命升為単位則合以下為奇零。而斗則進。而為十。石則 十位則銭分釐毫皆為奇零命錢為単位則分以下為奇零 為單位。則釐以下為奇零。而錢則進而為十兩則進而為 為二位百為三位。千為四位万為五位。如有数一万二千 一求。向前列之。共有五位則知此數首位是萬矣。至於暦法 八位則每項命兩位如宮曰幾十幾宮度曰幾十幾度分曰 一六十而進分。分以六十而進度。度以三十而進官故常例 一刻則兩位命為一等而毎一等有十単之別焉此又命位 ○以存其位 辛丑重校 大學學學校教育學部 九州帝國大學 たし 物理學教室 中西算学大成巻十八 筆算一 嘉善陳維棋纂 命位 凡数視所命単位為本如度法命丈為単位則尺寸分差皆為奇零命尺為単位則 一寸以下為奇零而丈則進而為十若命寸為單位則分以下為奇零而尺則進而為 十丈則進而為百量法命石為單位則斗升合勺皆為奇零命斗為単位則升以下 為奇震而石則進而為十若命升為単位則合以下為奇零而斗則進而為十石則 兼而為百衛法命所為単位則銭分釐毫皆為奇零命銭為単位則分以下為奇零 而両則進而為十若命分為単位則釐以下為奇零而銭則進而為二而為。十両則進而為 百故凡列数単為一位十為二位百為三位千為四位万為五位如有数一万二千 一二百四十五則以単位為来。向前列之其有五位則知此数首位是万矣至於暦法 宮度分秒日時刻分之定位則毎項命両位如宮曰幾十幾宮度曰幾十幾度分曰 幾十幾分之類蓋因秒以六十而進分分以六十而進度度以三十而進宮故常例 位而命一等者宮度時刻則兩位命為一等而毎一等有十単之別馬此又命位 之最要者也 凡數未至單位者必須作○以存其位 辛丑重校 一二三四〇 知有數一萬二千三百四十丈。則補作○以存單位如上式如又有 一表一万二千丈則補作〇〇以存百十単之位如下式女 一凡數単位後有奇零者。必作點於單位上以誌之。 一如有金三百四十五両六銭七分命下 女有金三百四十五両六、銭七分命雨為単位則於五上作賜誌之如一 以上式又如有米六石五斗四升三合命石為単位則於六上作馬共 之如下式 四 六四 五三 ○○ 凡列衆数幾多位中有之 数多位中有空者必作○以存其位 二一補作両〇於万後十前以存其位加下式 如有數二萬零四百五十六此中千位無數故必作○於萬後百前以 ○存其位如上式又如有数一万零三十四此中千位百仕俱無無数故 凡宮度分秋皆兩位列之 秋五 分二 十四 十〇 分二 刻三 十三 度〇 如有一十一宮二十度三十二分四十五秒列位如上式又 如日時刻分列位日時分則兩位刻止一位列之如二十一日 一十八時三刻零二分列位如下式。 加法 加者。合衆数而成総也蓋数始於。終於九。至十又復為一。等而上之。十百千萬以一 至億兆京垓。皆得名之為一。即皆自一而加者也。今自一位言之。有自一至九之數 合前後之位言之。有単十百千万之等。先自単数加起成十則進前一位。仍為。以 単數紀本位下。挨次併之。卽得總數若夫宮度時刻斤兩之類則不以十進必足其 如宮度足六十分進一度足三十度進一宮如時刻足十五分 所命之分。始進一位。 進一刻足四刻進一時。足二十四時進一日。如斤雨。足十六両 進一刻足四刻進一時足二十四時進一日如片雨。足十六両 進一〇斤 ←片至於定位則以原数列於上加数刻於下。或大数列於上小数列於下。按法 之類 依次對位列之。加畢所得之數。依原列之位定之。 設有數一萬二千三百四十五與六千七百八十九相加 五九 四 四八三 三七一 二六九 如九與五 法以原數横列於上加數横列於下。按位相對加之。 單八與四相對十從六 相対単従 單位之五九相加得十四進十於前位 百千萬數倶各從其類 一作一点於前位為誌如進二十。 為一誌之 本位紀四 則作二點。如進三才則作三點。 十位之四八相加十二併所進之一為十三復進十於前位為 書於横 格下 日於横 次 一誌之。本位紀三次百位之三七相加得十。併所進之一為十 一。復進十於前位為一誌之本位紀一次千位之二六相加得 八併所進之一為九於是本位紀九至於萬位独有原數無可加則仍紀一所加之 四五 九 四七 一一一二 之數共得一萬九千一百三十四。即總數也。即總數也。即總數也。 設有数一万四千五百四十五。與一万七千三百五十相加 法以原數横列於上加數横列於下。加數内單位無數。故作○ 以存其位。仍按位相対加之単位之五対○無可加。仍紀五次 十位之四五相加得九。九本位紀九。次百位之五三相加。得八本 位紀八次千位之四七相加得十一。進十於前位為一誌之。本 位紀一。次万位之一與一相加。得二。併所進之一為三於是本 位紀三。所加之數共得三萬一千八百九十五即總數也。 一設有二十三丈零五寸六分。與二丈八尺六寸二分相加。 分六二八 寸五六一 一〇八九 文三二五 十二 法以原數横刻於上。加數横刻於下。原數内尺位無數。故作○ 以存其位仍按位相對加之。分位之六二相加得八本位紀八 次寸位之五六相加得十一進十於前位為一誌之。本位紀一 次尺位之八對。○無可加。乃併所進之一為九。九本位紀九。次丈 位之三二相加得五。本位紀五。至於十位。独有原數無可加。則 一仍紀二。所加之数。共得二十五丈九尺一寸八分。即総数也。 一設有糧四萬五千零三十一石。與三千零九十石相加。 石一〇一 十三九二 百〇〇一 千五三八 万四四 法以原数横列於上。加数横列於下原数内百位無数。加數内 百位単位俱無数故各作○以存其位。仍按位相対加之。石位 之一対○無可加。仍紀一。次十位之三九相加。得十二。進十於 前位為一誌之。本位紀二。次百位○無可加則以所進之 一為本位數。故下紀一。次干位之五三相加得。八本位紀八至 於万位。独有原数無可加。則仍紀四。所加之数。共得四万八千 一百二十一石即総数也 設有銀八両六銭五分四釐。與四両零六分二釐相加。 釐四二 分五六一 銭六〇七 両八四二 法以原數横列於上。加數横列於下。加數内錢位無數。故作○ 以存其位仍按位相対加之。釐位之四二相加得六。本位紀六。 次分位之五六。相加得十一。進十於前位為一誌之。本位紀一。 次錢位之六對○無可加。乃併所進之一為七本位紀七次両 十 一位之八四相加。得十二進十於前位為一誌之本位紀二至於 十位無數。則以所進之一為一。所加之數。共得十二両七錢一 分六釐即総数也。 設有田三区。一区五百九十二畝三分。一区八百五十五畝九分一区七百八十二 畝五分相加 分三九五七 一同断二十二 十九五八三 千 百五八七二 一宗九百三十八両一宗二千五百九十両。一宗一千二百一十五両。一宗二千 五百一十八両。一宗五千三百六十六両。一宗四千三百七十二両相加。 二一〇三 五一二八 八二五五 八三 法以田三区。按位横列。相対加之。分位之三九五。相加得十七 進十於前位。為一誌之。本位紀七。次畝位之二五二。相加得九。 併所進之一為十。進十於前位。為一誌之。本位紀〇。次十位之 九五八相加得二十二併所進之一為二十三。二進二十於前位 為二誌之。本位紀三。次百位之五八七。相加得二十。併所進之 二為二十二。進二十於前位。為二誌之。本位紀二。至於千位無 數則紀所進之二為二。所加之數。共得二千二百三十畝零七分。即總數也。 設有銀九宗一宗八千八百五十二両。一宗三千二百一十一両。一宗五百二十両。 宗五千三百六十六両一宗四千三百七十二両相加。 法因九宗数繁難加故分為三次。三次復併為一次則得共数 其八千八百五十二両。三千二百一十一両。五百二十両。相併。 則得一万二千五百八十三両。其九百三十八両二千五百九 十両。一千二百一十五両。相併。則得四千七百四十三両。未次 二千五百一十八両。五千三百六十六両。四千三百七十二両 八〇五三 三九一四 九五二七 二一四 相併。則得一万二千二百五十六兩。既得三総數又将三數併 之得二萬九千五百八十二兩即九宗兵數也。 八六二六 一六七五 五三三二 二五四二 三三六二 八四五八 五七二五 二四二九 一一二 設如九宮二十度三十分二十六秒。与六宮一十八度二十分五十秒相加。 分八九 十〇 刻二三 時五二四 十一二 法以原数横刻於上。加数横列於下。其毎項各命両位。仍按各 位相対加之。秒之単位六対〇。無可加。仍紀六。秒之十位二五 相加。得七十。乃以六十秒進一分。誌於分之本位。秒之十位紀 一次分之単位○與○無可加。則以所進之一為本位数。故下 紀一。次分之十位三二相加。得五。故下紀五。次度之単位八対 ○。無可加。仍紀八。次度之十位二一。相加得三十。乃以三十度 進一宮誌於宮之本位。度之十位紀○。次宮之本位九六。相加得十五。併所進之 一為十六因十二宮満一周天。故達十二去之余四。故下紀四所加之数共得四 宮八度五十一分一十六秒。即總數也。 設如一日一十五時二刻八分。與一日一人 一設如一日一十五時二刻八分。與一日一十二時三刻九分相加。 法以原數横列於上。加數横列於下。日時分則合兩位共加。刻 則仍命以單位。蓋以四刻進一小時故也。分位之八與九相加。 得十七。十五分進一刻。故於刻之本位下誌一。餘二。故單位下 紀二。十位下紀〇。次刻位之二與三相加。得五。併所進之一為 六四刻進一時。故於時之本位下誌一。餘二。故本位紀二。次時 之単位五二相加得七。併所進之一。得八時之十位一与一相 加得二。共為二十八。二十四時進一日。故於日之本位下誌一。餘四。故時之単位 下紀四。十位下紀〇。次日之単位一與一相加得二併所進之一為三故下紀三 所加之數。共得三日四時二刻二分。即總數也。 設有物重三十四斤十五両五錢。與二十一斤十四両三錢相加 法以原數横列於上。加數横列於下。其錢位斤位。與斤之十位。 両以 銭五三八 両五四三 仍皆按位相對加之兩位與兩之十位。則合其數共加之。所以 十六 方進一斤故合而加之如列數有両 錢位之五三相加得八本 一數無十數者乃作○以存十兩之位は 八位紀八両位之原数十五加數十四相加共得二十九則進十 十三二五 六兩於前斤位為一誌之。其所餘十三兩。則於兩位紀三十位 紀一。次全位之四一相加得五併所進之一為六本位紀六。次 十位之三二相加得五本位紀。五所加之數共得五十六斤十三両八銭即總數 也 減法 減者。数累数而得余也。凡以少減多。小減失。原有之数書於上。応滅之数書於下。横 如干減千百 列必對其位相減必從其類以 減百之類 如或下數大於上數不足減則借前位之 一以減本位 加法由後而進前減法則借前 間前位作一点以誌之。既得本位則前位 而退後其理一也詳見設如中 所借之一。併於前数而為減数。然両数相減必先辨其多寡首位必大於減数始可 其定位亦照原列之次為減餘位。 設有數五萬六千七百八十九。内減四万三千六百四十二。 六七八九 五四 法自単位減起單位之九減二餘七。故下紀七十位之八。減四 一餘四。故下紀四。百位之七。滅六餘一。故下紀一。千位之六。減三 一餘三。故下紀三萬位之五。滅四餘一。故下紀一。所減之數得一 萬三千一百四十七。即餘數也。 設有数二万三千六百七十二。内減一万六千四百八十一。 六四 三六 二一一故下大於上。則借前位之一。 法自單位減起。單位之二。減一餘一。故下紀一。十位之七。滅八 前位下作 作本位之十。共十七。減 同故下大於上則借前位之一 一点為誌 八餘九故下紀九。百位之六減四併十位所借之一。則為六減 五餘一。故下紀一。千位之三減六為下大於上。則借前位之一。 前位亦作 作本位之十。共十三。滅六餘七。故下紀七。萬位之二 一点為誌一 減一併千位所借之一。則為二減二。恰尽故下紀〇。所減之数 得七千一百九十一即余数也。 一設有六丈七尺八寸九分一台。内滅三丈四尺五寸九分九釐 法自釐位減起。釐位之一減九為下大於上。則借前位之一。 前 位 一九二 分九九九 寸八五二 尺七四三 文六三三 下作一 点為誌 作本位之十共十一。減九餘二。故下紀二。分位之九減 一尤併釐位所借之一則為九減十。亦為下大於上故復借前位 之一 前位下作 作本位之十。共十九減十餘九。故下紀九寸位 一点為誌 之八減五併所借之一則為八減六。餘二。故下紀二。尺位之七 減四。餘三。故下紀三。丈位之六減三。餘三。故下紀三。所減之數 一得三丈三尺二寸九分二釐。卽餘數也。 一合二三九 井三七五 斗四二一 石五六九 十六四一 一設有米六十五石四斗三升二合。内減四十六石二斗七升三合。 前 下作一 作句志 点為誌 七併合位 前位下作 一点為誌 法自合位減起。合位之二減三。為下大於上則借前位之一。価 忠作本位之十。共十二。減三餘九。故下紀九升位之三減 三七五也併合位所借之一。則為三減八。為下大於上則借前位之一 作本位之十。共十三。減八餘五。故下紀五。斗位之四 升位所借之一。則爲四減三。餘一故下紀一。石位之五 位 減六。為下大於ト。則借前位之一 前位下作 作本位之十。共十 一點為誌、 五減六餘九。故下紀九十位之六減四。併所借之一。則為六減五餘一。故下紀一 所減之數。得十九石一斗五升九合。即餘數也。 一設有銀十五両零七釐。内減九兩二錢三分四釐。 法自釐位減起。釐位之七。滅四餘三。故下紀三。分位之〇減三。 釐七四三 前位下作 無可減則借前位之一 作本位之十。十減三餘七。故 七四三無可減則借前位之一 分○三七 銭○二七 一一一同一 下紀七錢位〇減二併分位所借之一。為○減三無可減又借 両五九五 十一 錢位之一 前位下作 為本位之十。十減三餘七。故下紀七。兩位 一点為誌一冊 之五減九。併錢位所借之一。為五減十。為下大於上。則借前位 之一 前位下作 二十二年。六十五歳十餘五。故下紀五十位。 一点為誌 之一減兩位所借之一。恰盡故下紀〇。所減之數得五両七錢七分三釐。即餘數一 或如七宮一十八度二十七分五十二秒。内滅九宮二十一度三十五分四十三秒 杪二三九法自秒位滅起秒之單位二減三為下大於上。則借前位之一。 十五四 分七五二 十二三五 前位下作 副作本位之十。共十二。滅三餘九。故下紀九。秒之十位。 一点為誌一冊 五減四。併所借之一則為五減五。恰尽故下紀○分之単位七 度八一六 十一二二 減五。餘二。故下紀二分之十位二減三為下大於上。則借度位 同同宮七九九 之一為六十分。 度位下作 六十分與原二十分。共為八十分。内 一点為誌 減三十分。餘五十分故下紀五度之単位八減一。併所借之一。則為八滅二餘六 故下紀六。度之十位一減二。為下大於上則借宮位之一為三十度、 宮位下作 ロドイント 三 二 一点為誌一 十度与原十度。共為四十度。内減二十度余二十度故下紀。一宮之単位七減九 併所借之一。則為七減十為下大於上。則外借一周天為十二宮。十二宮與原七一 宮。共為十九宮。内滅十宮。余九宮。故下紀九。所滅之数得九宮二十六度五十二 分九秒卽餘數也 分九〇四 十〇一一 刻三三三 時二三二 十二二二 一日二一六〇 日二一六〇 十一一〇 設如一十二日二十二時三刻零九分内滅一十日二十三時三刻十分。 法自分位減超日位刻位。俱各按單位相減。其分位時位。則合 兩位減之。分位之九減十。為下大於上。則借刻位之一為十五 分。 分は 卯刻之本位下 則十五分為原九分。共為二十四分。内減十分余 作一点為誌一 十四分。故分之単位紀四。分之十位紀一。刻之本位三減三。併 所借之一。則為三減四。為下大於上。則借時位之一為四刻。 単位下作 四刻與原三刻共為七刻。内減四刻。餘三刻。故本位 一点為誌一 一下紀三時位之二十二滅二十三。併所借之一。則為二十二減 日之本位下 作二點為誌 二十四。為下大於上則借日位之一為二十四時。 一十二時。共為四十六時。内減二十四時。餘二十二時。故時之単 二十四時與原二十二時。共為四十六時。内滅二十四時。餘二十二時故時之星。 位下紀。二時之十位下亦紀二。日位之二滅一。併所借之一。則為二減二。恰尽故 下紀〇。日之十位之一減一。恰盡故亦紀○所滅之數得二十二時三刻一十四 分。即餘數也。 銭八三五 両四二八 設有物十五斤零四両八錢。内滅十二斤十二両三錢 法自錢位減起。錢位之八。減三餘五。故下紀五。兩位之四減二 ○十六両為一斤故作○ 似非下大於上。然原數兩之十位。為○。 於斤後兩前以存十兩 位 以而減数両之十位為一。則為四両減十二両。亦為下大於上 十〇一〇 筋五二二 片位下作 十六両與原四両共為二 故借斤位之一為十六両 一点為誌一冊 一点為誌一 十一一 十両内減十二両余八両故両之単位紀八十位紀〇斤位之 五減二併所借之一。則為五減三餘。一故下紀二。十位之一減 一恰盡。故下紀〇。所滅之數得二斤零八兩五錢即餘數也。 因乗 因来者。生数也以数生数。有生生不巳之義尚。凡有幾数。彼次加之。為得総数 然所加之次数多。則必至於煩而無統。此因乗之所以立也因者一位相因而得如 二因三而成六四因二而成八也。乗者多位相乗而得。如両位以上。則各以毎位所 因之数而又層累以積之也。其法以原数為賞。乗数為法。実列於上法列於下。必使一 法実相当。 如干対千。百数百十 対古単対軍之類。 按法乗実。合而加之為所得数定位之法。視其法実 一所命之単位後有奇零典石如無奇処則実中所命之単位相対即法尾之数若有一 如単位後奇零有一位則截得數 之二位奇零有二位則截得數之 一奇零。則法実相乗者。法実之一位。統得數之二位。 四位向前為 単位計之 即自乗 島巨弐 跡法実之一位統得数之三位 奇零有 同法実相乗再以法来者。 如単位後 再来也。 一位則截得數之三位。奇零有二位則 一截得數之六位。向前為單位計之 是故得數以一位論者。則為單十百千之類以一 両位論者則為自乗之類以三位論者。則為自乗再来之類。錯綜交互。用法不一必 須臨題詳審。求其無誤。始為得之。具見設如於左 一設有三人每人賞緞二疋。問共得幾疋。 法以三人為実列於上。二疋為法列於下。以二因三得六。即書 三二六 於本位下。定位以實之三人。即是單位。而法又止一位為疋。今 得數之六與実之単位相對。故知六是疋位。得共數為六疋也。 八六八 六八 一設有八人。每人支米六石。間共得幾石。 法以八人為竇。列於上。六石為法列於下以六因八。得四十八 本位為単位 前位為十位故 将四書於前位下。 十數紀前位下 八書於本位下。 故単数紀本 四 位定位以実之八人即是單位。而法亦止一位為石。今得數之 八與賞之単位相對。即知八是石位。而四在石之前一位故知四是十位得共數 為四十八石也 設有一十二人。每人支銀五兩。問共支幾兩。 二五 六 法以一十二人為実。列於上。五両為法。列於下。命兩位與人之 単位相斉。先以五乗二得一十。將十進前一位。作一。點誌之。紀 此数無単 ○於本位下。 次以五乗一仍得五併所進之一為六。 故下紀〇 一同組〇 一雖為十位而以五乗」 一雖為十位而以五乗 故書六於本位下。 則一下為本位矣 第六得六〇。定位因十之單位。對法之兩 依而得數之○。與實之單位相對故知○爲兩位六為十位得共數為六十両也。 設有工匠二十四人每人工銀三兩六錢問共得幾兩。 四六四四 二三四二六 一七一 法以二十四人為實列於上。三兩六錢為法。列於下。命錢位與 人之単位相斉。乃以法之六遍乘実之二四其所得之単位数 即對本法位下書之。六乗四得二十四。將二十進前一位。作二 点誌之。四書於本位下。次以六乘二得一十二。將十進前一位 二雖為十位而以六乗 為一書之二併所進之二為四。故書四於本位下。 法之六 二則二下即為本位矣 既與實乘畢。次以法之三。遍乘實之二四。其所得之單位數即對本法位下書之。 三乘四得一十二。將十進前一位。作一點誌之。二書於本位下。次以三乘二得六 併所進之一為七。故書七於本位下。法之三又與賞来畢乃用加法併之。共得八 六四。總書於下。定位以實尾之四。係四人為単位而法位為錢今得數未位之四 與實之単位相對卽知四是錢位二位為兩三位為十両得共數為八十六兩四 銭也 設有田三百六十畝每畝納糧三升五合。問共得若干。 ○五 五〇 六三 法以三百六十畝為実列於上三升五合為法列於下。実之単 位無数則補○以存其位命合位與畝之単位相応。乃以法之 五遍乘實之三六〇。其所得之單位數即對本法位下書之五 一〇二 二一 乗○仍為○。故下紀○。五乗六得三十。將三十進前一位作三 点誌之。本位現〇。五乗三得十五。將十進前一位作一点誌之 五併取進之三為八。故書八於本位下。又以法之三遍。来実之三六。空其所得之 単位数即對本○位下書之。三乗○仍得○。故下紀〇。三乗六得十八。将十進前 一位作一点誌之。八書於本位下。三乗三得九。併所進之一為十。故進前一位為 一書之。本位紀〇。乗車用加法併之。共得一二六〇〇。総書於下。定位以実尾之 ○係単位。法尾是合。今得数未位之○。與実之単位相對。即知末位之○是合。前 一位是升。向前數至首位。得十石因知共數為十二石六斗也。 設有田三項五十畝每頃納糧一石二斗三升。問共得若干。 因畝位無数故 法以三項五十畝為ノ実列於上。 ○一石二斗三升為法。列於下。又令 ○作○以存其位。 ○三 五二 三一 一七五 三〇五〇 同三・五〇 題中言毎頃納一石 石位與項之單位相齊 乃以法之三遍乗 故石與頃對為単位 十之三五〇其所得之単位数即対本法位下書之三乗◯仍 得○。故下紀○。次以三乗五得一十五。將十進前一位。作一点 誌之。五書於本位下。次以三乗三得九。併所進之一為十。故進一 前一位為一書之本位紀○又以法之二遍来実之三五〇。其 所得之単位数即対本法位下書之二乗◯仍得○。故下紀○。 二乗五得一十。将十進前一位。作一点誌之。本位紀〇。二乗三得六。併所進之一 為七。故書七於本位下。又以法之一遍来實三五〇。其所得之単位数。即針本法 位下書之。一乗◯仍得○。一乗五仍得五。一乗三。仍得三。俱各書於本位下。乗畢 用加法併之。共得四三〇五〇。総書於下。定位因毎項納糧一石二斗三升。即命 項為単位而石亦為単位。其後二位則為奇零凡法宝之奇処有一位則統得数 之兩位。今奇零既有二位。則統得数之四位。故従後載去四位。而第五位定為石。 因知共數為四石三斗零五合也 設有金三十六兩。每兩價銀九兩九錢八分。間共價幾何。 法以三十六両為覚列於上九両九銭八分為法。列於下。実中銭位分位俱無数。 則補作○○以存其位。命分位與分位相齊。乃以法之八。遍来賓之三六〇〇。先 以八乗○○。仍得○○。故下紀○○○。次以八乗六。得四十八。 ○八 〇九 〇九一〇 ・ 四十進前一位。作四点誌之。八書於本位下。次以八乗三。得二 十四。将二十進前一位為二書之。四併所進之四為八。故書八 六九八〇〇 三八四〇二 八四〇二 二二四九 於本位下。又以法之九。過乗実之三六〇〇。先以九乗○○。仍 得○○。故下紀○○。次以九乗六。得五十四。将五十進前一位 作五点誌之。四書於本位下。次以九乗三。得二十七。将二十進 前一位作二点誌之。七併所進之五為十二十又進前一位為 一。併所誌之二為三。故前位書三。本位書二。又以法之九。遍乘 実之三六〇〇。先以九乗○○。仍得○○。故下紀○○。次以九乗六得五十四時 五進前一位。作五点誌之。四書於本位下。次以九乗三得二十七。将二十進前一 位。作二点誌之。七併所進之五為十二。十又進前一位為一。併所誌之二為三故 前位書三。本位書二。乘車用加法併之。共得三五九二八〇〇。定位因題言。每兩 借銀九両九錢八分。爰以両為単位。其後二位則為奇零。奇寒既有二位則統得 數之四位。故從後截去四位。而第五位定為兩。第六位為十。第七位為百。因知共 数為三百五十九両二錢八分也。 設有物二十六斤。求両數。 二六 法以二十六斤為覚列於上。以毎斤十六両為法。列於下。乃以 法之六。遍乗実之二六。其所得之単位數即対本法位下書之 六乗六得三十六将三十進前一位。作三点誌之。六書於本位 下。次以六乗二。得一十二。將十進前一位為一書之。二併所進 之三為五。故書五於本位下。又以法之一。適来実之二六。其所得之単位数。即封 本法位下書之。一乗六。仍得六。故下書六。次以一乗二仍得二。故下書二。乗車用一 加法併之。得四一六。定位因宝位為単位。而法尾又是両位。故得數末位之六。即 為単位為両。而前一位為十。又前一位為百。因知得数為四百一十六両也。 設如周天三百六十度。每度六十分。問共得若干分。 因単位 法以三百六十度為実。列於上。以六十分為法。列於下。 故各作○ 俱無数 以存其位 九九乃以法之○。遍乗実之三六〇。仍皆得○。故各紀○ 於各位下。又以法之六。遍乗実之三六〇。其所得之単位數。即 對本法位下書之。六乗○。仍得○故本位下紀○。次以六乗六。 得三十六。將三十進前一位。作三点誌之。六書於本位下。次以 六乘三得一十八將十進前一位。作一點誌之。八併所進之三 為十一。十又進前一位為一。併所誌之一為二。故前位書。二本位書一。乗車用加。 法併得二一六〇〇。定位以実之末位是単位。法之末位是分。今求分数故得數 末位之〇。即是分之単位向前数至首位得万因知共数為二万一千六百分也 設有験時儀墜子。来一秒。往一秒。今十五分。問共得米往幾秒。 法以十五分為実。列於上。以毎分六十秒為法。列於下。乃以法 九〇〇 之○。遍乗実之一五。仍皆得○。故各紀○於本位下。又以法之 六遍乗実之一五。其所得之単位数。即対本法位下書之。六乗 五得三十。将三十進前一位。作三点誌之本位紀〇。次以六乗 一仍得六。併所進之三為九。故書九於本位下。定位以実之末位為単位。法之末 位是我。今未秒數。故得數未位之○。即是秒之単位。其前一位為十。又前一位為。 百。因知共数為九百秒也。 設如一尺二寸自乗求積 同以本數乗本 数故為自乗 法以一尺二寸互為法覚。列於上下。乃以法之二。遍来十之一 二其所得之單位數。即對本法位下書之。二乘二得四。故下書 四。次以二乗一。仍得二。故下書二。又以法之一。遍乗買之一二。 其所得之単位数。即対本法位下書之一乗二仍得二故下書 二次以一乘一。仍得一。故下書一。乗車用加法併之。共得一四四。定位因自乘數 成平方面。其毎一尺正方面容積一百寸。故百寸為尺。百尺為丈。俱以両位命之。 今実之末位為寸。卽命為単位。法之末位是寸。得数末位之四。與賞之単位相對。 即知為寸位。向前第二位為十寸。第三位為百寸。既以百寸為尺。即知得数為一 尺四十四寸也。若命尺為単位。則於尺上命位。其後一位為奇雲。故於得數内。從 葢自乘乃兩數相乘兩數既久 未截去二位以第三位為尺。 有一位零數故截去兩位算也 一今得数有三位即知 不位又既為寸。則中一位為十寸可知矣 題以本數乘本數所得之數又以 設如一尺二寸自乗再乗求積 本數乘之故謂之自乘再乘 法先以一尺二寸互為法実。按法自乘。得一尺四十四寸。又以 八八 一尺四十四寸為実。復以一尺二寸為法按法柔之。共得一七 八四二 二四七 二八定位因自乗再乗數成立方體其毎一尺正方體容積一 一干寸。故以千寸為尺。干尺為丈。俱以三位命之。今実之末位為 寸。即命為單位。法之末位是寸。得數末位之八與賞之単位相 對。即知為寸位。向前弟二位為十寸。第三位為百寸。第四位為千寸。既以干寸為 一尺。即知得数為一尺七百二十八寸也若命尺為単位。則於尺上命位。其後一 蓋自乗再乗乃以三数相 位為奇零。故於得數内從未截去三位。以第四位為尺。 故截去三 位算也 乗三数既各有一位零数 今得数有四位。即知首位為一尺。首位既為尺。未位又既為寸。則中二一 位為十寸百寸可知矣 帰除 歸除者。分數也以數分數。有各得均斉之義焉。凡有両。以此數減彼數減得幾次 即為所得。然所滅之次数多。則益至於紛而難紀。此歸除之所以立也。歸者。一位歸 之而得。如歸作幾分而均分之也。除者。多位除之而得。蓋以所得之疑与法相因而 於實内除去也。其法以原數為實。横列於下。除數為法。横列於下。法之小於實者。法 之首位與賞之首位列應。法之大於實者。則法比實退一位。看實足法幾倍。即為得 數。自法之未位上紀所得之數既得數。乃以所得與法相因。書於實下。與實相減餘一 減餘者乃所得與法相因之數在實中 者即為次商実。依次按法歸除。以恰盡為度。 所減者其數每與法位相對即初商之 餘實也至於實位所餘之數則毎次取下一位續於減餘之未以口 為每商之實若實無餘位而歸除仍未盡者則按位添○以紀之 倍者。則得數為○。定位之法。以法中所命單位。與原實相對之數為所得之首位數。 如実不足法之一 若実之位數少於法者。則作幾○位以補足法。然後位數一覧即明。設如於左。 設有縀六疋三人分之。閣每人得幾疋。 法以六疋為竇。列於下。三人為法。列於上。今法與賞俱為單位。而法比宝小。故列 法與賞相齊。爰看實足法幾倍。今足二倍。故書二於法上。乃以得數之二。與法之 三三六六 三相因得六。書於実下与実相減恰尽。即得数為二疋也。定位 因法之三人。即為単位。而実亦止一位為疋是法之単位。與賞 之疋位相對故得數為二疋也。 一設有米六十四石八人分之間每人得幾石。 買下。 八八四四 〇其所得単位数即対 得数之本位下書之 法以六十四石為貴列於下。八人為法列於上。因法之八。大於 実之首位六。故将法退一位書之。爰看実足法幾倍。今足八倍。 故書八於法上。乃以得数之八。與法之八相因。得六十四。書於 姪與實相減恰尽。即得數為八石也。定位因法之八人。即 一爲單位。而與實之石位相對。故得數為八石也。 設有銀三百四十三両七人分之間毎人得幾両 法以三百四十三両為実列於下。七人為法列於上。因法之七。 大於実之首位三故将法退一位書之。爰看実足法幾倍。今実 何以知其足法之四倍蓋実之三 前両位為三四足法之四倍 八如法之七之五倍則 十四内足法之七之四倍為二十四倍為二十四 為三十五比実則大矣、 故書四於法上乃以得數之四。與法之 同其所得單位數即對得數 七。相因得二十八。書於実下。 之本位下書之後倣此 減餘六次取実數所餘之三。書於減餘之後。共六三為次商売。爰着買之六三疋 興実相 法幾億今足九倍。故書九於得数之次。以與法之七相因得六十三。書於次商賞 之下。與実相減恰尽。即得数為四十九両也。定位因法之七人即為単位。而與実 中之両之十位相対。故得数首位即為十。而次位為両。是知毎人得四十九両也 設有絲四十五斤。共織得縀九十二丈二尺五寸。間每斤織得若干。 取実之一位続書於下謂之也 三商実者○位為次商故也。 法以九十二丈二尺五寸為宝。列於下。四十五斤為法。列於上。 因法之首位四。小於宝位之首位九。故列法與賢相斉。爰看實 之九二。足法之二倍。故書二於法上。乃以得數之二。與法之四。 五相因得九〇書於実下與実相減餘二二五次截実数所餘 之二二為次商実因二二不足法之一分。故得数為○。乃紀○ 次商実之二二不 於上。復取実数所餘之五書於二二之後。共二二五為三両覧。 足法之四五故再 此変着実之二二五足法之五倍。故書五於上。乃以得 數之五與法之四五相因。得二二五。書於實下。與實相減恰盡。即得數為二丈零 五寸也。定位因法之五斤為単位而與売之丈位相対。故得数首位即為丈。等而 一下之為尺為寸。是知毎斤得織二丈零五寸也。 設有田四十五畝六分。共納穀五十七石。間每畝納穀若干。 法以五十七石為写。列於下。四十五畝六分為法列於上。因法之首位四。小於実 石二斗五升也定位因法之五畝為単位。而與質之石位相對。故得數首位為石。 一之首位五。故列法與費相斉。又因實之位數小於法。故補作○ 以足其位。爰者実之五七〇。足法之一倍。故書一於法上。乃以 得数之一。与法之四五六相因。仍得四五六。書於実下。與実相 滅餘一一四。此後実無餘位。故添書一〇於減餘之末。為次商 実。爰看一一四〇。足法之二倍。故書二於上。乃以得数之二。與 法之四五六相因。得九一二。書於実下。與實相滅。餘二二八。添 書一〇於渋餘之末。為三商費。爰有二二八〇。足法之五倍。故書五於上乃以得 數之五。與法之四五六相因。得二二八〇。書於實下。與實相減恰盡。即得數為一 是知毎畝納穀一石二斗五升也 設有丹砂一両。價値錢二万五千文。問每錢一文該得丹砂幾何。 法以丹砂一兩為賞列於下。銭二万五千為法列於上。因法之 首位二。大於実之首位一。故将法退一位列之。又因法之百位 十位単位俱無数。故各作○以存其位、而実亦作五〇位以補 足法。爰看実足法之四倍。故書四於法上乃以得數之四。與法 之二五〇〇〇相因得一〇coooo。書於実下。与貢相減恰 直。即得數為四絲也定位因法之末位○係単位。故從実之首位一兩。数至法之 単位相對之位為絲是知毎錢一文得丹砂四絲也 設有銀一千二百五十両。全数買果。毎粟一枚。価一釐五宝。問買果若干。 DOOOO 與法相對蓋命実為一 千二百五十万毫也 因法之単位是 法以一千二百五十両補五〇位為実列於下。 一一六五〇位 二釐五毫為法列於上。爰看実之一二 五。足法之五倍。故書五於法上。乃以得數之五。與法之二五相 因得一二五書於実下與実相減恰尽。然実後尚有五〇位故 得数後亦添五〇位為五十万也。定位因法実俱至毫位止。即 命毫為単位。爰従実之末位。数至法之単位相対之位為十万。 是知得果為五十万枚也。 設有物重三百八十四両。問得斤數若干。 ヨー 同目 八二六六 法以三百八十四両為覧列於下。每斤一十六両為法列於上。 爰看実之三八。足法之二倍。故書二於法上。乃以得數之二。與一 法之一六相因。得三十二。書於實下。與實相減餘六。次取盲數 之四。書於減餘之後。共為六四。因足法之四倍。故書四於上。乃 以得數之四。與法之一六相因。得六十四。書於賞下。與實相減 恰尽。即得数為二十四斤也。定位因法之両数為単位。而與実之十位相対。故知 得数為二十四斤也 一設如周天三百六十度分十二宮間每宮得若干度。 三〇 三十一 法以三百六十度為実。列於下。一十二宮為法。列於上。爰看実に 之三六。足法之三倍。故書三於法上乃以得数之三。与法之一 二相因得三六。書於実下與実相減恰尽然実後尚有○位。故 得数後亦添一〇位即得数為三十度也。定位因法之二為単 位。而與賞之十位相對。故得數首位為十。而每宮為三十度也。 設如一日之中。得一千四百四十分。以九十六刻分之。問每刻得若干分。 法以一千四百四十分為実。列於下。以九十六刻為法列於上。 一六四六八八 五 九四九四四 一〇 爰看実之一四四。僅足法之一倍。故書一於法上。乃以得數之 一。與法之九六相因仍得九六。書於実下。與実相減。餘四八。次 取実之○位。書於減余之後。共為四八〇。因足法之五倍。故書 五於上乃以得數之五。與法之九六相因得四八〇。書於実下。 與實相減恰盡。即得數為一十五分也定位因法之六為単位。而與賞之十位相 對。故得數首位為十。而每刻為一十五分也。 附乗除用籌法 凡籌以牙為之。或紙或竹片皆可。長短任意。以方正為度。 一凡籌背面皆平分九格。毎格以斜線界之。 凡籌骨面皆相對。第一籌之陰即為第九。便検尋也。二與八。三與七四與六五典堂 位。皆傲此。共五類。類各五籌。共為二十五籌。或更加之亦可。 第一籌 二ノ二百五十一六一七一八九 一籌陰面 一籌陰面 一九九七一六一七一六一一六六九九 即第九等 五六七八 時 同二一四六八 第二籌 くくくく 二籌陰面 即第八籌 八六一四一二 四五六七 式 第三等 同三六九二五人二 くら 三等陰面 三等陰面 一七五二九六 即第七等 一十三日四五六 一里八合二十 第四等 くらみ立 四籌陰面 即第六等 |六|||| フ六ノニ一八ノ四 四四五人 第五等 一金五位 米五百五三四 五等陰面 即空位等 凡等。毎格両位。其下為本位。上為進位。仮如本位一両。則進位為十両。 凡列雨籌。則格内成三位。左之本位与右之進位両斜角合一成位故也。列三籌。 則成四位。列四籌。則成五位。五籌以上。皆倣此 凡籌有明數。有暗數。明數者。壽面所有之數是也。暗數者。格數也。假如第一格即為 一數。第二格即為二数。 凡籌與格數相因而成積數。假如第二籌之第四格。即馬八數。第九等之第八格。即 為七二数 乗法。凡雨數相來。任以一為實。一為法。先列實於上。次以法數用籌率之。法有幾位。 則用幾等。守従実木位最小数乗起。視原実某数。即於籌某層取数。令其木位無原 實某數相對。自左而右列之。実有幾位。俟次乘之。乘訖。相併即得。 設有米三百八十石六斗。毎石價銀四両五分二釐。閩該銀若干。 法狂以銀為実列於下。未為法列於上。如法数取壽。 從來位乘起。先乘二釐。取籌第二層數。〇七六一二 列之。令末位二興釐位相對。次乘五分。取籌第五層 数一九〇三〇。其木位○與分位相對。錢位為〇。省 一乘。進乘四兩。取籌第四層數一五二二四。以來位四 與四兩相對。均自左而右書之。乘訖。相併得一五四 六二二 〇五一〇 八〇六三〇 三四七〇〇四 〇九〇二二 一〇二四 〇五五 二一 二一九一二。如前空位得一千五百四十二両一錢九 分一釐二毫也 除法。先定法實。列法於上。實於下。實首位満法者。法實首位相齊。不満法者。法降一 位書之。法有幾位。則用幾籌。視籌第幾層中積數有與原實相同者。或畧少於實者。 用其數以減原實。是為初商。其層數即為商數。此前數視所滅實之末位與法數某 位相對。即書於法數某位之上。不盡者如法再爾。至實盡而止。餘實不満法。以法命 之。除訖。併諸商数。即得所求。 設有銀三千三百三十六両五銭七分八釐。買米八百五十四石。間毎石価若干。 法以銀為実列於下。米為法列於上。如法数取籌。視籌第三層数二五六二略小於 原実。用以減実。定初高三。書於法数石位之上。餘実七七四五七八為次商実。再簡 籌第九層數七六八六小於餘實。以減實。定次商九接初商之下。與此末位六相對 仍有餘實五九七八。簡籌内第七層數與之相等。減實通盡。即定三商七。此末位八 三九0七 七七 三二〇 五七八 七六 同五七八 五九七八 與次商下二位相對。即補○於下位。而紀七於下二 位。併之。得三九〇七。即毎石價為三両九錢七釐也。 呉縣葉耀元校並絵図 江斎李賜恩校絵 江窩李錫恩校絵 中西算学大成巻十九 筆算二 嘉善陳維棋纂 命分 凡歸除分至最細。而可以恰尽無餘者。謂之無奇零数。若分至最細而屡陰不盡者。 謂之有奇零數。其奇零若略去之。則不能復還原數。此命分之所以立也。其法命為 分母分子。分母者即除數也。分子者即除不尽之数也。凡不尽之数。得分母中之幾 分者。即命為幾分之幾。是以命分一法。正所以濟歸除之所不逮也。 設有銀十一兩。命三人分之。問每人得若干。 法以三人分銀十一兩。每人得銀三兩。仍餘二兩。再以三人分之。每人得六錢六 分六釐六豪。如是毎得六而仍餘二數不盡。故立命分法。以三人為分母。所餘二 兩為分子。命為每人得三兩又三分兩之二。葢將每兩剖作三分其所餘二兩則 共副作六分。三人分之。每人得二分故命為三分兩之二也。如固三分兩之二。求 知原銀數。則以三人與分子二分相乗得六分。蓋毎人得二分。則三人共得六分 也以六分用分母三分歸之得二兩。葢初分一両為三分。故終收三分為一兩也。 再加入三人所得整敷共九両。心 一人三両三 則得十一両。以合原数也。 一共得九両 設有銀一百八十七兩。命十八人分之。問每人得若干。 法以十八人分銀一百八十七両。毎人得銀十両。仍余七両分之不尽。則以十八 人為分母。所餘七兩為分子。命為每人得一十両又十八分兩之七。蓋將每兩副 作十八分。其所餘七両則共剖作一百二十六分。十八人分之。毎人得七分。故命 為十八分雨之七也。如因十八分両之七。求知原銀数。則以十八人与分子七分 相乗得一百二十六分。蓋毎人得七分。則十八人共得一百二十六分也。以一百 二十六分。用分母十八分歸之得七兩。蓋初分一両為十八分故終收十八分為 一人十両十八人 一両也再加入十八人所得整数共一百八十両 則得一百八 共得一百八十両口 十七両以合原数也。 約分 約分者。以所命之分。約之以就整分也。葢命分是随其數之多寡。全而糺之而約分 則即其多寡之数。従而約之。以求簡易焉。其法以分子分母両数輾転相減。務期減 余両数相同是為度尽両数之一数。乃以此数為一分。以除分母得幾分者即約分 母為幾分又除分子得幾分者。即約為分母幾分中之幾凡諸法中有帯分者皆由 約法而得。故設例於此所以明帶分之根也。 設如古暦歳宝命為三百六十五日又一百分日之二十五今以法約之。求相当最 小數 法置日分一百。以餘分二十五減之。余七十五分。再以二十五減之。餘五十分再 以二十五減之。亦餘二十五分。兩數齊等。即以相等之數二十五轉除日分一百 得四。即為四分。又以二十五除余分二十五得一。卽為一分。乃百分日之二十五 蓋將一日割作四 約為四分之一。是歳実共得三百六十五日又四分日之一也。廿八 分。而得其四分之 也凡約分法。以分母分子相減必得相等之数。然後用之。蓋固此数可以度尽分 母又可以度尽分子故也。今以相等之数二十五為一分則日分一百有四倍二 十五。故為四分。而餘分二十五又恰足一分之數。故為一分。一百與二十五之比 郎同於四與一之比是四與一郎一百與二十五之相當最小數也凡分母分子 輾轉相減不得相等之數。終滅至於。是分母分子俱無一數可以度尽之數。卽 不用約分。用命分誌之可也。 設有銀二百一十両。命一百四十七人分之毎人得銀一両。仍余六十三両不尽。以 法約之。求相当最小数 法置一百四十七人。以余銀六十三減之。余八十四。再以六三減之余二十一。又 因滅数大於原数シ又不得両 置六十三。轉以二十一減之。 餘四十二再以二十一 数斉等故以二十一転減之食 減之亦餘二十一。則兩數齊等。即以相等之數二十一轉除一百四十七人得七 即為七分又以二十一除銀六十三両得三郎為三分乃一百四十七人分余銀 蓋將每兩副作七 六十三両。約為七分之三是毎人得銀一兩又七分両之三也。七分 分而得其七分之 。此此法以一百四十七人。與六十三両禄相減得相等之数二十一。是二十一 可以度尽一百四十七人。又可以度尽六十三両故也。既以二十一為一分。則一 百四十七有七倍二十一。故為七分。六十三有三倍二十一。故為三分。一百四十 七与六十三之比即同於七与三之比是七与三郎一百四十七与六十三之相 当最小数也 通分 凡奇零数目。不以十遞析者。難以立算。則用通分。如斤通為両。官通為度。度通為分 之類是也。又有整數而帯零分者。則必通之以従其類。如化豊為零収雪作整之類 是也。或有雲分而分母不同者。則必通之以同其母。如互棄之類是也。通分之法立。 然後奇零数目。得以帰有余斉不足。而帯分之法皆根於此故為易設加減乗除之一 法以明其義焉 加法 九七 九五 設有九分丈之七。 同五二九三丈八 同五二九三 凡奇零数相加。両分母同者。即併両分子為得数若相加之数大於母數則於所得 數内減去母數為一整數紀其餘為零數 一丈分為九分 與九分丈之五 一丈分為九分。 相加求総数 而得其五分也、 而得其七分也 大阪 法以九分之七。與九分之五。左右列之。將両分子七與五相加得一十 二因子数大於母数乃於一十二内歳去母数九為一整数余三為零 戴。即得登数一丈零九分丈之三。為相加之数也。此法国両分母同為 九分。故径併雨分子之零分七与五得一十二。又以母数九分収為一 丈。蓋相以一丈分為九分。今其所余三。亦為九分中之三分。故得一丈一 満九分。即收為一丈也。 一零九分丈之三為雨零分之共數此分母相同之加法也之加法也。九此之 七是将一丈分為九分。則毎一分得一呎一寸中之五分則為五尺 七是将一丈分為九分七分と差有余也九分中之五分三釐有余即 之七分則為七尺七寸七分七億有余也 寸五分五台有餘也雨数相加共得一丈三尺二寸一分九分中之一 寸五分五釐有餘也雨数相加其径一分一釐有餘九分中之一 一丈零九分丈之三也蓋一尺一寸一分一分一分也如以九分余三分 一丈零九分大之三寸三分三寸九分中之三分也如此九分 抑得三尺三寸三分三釐不尽之數是九分與一丈之比即同於三分 與三尺三寸三尺三寸三尺 奇零数相加。雨分母不同者。則用互乗。以両分母相乗為共母数再以前分母 来後分子。又以後分母乗前分子。以所得両千数相加為共子数。紀於。共母数之下 為共零数 設有三分丈之二 一丈分為五分 相加求総数 一丈分為三分 而得其三分也。 與五分丈之三 法以両分母三五相乗得一十五。為共母数再以前分母三。乗候分子 三伝九又以後分母五乗前分子二。将両得数相両得数相加得十九為共 筆算二 子數。因子數大於母數乃於十九内滅去共母數十五為一整數餘四 為零数。即得整数一丈零十五分丈之四。為相加之数也。此法用二至 者。本為裔其分母也。夫以兩分母相乗得十五者。乃以兩分母俱変為 五入〇九九五四 五三九 十五分也 因分母不同難以 以前分母三乗後分子三得九者乃以後 相加故変為同等 分子変為十五分中之九也。又以後分母五乗前分子二得十者。是又 以前分子亦変為十五分中之十也。葢十五分之十与三分之二其比 俱為三 例等 俱為五 弘而十五分之九與五分之三其比例亦等。 倍比例 兩分母 倍比例 既變為同等則兩分子亦俱為同分母之子矣故相加如第一法此分 如以真數明之。三分丈之二。既變為十五分丈之十。 母不同之加法也 分分亦為六寸六分六有余今得九分即六尺也両数相加共得一丈 尺六寸六分不尽之数。是十五分與一丈之比。即同於四分與二尺六 則毎一分為六寸六分六釐有餘。今得十分。即六尺 六寸六分六釐有余也又五分丈之三既變為十五分丈之九則毎一 二尺六寸六分六釐有餘即一丈零十五分丈之四也蓋六寸六分六 二尺六寸六分六寸六寸六寸六寸六寸六寸六寸六寸六寸六分六 釐有餘。即為十五分中之一分。今二尺六寸六分六分六釐有餘。為四倍六 寸六分六釐有餘。即十五分中之四分也如以十五分除四分。即得二 寸六分有 余之比也 又或分母不同。而可以加減之使同者。則變而同之。可省互乗 設有八分兩之一。與十二分兩之三相加求總數。 去以十二分之三。變為八分之二。則與八分之一兩分母相同。故径併兩分子二與 一得三即八分両之三。為相加之數也。此法将十二分之三變為八分之二者乃 分母分子各減三分之一也母數十二減三分之一餘八子數三減三分之一餘 八二 一二三 八一 二。葢十二分之三。與八分之二其比例相等故變從簡易如數有參差 一如以真數明之。八兩分之一。是將一兩分為八分。 者則當用下節之法 其一分即一錢二分五釐也又十二分兩之三是 將一兩分為十二分。 力。其三分為二錢五分。今變為八分兩之二。是將一 両分為八分。二分亦為二銭五分也両数相加共得三銭七分五拾 両分為八分。其二分亦為二銭五分也両数相加。其得三銭七分五釐 是即八分兩之三也蓋一錢二分五釐為八分中之一分今三錢七分 五釐即八分中之三分也如以八分除三分。即得三錢七分五釐是八 分與一兩之比即同於三分 與三錢七分五釐之比也 設有六分石之五與三分石之二。相加求総數 如依前法。將六分之五折半為三分之二分半。則両分母雖同。而分子 却有奇零。若将三分之二加一倍作六分之四。變少従多。則與六分之 五両分母相同。乃径併両分子五与四得九因子数大於母数。乃於九 六四 内滅去母数六為一整数余三為零数即得整数一石零六分石之三 六五 為相加之数也此法三分之二変為六分之四者乃分母分子各加一 倍之比例也。凡變分母分子。或加或減。務期所變之分數。與原分數比 例相同使其両分母同而両分子可併也此條与上條用加減雖各異 如以真数明之。六分石之五是將一石分 而斉其分母以加之則同也 為六分。則毎一分得一斗六升六合六勺 六四 六五 四五九六三 六抄六據有餘。今得五分即八斗三升三合三勺三抄三撮有餘也又 同一升五升五勺五分即八斗三升三合三合三合三合三合三勺 三分石之二是將一石分為三分其二分為六斗六升六合六勺六勺六勺六勺六勺六勺六合六勺六勺六合六合六勺六勺六七 六様有餘。今變為六分石之四是將一石分為六分其四分亦為六斗 六升七合七十一、六分石之四是判一石四分分其一石四分方 六升六合六勺六抄六揃有餘也両数相加。共得一石四斗九升九合 六升六合六勺六勺六拾有余也両数相加。共得一石四斗 九勺九抄九撮有餘收為五斗即一石零六分 石之三也蓋六分為一石。則三分即五斗也。 之 数五乗 相加。 凡子母數有三四種相加者。其分母分子俱不同。則用互乘以斉其分母。按前法加 三種者以第一數與第二數依前互乘法相レ加得數。又與第三數依前互乘法相 加四種者以第一數第二數互乗相加得數。與第三數三乘相加得數。復與第四 細細姫。如両分母相同者。即併其兩分子。而與所餘之分母不同者用互乗以加之 又或有両分母相乗後所得之數與所餘之分母相同者。則直以所得之分子。與所 餘之分子相加為得數。即不用互乘矣。 設有三分斤之一。又四分斤之二。又五分斤之三。相加求總數。 四六一〇 以両分母 法以前兩分子分母。按互乗法相加。得十二分斤之十一二 三與四相 乗得十二為共母数以前分母三乗後分子二得六又以後分母 四乗首二丁一得四。相加得一十為共子数是為十二分斤之也。 一六 Q 五 乃以上二分斤之十。與第三子母分用互乗法相加得六十分斤之 。以第三分母五。與前兩分母互乗所得之十二相乗。得六 八十六 一ノ十為共母數以前兩分母所得十二乘第三分子三得三 人以第三分母五。乗前両分子所得十日得五十一月十文 十六。又以第三分母五。乗前兩分子所得十〇得五十。 相加得八十六。為共子數。是為六十分斤之八十六。 ○因子数大於 六〇六〇六 三五八五二 母數。乃於共子數八十六内減去其共母數六十為一整數。餘二 十六為零數即得一斤零六十分斤之二十六為總數也凡子母 如以真数明之。三分斤之一。是將一斤分為三分。 分有四種五種相加者。俱倣此。 其一分即五両三錢三分三釐有餘也四分斤之 二是将一斤分為四分則毎一分為四両。今得二分。即八両也五分斤之三。是將 一斤分為五分則毎一分為三両二銭。今得三分即九両六銭也三数相加共得 二十二両九錢三分三釐有餘内收十六両為一斤。餘六両九錢三分三釐有餘。 即六十分斤之二十六也蓋以六両分為六十余毎分得二銭六分六釐有餘。今 六兩九錢三分三釐有餘。有二十六倍 六兩九錢三分三釐有餘。有二十六倍 二錢六分六釐有餘。即為二十六分也。 設有五分丈之三。又四分丈之一。又五分丈之一。一。相加求總數。 五四六 法固五分丈之三與五分丈之一。兩分母相同。故直併其兩分子 三與一為五分丈之四。再以五分丈之四與四分丈之一依互乗 。以前分母五。與後分母四。相乘。得一。相乘。得 法相加。得二十分丈之二十一。 一二十。為共母數以前分母五乗後 分子一得五。又以後分母四乗前分子四得十 因子数大於母数 六。相加得二十一。是為二十分丈之二十一。 一五 於共子數二十一内減去共母數二十為一整數餘一為零數即 得一丈零二十分丈之一為総数也 即二尺五寸也其五分丈之一。即二尺也。三數相加得一丈零五 寸。即一丈零二十分丈之一。蓋一丈分為二十分。每分得五寸也。 設有三分兩之二又四分兩之三。又十二分兩之四。相加求總數。 如以真数明之。其五分丈之 一同三十九郡六尺也。其四分丈之一 九八七 三九 法以三分之二與四分之三用王乗法相加得十二分両之十七 以前分母三與後分母四相乘得十二為共母數以前分母三乗 後分子三得九又以後分母四乗前分子二得八。相加得十七。是 為十二分 為十二分 此所得之十二分兩之十七。與第三分母相同。即以前 両之十七 一筆算二 二七 二四 数也 両分所得共子十七。与後一分子四相加得二十一。是為十二分 兩之二十一。因子數大於母數乃於共子數二十一内減去共母 数十二為一整数余九万零数即得一両零十二分両之九為総 如以真数明之其三分両之二即六銭六銭六分六台有余也其四分両之三郎 七錢。五分也其十二分兩之四即三錢三分三釐有餘也三數相加。得一兩 七錢四分九釐有餘收作七錢五分。即一兩零十 二分兩之九。葢十二分兩之九即七錢五分也。 滅法 凡奇零数相減。両分母同者。即将其両分子相減為余数。 設有十一分丈之七。減十一分丈之五。求餘數。 七五二 一五 法以十一分丈之七。與十一分丈之五。左右列之。將兩分子五與 七相減餘二。即得十一分丈之二為餘數也。蓋因兩分母同為十 一分。則兩分子亦同為十一分中之零分。故径將兩分子相減餘 二亦仍為十一分中之二分。是以定為十一分丈之二。此分母相 如以真數明之十一分丈之七。是將一丈分為十一 同之減法也 七分。則毎一分得九寸零九釐零九絲有餘。其中之七 分即六尺三寸六分三釐六毫三絲有餘也。其中之五分。即四尺 五寸四分五釐四毫五絲有餘也相減餘一尺八寸一分八釐一 五寸四分五寸四分五寸四分五台四斗五分五寸四分八寸一尺八寸一分八台一 絲有餘即十一分中之二分也蓋九寸零九釐零九絲有餘為一分。則一尺 八寸一分八釐一毫八絲有餘。即為二分也。如以十一分除二分。亦得一尺八寸 一分八釐一毫八縣不盡之數。是十一分與一丈之比。即 同於二分与一尺八寸一分八釐一毫八絲有餘之比也。 凡奇零数相減雨分母不同孝則用互乗法。以両分母相乗為共母数再以前分母 乘後分子又以後分母乗前分子。以所得兩子數相減為餘數 設有三分丈之二。減五分丈之三。求餘數。 法以兩分母三五相乗得一十五。為共母數。再以前分母三乗後 分子三得九又以後分母五。乘前分子二得一十。將所得兩分子 相減餘一。即得十五分丈之一為余數也。此法用互乗斎其分母 將三分丈之二。變為十五分丈之十。將五分丈之三。變為十五分 丈之九。兩分母既同為十五分。故兩分子十與九相減餘一。為十 五分丈之一也。此分母不同之減法也。如両分母不同。可以加減 如以真数明之其三分丈之二即 之使其相同者。減之亦如加法中例故不重設。 六尺六寸六分六釐有餘也其五 分丈之三。即六尺也。相滅餘六寸六分六釐有餘。即十五分丈 之一也。葢一丈分為十五分。毎一分得六寸六分六釐不尽也。 凡零數與整數相減者。即以分子與分母相減為餘數。 一設有米一石。内減七分石之五求餘數 一七 法以整數一石。變為七分為分母。與分子五相減餘二。即得七分 石之二為餘數也蓋將一石分為七分。而於此七分内減去五分。 如以真数明之将 七五二 一石分為七分則 七五二則所餘即七分石之二此整數中減零數法也此 中西算学大成 七 七五二 毎一分得一斗四升二合八勺五抄七撮有餘其五分即七斗一 升四合二勺八抄五撮有余也与一石相減。余二斗八升五合七 勺一抄四撮有餘即七分石之二也。蓋一斗四升二合八勺五秒 北撮有餘為一分。則二斗八升五合七勺一抄四様自為二 せん 凡整數帶零分相減者。將兩零分用互乗法變為同母。然後減之。 設有銀八両零五分両之四。内減五両零七分両之三。求餘数 法以八両之零數五分之四。與五兩之零數七分之三用互乗法。 八五二 五七 兩分母七五相乗得三十五為共母數再以五両之分母七。乘八 兩之分子四。得二十八。為八両所變之子數。又以八兩之分母五 乗五両之分子三得十五為五両所変之子数乃以八両五両二 整數相減餘三兩以兩子數二十八與十五相減餘十三郎得三 兩又三十五分兩之十三為餘數也葢既將兩子數變為同母則 八両者。為八両零三十五分両之二十八五両者。為五両零三十五分両之十 如以真数明之 分母既同故以子數相減而得餘數此整數帶零分相減之法也 兩之四。即八兩八錢也。其五両零七分品之三即五兩四錢二分八台五毫七帖 両之四郎八両八銭也其五両雲七分所之三所五斗四銭二分八拾五亮七緯 有餘也。相滅餘三両三錢七分一釐四文三絲有餘。其三両為整数。其三錢七分 一釐四毫二絲有餘。即三十五分中之十三分也益將一両分為三十五分則毎 一分得二。分八釐五毫七絲有餘。其十三分。即三銭七分一釐四毫二絲有餘也 凡子母数三四重相歳者。其分母分子俱不同。則用豆乗以斉其分母按前法減之。 其八両零五分 八釐五毫七絲 如雨分母相同者。即將其兩子相減。而與所餘之分母不同者。用互乗法以減之又 或有両分母相乗後。所得之數與所餘之分母相同者。則直以所得之分子與所餘 之分子相減。即得餘數。其理與加法同。 設有銅九斤零八分斤之七。内減二斤零四分斤之一。又減八分斤之三求餘數 法以九内減去二斤餘七斤為整數。乃以八分斤之七與四分斤 九二七 二 斤之一。用互乗法。將八分斤之七。變為三十二分斤之二十八。將 四分斤之一。變為三十二分斤之八両數相減餘三十二分斤之 二十。又以三十二分斤之二十。與第三零數八分斤之三。用互乗 法將三十二分斤之二十變為二百五十六分斤之一百六十將 八分斤之三。變為二百五十六分斤之九十六。両數相減餘二百 五十六分斤之六十四。合前整数。共得七斤又二百五十六分斤 之六十四。為余数也。如用約法。則為七斤零四分斤之一。蓋二百 五十六為四倍六十四。今以六十四為一分。則二百五十六。自得四分也。其余幾 種零分内有両分母相同。或両分母乗出之数与余一分母相同。俱点同分母之 例滅之。故不再設。或零分有四種五種者。亦俱倣此。此幾種零分相減之法也。此 真数明之其九斤零八分斤之七。即九斤十四両也内減二斤零四分斤之一。 減去二斤四両。又減去八分斤之三。是又減去六両也。餘七斤零四両。即七斤零 四分斤之一也。蓋一斤分為四分。則毎一分得四 一然今七斤零四兩。故謂七斤零四分斤之一也。 乗法 零分与零分相乗者。両分母両分子各相乗。所得之数。即乗出之分也。 設有三分丈之二。與五分丈之四相乘。問得幾何。 戊 法以両分母三五相乗得十五分。為乗出之分母。又以両分子二 四相乗得八分。為乗出之分子。即定為十五分丈之八為所得之 數也今以圖明之。如甲乙為一丈。而甲丁亦為一丈作一甲乙丙 丁正方形。將甲丁分為三分。甲乙分為五分。内共容十五分。即共 母數。乃兩分母三與五乘出之數也。其甲丁之三分之二為甲戌 甲乙之五分之四為甲巳。二数相乗。得甲已庚戌長方形。内容八 分。即共子數。乃兩分子二與四乘出之數也。甲乙丙丁正方與甲 巳庚戌長方相較。即知甲巳庚戌長方為甲乙丙丁正方中之十 如以真数明之其三分丈之 五分之八矣此零分乗零分之法也。 二。即六尺六寸六分六釐有 餘也其五分丈之四即八尺也相乗得五十三尺三寸三寸三尺三尺三尺三尺三尺三寸三寸三尺三寸三尺三寸三寸三寸三寸三寸三寸三尺三寸三尺三寸三尺三尺三尺三尺三尺三尺三尺三尺三尺三尺三寸三尺三寸三尺三寸三尺三寸三 三分三十三釐有餘即十五分丈之八也葢一丈正方内容百尺 分為十五分則毎一分得六尺六尺六寸六寸六十六分六十六分六十六 餘。今得其八分。即五十三尺三十三寸三十三分三十三釐有餘 零分与整数相乗者。分子乗整数而以分母歸之。即所得之数也 設有七人。每人支銀五分兩之二。問共支若干。 五二四 法以分子二与七人相乗得十四。以分母五帰之得二両八銭。即 七人共得之数也。蓋五分両之二。是一両分為五分而得其二分 也一人得二分。則七人必共得十四分。既以一兩分為五分。今満 五分収為一兩。故以五歸十四得二両八錢為共数此零分与整 数相乗之法也 整數帯零分與整數乘者。先將整數俱通為零分。相乘得數。以分母自乗之數除之 即得 一設有整數二丈又四分丈之一。與八丈相乘。問得幾何。 二文四一九 法以整數二丈。用分母四通為八分。加入分子一。共得九。分又以 八文〇〇二 二九八 三八 ▲一八八一八八 二六八六二二 一二二二 一整数八丈。用分母四通為三十二分。乃与九分相乗得二百八十 八分。以分母四自乗之一十六除之。得一十八即定為一丈正方 一十八為所得之数也。此法蓋以一丈通為四分是四四自乗之 數。始合一丈自乘之數。故一十六者。即分母四自乘之數。未乘之 先既以四通之故相乘之後。必以四四自乘之數収之數収之。乃得真數 如以真数明之。其二丈又四分丈之一。即二 此整数帯零分。与整数相乗之法也。如以真表明之其二丈又四分丈之一。即二 丈二尺五寸。與八丈相乘即得一十八丈也。 整数帯零分与零分乗者。先将整数通為零分。相乗得数以分母自来之数除之。即 得 分母自乘之數除之即得乘出之數 〇〇 設有螫数二丈。又五分丈之四。與零分五分丈之三相乗。問得幾何。 法以整數二丈。用分母五通為十分。加入分子四。得十四分。乃與 零分分子三相乗得四十二以分母五自乗之。二十五除之。得一 六八郎定為一丈正方一。又一尺正方六十八。為所得之數也此 法葢以一丈通為五分是五五自乘之數。始合一丈自乘之數。故 以二十五除之。又二丈之零分五分之四。與所乘之零分五分之 一三為同母故用此法。如両零分分母不同。則先將両零分用互乗 法変為同母。然後用所変之分母。化整為零。再与彼一零分相乗得数。以所変之 へ法見 下節。 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 分母自乘之數際之即得乘出之數下勤此整數帶零分與零分相乘之法也此 真數明之。其二丈又五分丈之四。即二丈八尺也。其五分丈之 三郎六尺也以六尺與二丈八尺相乗。即得一丈六十八尺也。 整數帶零分與整數帶零分相乘。而零分之分母不同者。各以所帶零分之分母通 其登數併為零分。乃以所変之兩零分相乗得數而以両分母相乗之數除之即得。 所帯零分本為同母者。可省互乗 設有長方田濶二丈又四分丈之三。長三丈又三分丈之二。求積。 法以両分母四三相乗得一十二為共母数。前分母四。化間二丈 潤二四三 長三三三 為八分加入分子三得十一分為閩辺所変之分数又以後分母 三。化長三丈為九分。加八分子二得十一分。為長邊所變之分數。 爰以閣十一分。與長十一分相乘得一百二十一分。乃以共母数 八 ○六四 〇九 〇一一一 一二二二〇 一一二〇 十二除之。得一〇〇八餘四八不盡。即定為一丈正方十一尺正 方八。零十二分尺之四。約為三分尺之一。為所得之數也。此整數 如以真数明之。其闊二丈又 帯零分与整数帯零分相乘之法也則 四分丈之三郎二丈七尺五 四分丈之二間余 寸也其長三丈又三分丈之二即三丈六尺六寸六分六尺六寸六尺六尺六寸六分六分六 也以二丈七尺五寸與三丈六尺六寸六分有餘相乘。即得一十 丈零八尺 大麦八尺 有餘也。 所謂大分下帯小分者。是將大分之一分又分 大分下又帯小分相乗者其例有四。 レ為幾分。如大分五分之三又帯小分四分之一。 是將大分五分之三。之一分又 分為四分而得其一分者也。 有大小分母俱同者。有大小分母俱不同者。有大分 母同而小分母不同者。有大分母不同而小分母同者。今以一法馭之。總以小分母 通大分母為母数。又以小分母通大分子。加入小分子為子数然後以所焼之両母 ○總以小分母通之者。蓋小分母為大分母之毎一分之幾分。小 數兩子數對乘即得。 分不能使大大分可以変小。使大分母大分子俱變為小分母 一體。然後可以相乘。乘之即所以通 之也。設法中以度数明之其理自顯。 設有甲數五分丈之三。又帯此一分之四分之一。与乙數五分丈之四。又帯此一分 同此大小分母 之四分之二相乗問得幾何。 俱同者也 甲五 小四 乙五 小四 甲○ 甲レ 一法以甲數小分母四。通大分斗五。得二十仍以小分母四。通大分 子三得一十二再加入小分子一得 同断同二十分之十三 為甲大小分所變之數。又以乙數小分母四。 仍以小分母四。通大分子四。得一十六。再加入小分子二得一什 八共得二十分之十八為乙大小分所變之數然後以甲所變之 分母二十。與乙所變之分母二十相乘。得四百分為乘出之分母 又以甲所変之分子十三與乙所變之分子十八相乗。得二百三 十四分。為乗出之分子。即定為四百分丈之二百三十四。為所得 此法甲乙之小分母俱為四。故將其大分母之毎分亦俱 之数也 化為四分。又将大分子之毎分亦俱化為四分使大分与 分之子母一體。然後乗之今以度數明之甲之五分丈之三、乃 一丈内之六尺其所帯小分之四分之一乃二尺内之五寸是甲 数共為六尺五寸乙之五分丈之四乃一丈内之八尺其所帶小 数其為六尺五寸。乙之五分丈之四万一丈去高九尺。六尺五寸與一 分之四分之二。乃二尺内之一尺。是乙數其為九尺。六尺五寸與 九尺相乗ノ得五十八尺五十寸。是一丈正方。為一百尺。而得其五 十八尺。又小餘五十寸也。若以分母四乗一百尺得四百分。又乘 得數五十八尺五十寸。得二百三十四分。故為四百分之二百三 十四也若以尺随寸命之則五十八尺五十寸。又為五千八百五 十四也若以尺随寸命之則五十八尺五十寸又為五千八百五十八 十寸。以大分毎一分通為小分四分。則毎一千寸分為四分毎分 一筒二百五十寸以二百五十寸歸五千八百五十寸得二十三寸 四十分。乃四十分中之二十三。又小零分之四分。 進而命之為丈則為四百分丈之二百三十四也 設有甲數四分丈之三又帯此一分之七分之二與乙數九分丈之五又帶此一分 此大小分母 之三分之一相乗。問得幾何。 俱不同者也 一甲四一 二 小七二 乙九五五 廿一 法以甲數小分母七。通大分母四。得二十八。仍以小分母七。通大ニ 分子三得二十一。再加入小分子二。得二十三。共得二十八分之 二十三為甲大小分所變之數又以乙數小分母三通大分母九 得二十七。仍以小分母三通大分子五。得一十五再加入小分子 一得一十六。共得二十七分之一十六。為乙大小分所變之數。然 後以甲所變之分母二十八與乙數所變之分母二十七相乘。得七 百五十六。為乘出之分母。又以甲所變之分子二十三。與乙數所 小三一 変之分子一十六相乗。得三百六十八分。為乗出之分子。即定為 如以真数明之。甲 乙二六 七百五十六分丈之三百六十八為所得之數。 四分丈之三郎一 丈内之七尺五寸。又帯小分七分之二即二尺五寸内之七寸一 分四釐二毫有餘。是甲數共為八尺二寸一分四釐二毫有餘也 乙九分丈之五。即一丈内之五尺五寸五分五釐五毫有余。又帯 七六小分三分之一。即一尺一寸一分一台一台一台一尺三寸と 小分三分之一即一尺一寸一分一分一分一台一台一分一台有余内之三寸七分 零三毫有餘是乙共為五尺九寸二分五釐九毫有餘也両数相 乘得四十八尺六十七寸六十五分有餘即七百五十六分丈之 三百六十八也如以七百五十六分。除三百六十八分。亦得四十 八尺六十七寸六十五分不尽之数益七百五十六分。為一百尺 中西算学大成 則三百六十八分。自得四十八 尺六十七寸六十五分有餘也 設有甲數八分丈之三。又帶此一分之四分之一。與乙數八分丈之四。又帶此一分 此大分母同。而小 之六分之五相乘。問得幾何。 分母不同者也。 法以甲數小分母四。通大分母八。得三十二。仍以小分母四。通大 甲八 三二 分子三。得一十二。再加入小分子一得一十三。共得三十二分之 一十三為甲大小分所變之數又以乙數小分母六通大分母八 得四十八仍以小分母六通大分子四。得二十四再加入小分子 乙八 四四 五。得二十九。共得四十八分之二十九為乙大小分所變之數然 後以甲所變之分母三十二與乙所變之分母四十八相乗得一 小六 千五百三十六分。為乗出之分母。又以甲所變之分子十三與乙 所變之分子二十九相乗。得三百七十七分為乗出之分子。即定 如以真 為一千五百三十六分丈之三百七十七為所得之数也 数明之 一御三 甲八分丈之三。即三尺七寸五分。又帶此一分之四分之一。即三 寸一分二釐五毫。是甲数共為四尺零六分二釐五毫也、乙八分 丈之四。即五尺。又帯此一分之六分之五郎一尺零四分一釐六 豪有餘。是乙數共為六尺零四分一釐六毫有餘也兩數相乘得 二十四尺五十四寸四十二分有餘即一千五百三十六分丈之 三百七十七也如以一千五百三十六分。除三百七十七分。亦得 二十四尺五十四寸四十二分不尽之概蓋一千五百三十六分 有条 之五分之二相乗問得幾何卅 甲六 四〇 小五 乙九 四五 一三五〇三 小五 設有甲数六分丈之四。又帯此一分之五分之一。与乙数九分丈之七又帯此一分 此大分母不同而 小分母同者也。 法以甲数小分母五通大分母六。得三十。仍以小分母五。通大分 子四。得二十。再加入小分子一。得二十一。共得三十分丈之二十 一。為甲大小分所變之數。又以乙數小分母五。通大分母九得四 十五仍以小分母五通大分子七。得三十五再加入小分子二得 三十七。共得四十五分之三十七。為乙大小分所変之數然後以 甲所變之分母三十。與乙所變之分母四十五相乘。得一千三百 五十分。為乗出之分母。又以甲所変之分子二十一与乙所變之。 分子三十七相乗。得七百七十七分。為乗出之分子。即定為一千 如以真数明之甲六 分丈之四。即六尺六 三百五十分之七百七十七。為所得之數也。 之一即三寸三分三寸三分三 寸六分六釐六毫有余又帯此一分之五分之一即三寸三分三 第三巻有余是甲数共為六尺九寸九分九釐九毫有余也乙九 釐三毫有餘。是甲數共為六尺九寸九分九釐九毫有餘也乙九 分丈之七。即七尺七寸七分七釐七毫有餘。又帯此一分之五分 之二。即四寸四分四釐四毫有餘。是乙數共為八尺二寸二分二 釐二毫有餘也。兩數相乘得五十七尺五十五寸五十五分有餘 即一千三百五十分丈之七百七十七也如以一千三百五十分 除七百七十七分。亦得五十七尺五十五寸五十五分不盡之數 益一千三百五十分為一百尺則七百七十七分自得五十七尺 五十五寸五十五寸五分 五分有余也 除法 零分帰除零分者。両分母両分子各自除之。所得之数。即除出之分也。如有奇零不 盡者用互乘法齊之即得分數其比例與除出之法同 一設有九分丈之二以三分丈之一除之求得幾何 法以九分丈之二為實。三分丈之一為法。以法分母三除実分母 九得三為除出之分母。又以法分子一。除実分子二仍得二。為除 出之分子。即定為三分丈之二。為所得之数也此法即乘法内兩 分母両分子各相乗為所得之数者転用之耳。此零分除零分之 法也又法以互乘代除。以実分母九乗法分子三得九為除出 之分母。又以法分母三。乗実分子二。得六。為除出之分子。共得九 分丈之六。即所求之數也。此法與前法所得之分母分子之數雖 不同。而理則一。前法之三分之二。與此法之九分之六。其比例實 同。蓋前法以法除実。其得数為減分之比例此法以両數互乗其得数為加分之 比例故九分之六。即三分之二也。但法中不用両分母相乗之数。省去一層耳。如 款明断其故。則以丙分丑乙与三回走得二十七。去分母三與賓分子二相乗。得 六。實分母九。與法分子一相乗。得九。是將三分之一。變為二十七分之九。將九分 之二変為二十七分之六。其兩分母既等。則其兩分子自成比例。故九與六之比 即同於三與二之比。九分之六。以三約之非三分之二郎。 二十二寸二十二分二十二台有余也法三分丈之一為辺線。即三尺三寸三分 三釐有餘也除之得六尺六寸六分六釐有餘。即三分丈之二也如以三分除二 分。亦得六尺六寸六分六釐不盡之數蓋三分為 一丈其二分自得六尺六寸六寸六分六釐有餘也 整數歸除零分者。分母通整數以除分子。即得所求之數。 如以真数明レ之実九分丈 之二為面積即二十二尺 一設有五分丈之三以八丈除之求得幾何 ヒ五 法以分子三為実。以分母五通整数八丈。得四十為法除之得七 寸五分。即所求之數也此法以五分乗八丈者。是分母通整數。將 毎丈俱通為五分也八丈既通為四十分則五分之三之毎一分 即與四十分中之毎一分同等。然而零數三分。以四十分除之而 得七寸五分者。則又。為変分為尺寸之比例矣。四十分与一丈之 比即同於三分与七寸五分之比。此整數除零分之法也 零分歸除登數者分母通整數。而以分子除之即得所求之數 設有六丈。以三分丈之二除之求得幾何。 法以分母三。通整数六丈。得一十八為実以分子二為法除之。得九丈。即所求之 三二 一数也。此法以三分乗六丈者。是將每丈俱通為三分也。六丈既通 六八九 為十八分。則十八分中之毎一分。与三分之二之毎一分同等。故 以分子二除十八。得九丈。此零分除整數之法也。 整数帯零分帰除整数者。先将法実之両整数。俱通為零分。而於法中加入分子除 之即得 設有二十四丈以二丈零三分丈之二除之。求得幾何。 二文三二八 法以分母三通二十四丈得七十二為実。又以分母三通二丈得 六。加入分子二得八為法除之。得九丈。即所求之數也。此法以分 四丈 母三通宝二十四丈。是將実之每丈俱化為三分也。又以分母三。 通法二丈是將法之毎丈亦俱化為三分也兩整數俱化為同等 則法実一体故法除実而得所求之数也。此整数帯零分除整数 之法也 整數歸除整數帶零分者。先將法實之兩整數。俱通為零。而。而於實中加入分子。以一 法除之。即得 即以前法數目作 設有二丈零三分丈之二以二十四丈除之求得幾得幾何。 題者。取其易明也。 法以分母三通二丈得六。加入分子二得人為賞。又以分母三。通二十四丈得七 〇、〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇 二丈三二八 十二以除之得一尺一寸一分不尽約為九分丈之一即所求之 數也。此法以分母三。通法實之兩整數者。是將兩整數之每丈。俱 通為三分也。一得七十二分。一得八分。以七十二與八之比即同 於九與一之比。故約為九分之一。且以七十二除八。得一一一不 ○二八七 ○二八 一盡之數定為一尺一寸一分有餘者蓋七十二分與一丈之比即 二〇二八七 同於八分與一尺一寸一分有餘之比也此整數除整數帶零分 七八七 之法也 整數帶零分歸除零分者。先將整數通為零分。加入分子除之即得。 一設有五分丈之四以三丈零八分丈之一除之求得幾何 二十八法以五分丈之四為実以法之分母八通三丈得二十四加入分 〇五四 八五 五〇 子一。得二十五。共得八分丈之二十五為法。用兩分母兩分子各 自歸除之法。以法分母八。除実分母五得六二五為除出之分母。 以法分子二五。除実分子四。得一六〇。為除出分子。乃以所得之 五四 分母数。除所得之分子。得二尺五寸六分。即所求之數也。蓋法之 三丈又八分丈之一。乃三丈一尺二寸五分也。寬之五分丈之四 乃八尺也。以三丈一尺二寸五分歸除八尺。每丈得二尺五寸六分。是三丈一尺 二五六 五〇〇〇二七七 一五五一三三 〇五五五五 五 二寸五分與一丈之比。即同於八尺与二尺五寸六分之比也。今 以分母六二五。除分子一六〇。亦得二尺五寸六分。是六二五与 一丈之比即同於一六〇與二尺五寸六分之比也此整數帶零 分除零分之法也。又或整数通為零分加入分子之後。以法除買 而数有奇零不尽者。則用互乘代除之法。如前數已将整數通為 八分丈之二十五為法。乃以実分母五。乗法分子二十五。得一百 二十五。為除出之分母。又以法分母八。乗実分子四。得三十二。為 除出之分子。乃以所得之分母。除所得之分子。亦得二尺五寸六 分。葢一百二十五分與一丈之比即同於三十二分與二尺五寸 六分之比也。後法之有奇零数而用互乗以代除者。皆同此例。 零分歸除整數帯零分者先將整數通為零分。加入分子。以法除之即得。 設有四丈又三分丈之二。以七分丈之四除之。求得幾何。 法以実之分母三通四丈。得十二。加入分子二。得十四。共得三分 丈之十四為実。以七分丈之四為法。用互乗代除之法。以実分母 三乗法分子四得十二。為除出之分母。以法分母七。乘實分子一 十四。得九十八為除出之分子。乃以所得之分母。除所得之分子。 得八尺仍餘二不盡。命為十二分尺之二。以法約之。為六分尺之 一共得八尺零六分尺之一即所求之數也。葢十二與一尺之比 也。 即同於九十八與八尺有餘之比也此零分除整數帶零分之法 整數帶零分歸除整數帯零分者。先各以整數通為零分加入分子。而以法除第。即 得 設有田五畝又三分畝之二共租銀五両又二十七分両之一。求每畝得租銀幾何 田五畝三二七法以銀分母二十七通五両得一百三十五。加入分子一得一百 三十六。共得二十七分両之一百三十六万買又以田分母三通 三 五畝。得十五。加入分子二。得十七。其得三分畝之十七為法。用互 乗代除之法。以銀分母二十七。乘田分子一十七。得四百五十九 為除出之分母。以田分母三。乘銀分子一百三十六。得四百零八 四三 四六七・ 為除出之分子。乃以所得之分母。除所得之分子。得八錢八分八 釐零四百五十九分釐之四百零八。即毎畝所租之銀数也。蓋四 五九與一兩之比。即同於四〇八與八錢八分八釐有餘之比也 此整數帯零分除整數帶零分之法也 有大小分母俱同者。有大小分母俱不同一 大零分下又帯小零分相除者。其例有四。吐 一者。有大分母同而小分母不同者。有大分 母不同而小 分母同者。 一今以一法取之。総以小分母通大分母為母數。又以小分母通大分子 如用子母 加入小分子為子数。然後以所変之子母數。用互乗代除之法歸之。即得助 亦得。但恐數有 各自対除 奇零。故用此法。 設有甲八分丈之七又帯此一分之五分之三以乙五分丈之二。又帯此一分之四 分之一除之求得幾何 甲一八 乙五 三八 三 二八 九 法以甲小分母五通大分母八。得四十。仍以小分母五。通大分 子七。得三十五。再加入小分子三。得三十八。共得四十分丈之 三十八為甲大小分所変之数。以之為実。又以乙小分母四。通 大分母五。得二十。仍以小分母四。通大分子二。得八。再加入小 分子一。得九。共得二十分丈之九。為乙大小分所變之數。以之 為法。然後用互乘代除之法。以甲所變之分母四十。乘乙所變 之分子九得三百六十。為除出之分母。又以乙所變之分母二 十。乘甲所變之分子三十八。得七百六十。為除出之分子。乃以 甲斐 三六 所得之分母三百六十除所得之分子七百六十・得二尺一寸 一分一釐零三百六十分釐之四十。約為九分釐之一。即所求 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 一〇〇 〇〇〇六四三 〇〇〇〇六四三 〇〇〇〇六四三 同六二四三 三七七 之數也。葢三六〇與一尺之比即同於七六〇與二尺一寸一 其分母 分一釐有余之比也此大零分下帯小零分相除法也 一同。及分母同而分子不同。分母不同 一同及分母同丙分于不同分母不同 而分子同者。皆用此例。故不重設。 分子襖 山陰朱正元校絵一 海嘯諸兆熊之 中西算学大成巻二十一 筆算三 嘉善陳維棋纂 平方 平方者。等辺四直角之面積也。以形而言。則為両矩所合。以積而言。則為自乗之数。 因其有廣無厚。故曰平方。因其縦横相等。故曰正方。蓋方横面也。而其邊則線也。有 線求面。則相乗而得積。有面求線。則聞方而得邊。開方之法。畧與歸除同。但歸除有 法有実。而開方則有実而無法。故古人立為商除麗隅之制以相求。毎積二位得辺 之一位。所謂一百一十定無疑。一千三十有零餘。九千九百不離十。一万方為一百 推是也。其法先從一角而刮其冪。以自一至九自乘之數為方根。與所有之積相審。 量其足減者而定之。是為初爾。初商減盡無餘。則方漫止一位。若有餘實。即初商方 積外別成一。磬折形。其附初商之両旁者謂之廉。兩扉之角所合一小方謂之隅。東 有二。故倍初商為両廉之共長。是為麁法。視餘積足兼法幾倍。即定次商。隅印次商 之自乘。故次商為隅法。合廉隅而以次商乗之。則得両廉一隅之共積。所謂初商方 積外別成一磬折形者是也。故次商為初商所得方漫之零。如次商数興初商餘積 相滅。尚有不盡之実。則又成一磬折形。而仍為両鹿一隅。但較前東愈長而隅愈小 耳。凡有幾層麁隅。俱照初商之例。逐層遞析之。実尽而止。実不盡者必非自来之正 辛丑重校 数。逃折之至於繊塵。終有奇零。若餘実不足麁隅法之数者。則方邊為空位。此開方 之定法也。面形不一。而容積皆以方積為準。故平方為算諸面之本。諸面必通之方 一積。而後可施其法也。 設如正方面積三十六尺開方。問每一邊數幾何。 六六〇 三三〇 法列方積三十六尺。自本位起算。毎方積二位。定方遣一位。今積止 有二位則於六尺上作記定単位以自一至九自乗之方根数与之 相審。知與六尺自乗之数恰合。乃以六尺書於方積六尺之上。而以 六尺自乗之三十六尺書。於方積厚数之下。相減恰尽。即得開方之 数為六尺也。如図甲乙丙丁正方形。毎邊皆六尺。其中面一尺小正 方三十六。自邊計之。為六尺自乘之積。以積關之。則與六尺自乘方 根之数相準。故商除之恰尽也。蓋方積為二位。是以方辺止一位。方 積即六尺自乗之數。故無廉隅可用次商。如有餘積。則自成東隅而 用次商矣 設如正方面積一丈四十四尺開方。問每一邊數幾何。 法列方積一丈四十四尺。自末位起算。毎方積二位定方漫一位。故隔一位作記。 印於四尺上定尺位。一丈上定丈位。其一丈為功商積。與一丈自来之数相合。叩 一四四〇 一)一一 二四四四 辛丙 巳卒丁兩長方位兩扉。其各長十尺即初商數。其各濶二尺即次商數廉有二。故一 定初商為一夫書於方積一丈之上。而以一丈自乗之正方一丈。書一 於初商積之下。相減恰尽。奚以方漫末位積四十四尺続書於下。 一以餘積續書於下者一。毎取方 同同年十一年貢書之一文 之二位以当方辺之一位也 作一十尺。倍之得二十尺為廉法。以除四十四尺。足二尺。即定次商 為二尺。書於方積四尺之上。而以次商二尺為隅法。與慮法二十尺。 相加。共得二十二尺為廉陽共法。書於餘積之左。以次商二尺乗之 得四十四尺。與次商扉隅共積相減恰尽。是開得一丈二尺。為方面 エ毎一邊之數也。如圖甲乙丙丁正方形。毎邊皆一丈二尺。其中面積 一丈四十四尺。是為共積。其従一角所分甲庚巳戌正方形毎邊一 丈。即初商数其中西正方積一丈。即初高自乗数。所餘庚巳壬乙戌 凡 倍初商為廉法。其已王丙卒一小正方為隅。其邊二尺。亦即次商數。故以次商為 隅法。合両鹿一隅成一磬折形。附於初簡自乗方之両辺。而成一総正方形。此廉 隅之法所由生也 。此題正方面積之三位皆以 一設如正方面積五百二十九尺開。方問每一邊數幾何。 尺命位。以與前題分丈尺者一 不同。然其取方積二位続書於下。其未 位即命為単位立算則與丈尺同也。 九九九九〇 二二二〇 二〇五四一一〇 二五四一一一〇 四三 法列方積五百二十九尺。自末位起算。毎方積二位定方邊一位。故 隔一位作記。乃於九尺上定單位。五百尺上定十位。其五百尺為初 酉積。以初高本位計之。則五百尺為初簡積之單位。止與二自乗之 数相準。即定初商為二。書於方積五百尺之上。而以二自乘之四。書 ○於初商積之下。相減餘一百尺。爰以方邊第二位積二十九尺続書 於下。共一百二十九尺。為次商東隅共積。乃以初商之二作二十尺。 倍之得四十尺為麁法。以除一百二十九尺。足三尺。即定次商為三 尺。書於方積九尺之上。而以次商三尺為隅法。與康法四十尺相加。 共得四十三尺為麁隅共法。書於餘積之左。以次商三尺乘之。得一 百二十九尺。與次商庫隅共積相減恰尽。是開得二十三尺。為方面 每一邊之數也。如圖甲乙丙丁正方形。每邊皆二十三尺。其中函精五百二十九 尺。是為共積。其従一角所分甲庚巳戌正方形。毎辺二十尺。御初商数。其中函積 四百尺。即初商自乗数。所餘庚巳壬乙戌巳年丁。雨長方為雨鹿。其各長二十尺 即初菌数。其各間三尺即次商数。其己壬丙卒一小正方為隅。其邊三尺亦即次 商数。合両廉一隅成一応折形。附於初商自乗方之両辺。而成一総正方形也。 反加正方面積四十五万九千六百八十四尺間方。問一邊數幾何。 八 法列方積四十五万九千六百八十四尺。自末位起算。毎方積二位 定方邊一位。故隔一位作記。乃於四尺上定單位。六百尺上定十位。 六六六九七七〇 九九八〇〇 六五六九八一一 ニニセン 五万尺上定百位。其四十五万尺為初商積。以初商本位計四十五 萬尺為初商積之単位。而四十五万尺為四十五。與六自乘之数相 準。即定初商為六。書於方積五万尺之上。而以六自乗之三十六。書 於初商積之下。相減餘九萬尺。爰以方邊第二位積九千六百尺続 書於下。共九萬九千六百尺。為次商庫隅共積。以次商本位計之。則 六百尺為初商積之単位。而九万九千六百尺為九百九十六。而初商之六即為 六十。故以初商之六作六十。倍之得一百二十為廉法。以除九百九十六。足七倍。 即定次簡為七。書於方積六百尺之上。而以次商七為隅法。與庫法一百二十加 相共得一百二十七為廉隅共法。書於餘積之左。以次商七承之。得八百八十九。 與次商庫隅共積相減。餘一万零七百尺。復以方邊末位積八十四尺続書於下。 共一万零七百八十四尺。為三商廉隅共積。以三商本位計之。則積興邊皆仍為 本位。乃以初商次商之六百七十倍之。得一千三百四十為麁法。以除一万零七 百八十四尺。為三万廉隅共積。以三商本位計之。則積與邊皆仍為本位。乃以初 商次盲之六百七十倍之。得一千三百四十為兼法。以除一万零七百八十四。足 八倍。即定三商為八。書於方積四尺之上。而以三酉八為隔法。奥慮法一千三百 相加。共得一千三百四十八為東隅共法。書於倹積之左。以三商八乗之。得一万 零七百八十四。與三箇廉隅共積相減恰尽。是開得六百七十八尺。每方面毎一 辺之数也 〇) 二四四 六六六 四五五六九九 八八七一〇 二五四一一〇 設如正方面積五百八十五万六千四百尺開方。門每一邊数幾何。 法列方積五百八十五万六千四百尺。補二空位以足其分自木空 位起算。毎隔一位作記。於空尺上定単位。四百尺上定十位。五万尺 上定百位。五百万尺上定千位。其五百万尺為初商積。以初商本位 計之。則五百万尺為初簡積之単位。止与二自乗之四相準。即定初 商為二。書於方積五百万尺之上。而以二自乗之四書於初商積之 下相減餘一百萬尺。爰以方邊第二位積八十五萬尺續書於下。其 ○百八十五万尺。為次商庫隅共積。以次商本位計之。則五万尺為次商積之里。 位。而一百八十五万尺。為一百八十五。而初商之二即為二十。故以初商之二作 二十。倍之得四十為廉法。以除一百八十五。足四倍。即定次簡為四。書於方積五一 万尺之上而以次商四為隅法。與廉法四十相加。共得四十回為廉陽共法。書於 余積之左。以次商四乗之。得一百七十六。与次商庫隅其積相減。餘九万尺。復以 九九九九九 四四四〇 〇〇〇〇〇〇 二二二二 〇一一一 一一一一 八四四 六六〇 方邊第三位積六千四百尺。續書於下。其九萬六千四百尺。為三商鹿隅共積以 三滴本位計之。則四百為三両積之単位。而九万六千四百尺為九百六十四而 初商之二即為二百。次商之四。即為四十。故以初商衣商之二四作二百四十倍 之得四百八十為廉法。以除九百六十四。足二倍即定三商為二。書於方積四百 尺之上。而以三商二為隔法。興康法四百八十相加共得四百八十二為廉隅共 法。書於餘積之左。以三商二乗之。得九百六十四。與三商廉隅共積相減恰尽。是 開得二千四百二十尺。為方面毎一邊之数也。此法方積之末有二空位。故所得 方邊之。未亦補一空位。凡設數未至單位者。皆依此例補足位分。然後開之。 設如正方面積六千四百一十一万二千零四十九尺間方。問每一邊數幾何。 法列方積六千四百一十一万二千零四十九尺。自末位起算。毎隔 一位作記。於九尺上定單位。空百尺上定十位。一万尺上定百位。四 百万尺上定千位。其六千四百万尺為初商積。以初高本位計之。則 四百万為初酉積之単位。而六千四百万為六十四。與八自乗之数一 一相合。即定初商為八。書於方積四百万尺之上。而以八自乗之六十 四。書於初面積之下。相減無餘。爰以方邊第二位積一十一萬尺續 書於下。為次商廉隅共積。以次高本位計之。則一万尺為次商積之 單位。而一十一万尺為一十一。而初南之八即為八十。故以初商之八作八十。倍 之得一百六十為廉法。以除一十一。其数不足。是次商為空位。乃書一室於方積 一万尺之上。以存次商之位。復以方邊第三位積二千尺続書於下。共一十一万 二千尺為三商庫隅共積。以三高本位計之。則空百尺為三商積之單位。而一十一 一万二千尺為一千一百二十尺。而初万之八即為八百。次商之空即為空十。故一 以初商次商之八空作八百。倍之得一千六百為廉法。以除一千一百二十。其数 仍不足。是三商亦為空位乃再書一空於方積空百尺之上。以存三商之位。復以 方辺未位積四十九尺続書於下。共一十一万二千零四十九尺。為四商庫隅共 積。以四万本位計之。則積興辺皆仍為本位。乃以初商次商三商之八千倍之。得 一万六千為廉法。以除一十一万二千零四十九足七倍。即定四商為七。書於方 積九尺之上而以四商七為隅法。奥庫法一万六千相加。共得一万六千零七為 麁隅其法。書於餘積之左。而以四商七乗之得一十一万二千零四十九。與餘積 相減浴尽。是開得八千零七尺為方面毎一辺之数也此法方積中有一空位而 商出之方邊却有二空位凡廉法除除餘積而數不足者。皆依此例推之 設有積一萬四千九百二十八尺開方。問每一邊數幾何。 法列積一萬四千九百二十八尺。自未位起算。母隔一位作記。於八尺上定單位。 二二八四 九百尺上定十位。一万尺上定百位。其一万尺為初商積。以初高本 二八四 二九九四五四〇 四四四四 位計之。則一万尺為初商積之単位。止与一自乗之数相合。即定初 一一一〇一 二四 商為一。書於方積一萬尺之上。而以一自乘之一。書於初商積之下。 一)。 〇二九 相減無餘。爰以方邊第二位積四千九百尺續書於下。為次高廉隅 共積。以次商本位計之。則九百尺為次商積之單位而四千九百尺 二)八 〇四五 八四四四九 為四十九。而初商之一即為一十。故以初商之一作一十。倍之得二 二八四二一 二九九四五四丁 十為廉法。以除四十九。足二倍。即定求商為二。書於方積九百尺之 四四四四四 一一一〇二四 二四四 二十二 八) 〇〇 ○四六 〇二七 上而以次商二為隅法。与簾法二十相加。共得二十二為東隅共法 書於餘積之左。以次商二乗之。得四十四。與次商扉隅共積相減。餘 五百尺。復以方豊来位積二十八尺続書於下。共五百二十八尺。為 三商庫隅共積。以三商本位計之。則積興邊皆仍為本位。乃以初商 一)。 〇一九四四 一九四四 〇同五五〇 二〇八八四四四九九〇 一二二八百二一一〇 二八四二一二〇 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 二九九四五四〇八 一四四四四〇二二 一一一〇二四四 二四四里 二三二二 次商之一百二十俱倍之得二百四十為廉法。以除五百二十八疋 二倍。即定三商為二書於方積八尺之上。而以三商二為隅法。與庫 法二百四十相加。共得二百四十二為廉隅共法。書於餘積之左。以 三商二乗之得四百八十四。與三商廉隅共積相減。餘四十四尺不 盡。是開得一百二十二尺為方面毎一邊之數。仍餘四十四尺不盡 筆算三 也如欲以餘數再開。則得方邊之寸數。乃增書両空於總積之後。復續書両空於 四十四尺之後。為幾十幾寸之位。是則四十四尺作四千四百寸。為四万商鹿隅共 積。是以初商次商三商之一百二十二尺作一千二百二十寸。倍之得二千四百 四十寸為扉法。以除四千四百寸。足一倍。即定四商為一寸。書於餘積空寸之上。 而以四酉一為隅法。興康法二千四百四十寸相加。共得二千四百四十一寸為 庫隅共法書於餘積之左。以四高一寸乗之。仍得二千四百四十一寸。與餘積相 減餘一千九百五十九寸不尽。如再以餘数間之。則得方邊之分數乃又続書両 空於後增空十空寸之後復續書両空於五十九寸之後。為幾十幾分之位。則是一 一千九百五十九寸作一十九万五千九百分。為五商鹿隅共積。麦以初商次商 三商四商之一百二十二尺一寸。作一万二千二百一十分。倍之得二萬四千四 百二十分為廉法。以除一十九万五千九百分。足八倍。即定五万為八分。書於餘 積堂分之上。而以五商八為隅法。興廉法二万四千四百二十分相加。共得二万 四千四百二十八分為麗隅共法二書於余積之左。以五万八分乗之。得一十九万 五千四百二十四分。興餘積相減。仍餘四百七十六分不盡。是聞得一百二十二 尺一寸八分。為方面毎一邊之數也。此法原積本非自乗所得之数。雖遅折之終 不能尽。凡開方遇此類者。皆依此例推之。 帯織平方 帯縦平方者。両等遣直角長方面積也。有積数因長比間之較。或長與間之和而得 臺故曰帶縱蓋正方之縦横皆同。故止有積却可得其辺若長方則縦横不等。知其 積久必知其縦横相差之較或縱横相併之和。始能得其辺。故以長間之較為問者。 則用較為滞縦加所開之数商除之而得関。或四因積数加較自乗平方聞之印長 濶之松和加較半之而得長。和減較事之而得関或半較自乗加原積而開平方。即 得半和加半較而得長。減半較而得。如以長間之和為問者。則用和為帯縦。滅去 所聞之数。商除之而得間。或四因積数減和自乗平方開之。即長間之較較減和半 之而待関。較加和半之而得長。或半和自乗。減原積而開平方。而得半較加半和而 得長減半和而得閩夫用半較半和之法与四四因積数之法同出一理益四因積数 加全較自乗。故開方而得。全和半較自乗加原積。故開方而得半和。四因積数減全 和自乗故開方而得全較半和自乗滅原積。故開方而得半較。此即而與線之比例。 面加四倍則辺加一倍。漫得其半而積為四分之一也。法雖不一。要之旨使歸於正 方以求其和較。是則雖曰帯縦。仍不外乎平方之理也。 設有長方面積八尺縱多二尺。問長濶各幾何。 法列積如間平方法簡之。積八尺止可簡二尺乃以二尺書於原積八尺之上。而 二)八一〇 甲戌 六六六〇 甲 子壬 以所高二尺加縱多二尺得四尺以所高二尺乗之得八尺。書於原 積之下。相減恰尽。即知長方之間得二尺加入縱多二尺得四尺即 為長方之長也。如図甲乙丙丁長方形。容積八尺其甲乙邊長四尺 甲丁邊闊二尺其甲乙長比甲丁間所多戌乙即縱多之數初商所 得二尺。即甲戌已丁正方之毎一邊蓋因此法長閲両邊俱止一位 而積亦止一位。故初商所得即為一邊。而加入縱多即又一邊是以一 両辺相乗而與原積相等也 又法以積八尺用四因之得三十二尺加入縦多二尺自乗幕四尺。 得三十六尺間方得六尺。即為長閣相和之数乃以縦多二尺與長 闊和六尺相加得八尺。折半得四尺。即長方之長。減縦多二尺得二 一尺即長方之関也如図甲乙丙丁長方形。容積八尺四因之得甲乙 丙丁戊巳庚乙辛壬癸巳子丁丑壬四長方形。廻環相湊。成一空心 正方式。再加入縦多二尺目乗之丑丙庚癸之一小正方形。即成甲 戌辛子之一大正方形其甲戌頻毎一邊即長國之和。故閣方得長 辛 闊之和。既得和加縱多。是為倍長。故折半而得長。滅縱多則為倍関。 故折半而得閩或得長而減縦多亦得闊也。 三九九一〇 甲戌庚乙 十一丁十一丁 壬癸子 又法先将縱多二尺折半。得一尺為半乾。自乗仍得一尺。真原積八 尺相加得九尺平方開之。得三尺為半和於半和減半較。得二尺為 閩於半和加半乾。得四尺為長。如図甲乙丙丁長方形。甲乙為長甲 丁為閣。戊乙為縱多之較。将較折半於庚。而移庚乙丙辛豊於丁已 癸壬。再加巳辛子癸半較自承之方。則成甲庚子壬方形。故開方而 得甲庚甲壬之辺。皆為半和也。於甲壬半和内減丁壬半較得甲丁 之閲於甲庚半和内加庚乙半較。得甲乙之長也 設有長方面積一千二百五十四尺。縦多五尺問長闊各幾何 法列積如開平方法商之其一千二百為初高積。可商三十尺乃以 三四〇四 五五〇〇 三二〇三二〇 一一一 三十尺。書於原積二百尺之上。而以初商三十尺加縱多五尺得三 十五尺。以初商三十尺乗之。得一千零五十尺書於原積之下。相減 餘二百零四尺為次商麁隅共積。乃以初高三十尺倍之得六十尺 五・一・ 三三〇五五 二一 加縱多五尺。得六十五尺為簾法。以除二百零四尺足三尺則以三 尺書於原積四尺之上而以東法六十五尺加隅法三尺。得六十八 尺為庫隅共法。以次商三尺乗之。得二百零四尺。書於餘積之下。與 餘積相減恰尽。即知長方之間得三十三尺。加縱多五尺。得三十八 甲辛 壬 戊乙 尺即為長方之長也。如図甲乙丙丁長方形。容積一千二百五十四 尺其甲乙邊長三十八尺。甲丁邊闊三十三尺其甲乙長比甲丁闊 所多之甲卒。即縱多之數。其甲戌巳庚長方形容積一千零五十尺。 即初商所減之積。其卒王興辛戌俱三十尺。即初商數其甲戌三十 五尺。即初商加縦多之数。其戌乙丑己壬己子癸両長方為両方廉。 庚壬癸丁小長方為縦廉。方庫有二。縦廉止一。故倍初商加縱多数 〇一一二〇 四四四四 シーロ 七)九一二〇 〇九一二〇 五四 為兼法。其已丑丙子為隅。其長閲皆與次高等。故以次商為隔法。合 両方鹿一縦廉一小隅成一磬折形。環附初商長方之両傍。成一大 長方。與平方之理無異。若次商仍滅積不盡。則又為兩方廉一縦廉 一小隅復成一磬折形。得三商四商以至多商。皆依此法遮析開之。 五五五五〇 二二二二〇 〇〇五〇五五〇 六六二三三〇 三二九三三〇 一〇 一五 六七 又法以積一千二百五十四尺用四因之。得五千零一十六尺加入 縦多五尺自乗羃二十五尺得五千零四十一尺開方得七十一尺 即為長間相和之數。乃以縱多五尺與長闊和七十一尺相加。得七 十六尺折半得三十八尺。即長方之長。減縱多五尺。即長方之闊也。 又法先將縦多五尺折半。得二尺五寸為半較。自乗得六尺二十五 寸。與原積一千二百五十四尺相加。得一千二百六十尺二十五寸。 間方得三十五尺五寸為半和。内減半転。得三十三尺為閏。内加半較。得三十八 尺為長也 設有長方面積一万六千一百二十八尺。縦多七十二尺。問長間各幾何。 法列積如開平方法商之。其一万為初商積。可為一百尺。加綴多七一 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 二八四四 九一五五五〇 一二 六四一一万 十二尺得一百七十二尺以初商一百尺乗之得一万七千二百尺。 大於原積。是初商不可商一百尺也。乃改商九十尺書於原積一百 尺之上而以所高九十尺加縱多七十二尺得一百六十二尺以所 二〇一〇 〇〇〇八八 一〇五五 四四 二 八六八 五四 商九十尺乗之。得一萬四千五百八十尺。書於原積之下。相減餘一 千五百四十八尺。為次商庫隅共積。乃以初高九十尺倍之。得一百 八十尺。加縦多七十二尺。得二百五十二尺為簾法。以除一千五百。 四十八尺。足六尺則以六尺書於原積八尺之上而以東法二百五 十二尺加隅法六尺。得二百五十八尺為廉隅共法。以次商六尺乘 之。得一千五百四十八尺。書於餘積之下。與餘稍相減恰尽。即知長 方之関為九十六尺加縱多七十二尺得一百六十八尺。即長方之 長也。此法原積初商應得一百尺。因加縱多。相乘得數大於原積。故 而原積一万尺之上。応開百位者。空其位而不計也。或縦多太夫。過 中西算学大成 於初商所得之數。則用四四因積數之法。或用縱多折半之法。為便也。 見前 設有長方面積八尺長闊相和六尺。問長闊各幾何。 法列積如開平方法商之。積八尺止可商二尺乃以二尺書於原積 二八八一〇 八尺之上。而以所商二尺與和數六尺相減餘四尺以所商二尺乘 之得八尺書於原積之下相減恰尽。即知長方之関得二尺奥和六 尺相減得四尺。即為長方之長也。如図甲乙丙丁長方形。容積八尺。 其甲乙邊長四尺。甲丁邊闊二尺其甲丁與甲乙相併得六尺即長 四二八 閲之和。初高所得二尺。即甲戌已丁正方之毎一邊蓋両邊俱止一 位。故以初商所得為一邊。於長閲和内滅去初商。所餘即又一邊。是 二)四一 以両辺相乗而與原積相等也。此法比較数所異者。較数開方係。以 所商之数異較数相加。和数聞方則以所商之数。奥和数相減也。 又法以積八尺用四因之得三十二尺。於和数六尺自乘羃三十六 尺内減之。餘四尺。開方得二尺。即為長間相較之数。乃以較數二尺 輿和数六尺相加。得八尺折半得四尺。即長方之長。滅較二尺。得二 尺即長方之間也。如図甲乙丙丁長方形。容積八尺四図之。得甲乙 丙丁戊巳庚乙辛壬癸巳子丁丑壬四長方形。廻環相湊。成一空心 癸 壬 巳戊 正方式交之和數六尺自乘之甲戌辛千正方形所少者止正中之 一小正方形。故相減即餘丑丙庚癸之一小正方形。其丑丙類毎一 邊即長閣之較。故開方得長閩之較。或得乾。加於和数是為倍長。故 庚 ▢折半而得長。長減較而得関也。此法亦與較数異蓋以較求和故用一 辛 較自乘與四因數相加。關方而得和。此以和求較。則用和自乘。與四 因数相減開方而得較也。 丁庚戌 一二〇 又法先将和數六尺折半。得三尺為半和。自乘得九尺。與原積八尺 相減得一尺平方開之仍得一尺為半較。於半和減半較。得二尺為 閲於半和加半乾。得四尺為長。如図甲乙丙丁長方形。甲乙為潤甲乙為潤甲 一丁壬興丁 丁為長甲壬為長園和 同折半為甲庚半和。将甲乙丙丁長 丙閑等 方内之庚卒丙丁。移於乙丑癸巳。則成甲丑癸巳辛庚一磬折形。興 甲庚半和自乗之甲丑子庚方形相減。餘巳癸子卒一小方形。即半 較自乘之方。故開方而得半較也。於甲丑半和内減乙丑半較。得甲 乙之関於甲庚半和内加庚丁半較得甲丁之長也。 設有長方面積八百六十四尺長間相和六十尺問長関各幾何。 法列積如開平方法商之。其八百尺為初商積。可商二十尺。乃以二十尺書於原 寅 辛 丁 戌 四四四四 六六六六 二)八八一・ 〇〇一〇 四二〇 八八 六四四 六四四四 子乙 庚 発 積八百尺之上。而以初商二十尺與和數六十尺相減得四十尺以 初商二十尺乗之。得八百尺。書於原積之下。相減餘六十四尺。為次 商庫隅共積。乃以初商二十尺。倍之得四十尺。興和数六十尺相減 内 餘二十尺為簾法。以除六十四尺。足三尺。因庫法内尚要減去商數 為法。故取大数為四尺。則以四尺書於原積四尺之上而以廉法二 十尺奥次商四尺相減。得十六尺。以次高四尺乗之得六十四尺書 於餘積之下。與餘積相減恰尽。即知長方之間。得二十四尺。與和六 十尺相減。餘三十六尺。即為長方之長也。如圖甲乙丙丁長方形。容 積八百六十四尺。其甲乙邊闊二十四尺甲丁邊長三十六尺甲戌 為長園和六十尺。其丁戊與甲乙等。甲子二十尺為初商数。與卒戌 等。甲辛四十尺。則和内減去初商之數。兩數相乘。成甲子己卒長方。 形即初商所減之積也丁戌既興甲乙等。平戊又與甲子等。則丁卒 興子乙等。丁庚巳辛小長方積奠庚丑壬丙長方積等。是則次商廉 隅共積。即子乙壬丑之積也。次於甲戌和内減倍初簡数四十尺如 寅戊。餘甲寅二十尺與子癸等為廉法。于乙者為次商数也。子乙與 丑癸等。則於子癸康法内減丑癸。餘子丑。與次商子乙相乘。得子乙 壬丑小長方。即次箇所減之積。故減原積恰尽也。以初首甲子二十尺。合次商子 乙四尺得甲乙二十四尺為闘於甲戌長閣和六十尺内滅与甲乙相等之丁戊 関二十四尺。得甲丁三十六尺為長也三間以後。皆微此遮祈聞之。 二四四四〇 四四四四 一一二〇 又法以積八百六十四尺用四因之。得三千四百五十六尺。於和六 十尺自乗。羃三千六百尺内減之餘一百四十四尺間方得一十二 尺。即為長間之較。乃以較十二尺與和六十尺相加。得七十二尺折 半得三十六尺。即長方之長。減数十二尺。得二十四尺。即長方之間 也。 六六六〇 三三 又法先将和数六十尺折半。得三十尺為半和。自乗得九百尺。與原 積八百六十四尺相減。得三十六尺。闊方得六尺為半較以減半和。 得二十四尺為閣以加半和得三十六尺為長也。 積六万九千三百六十尺長閣相和七百八十二尺問長関各幾何。 設有長方面積六万九千三百六十尺長間相和七百八十二尺問長唄 二)〇〇 二〇〇〇 六〇六六〇 〇三二一一 九八一一・ 六六 法列積如聞平方法商之。其六万為初商積。可商二百尺而以二百 尺與和數七百八十二尺相減得五百八十二尺以初商二百尺乘 之。得十一萬六千四百尺大於積數乃改商一百尺書於原積六萬 尺之上而以所商一百尺與和數七百八十二尺相減。得六百八十 二〇一〇 八〇 六一〇〇二 ○八八 六六 立方 二尺。以初筒一百尺乗之。得六万八千二百尺。書於原積之下。相減 餘一千一百六十尺。為次商廉隅共積。乃以初高一百尺倍之得二 百尺。與和數七百八十二尺相減。得五百八十二尺為廉法。以除一 千一百六十尺止足二尺。爰書空位於原積三百尺之上。而以二尺 書於原積空尺之上。而以廉法五百八十二尺與三商二尺相減。得 五百八十尺。以三商二尺乗之。得一千一百六十尺書於餘積之下。 與餘積相減恰尽。即知長方之間得一百零二尺與和七百八十二 尺相減。餘六百八十尺即為長方之長也此法初商應爾二百尺因 減縱相乗得数転大於原積故改商一百尺凡過此類不若用四因 二法 むか 績數之法。與半和自乘之法算之。為更便也。 見前 立方者。等豊六面之体積也。以形而言。雖為六面十二辺之所合。以積而言。則為自 乗再乗之数因其縦横奥高俱相等。故十二邊皆如一線。其得一邊而十二邊莫不 相同其積之也。自線而面。自面而体。次第相乗而後得其全積。其間之也。必次第桁 之而後得其一邊。是故古人立為方屢長麗之制。每積三位而得邊之一仙。所謂一 千酉十定無疑。三万続為三十余。九十九万不離十。百万方為一百推是也。其法先 従一角而割其体。以自一至九自乗再来之数為方棍異実相審。異量其足減者而定 之。是為初商。初商減盡無餘。則方根止一位若有餘覚。即初商方積外別成一缺角 三面磬折体其附初商之三面者。謂之方鹿其附初商之三邊者。謂之長鹿。其附初 商之角者。謂之隅。簾有三。故以三為麗法。隅惟一。而隅之三面印附於三長康之端。 合三方鹿三長兼一隅始合次商之数。故爾除之法以初高自乗三因為三方庫面 積。視初爾餘實。足方鹿面積幾倍。即定為次商。乃以次商乗三長康為三長康面積。 又以次商自乗為小隅面積。共合三方廉三長廉及一小隅面積以次商数乗之。為 次商廉隅之共称所謂初商方積外。別成一缺角三面磬折体者是也。如次商外尚 有不尽之実。則初商次商方積外。仍為三方庫三長庫一小隅。又成一三面磬折体。 但較前方廉愈。大長麁餘長。而隅愈小耳。凡有幾層廉隅。俱照次商之例遞行之。實 盡而止如開至多位。実仍不尽者。必非自乗再乗之正敷。此開立方之定法也。體形 不。一而容積皆以立方為準。故立方為算諸体之本。諸體必通之立方而法乃可施也。 設如正方體積一百二十五尺。開立方問每一邊數幾何 五五五〇 二二〇 一一一 法列正方體積一百二十五尺。自末位起算。母方積三位。定方邊一 位。今積止有三位。則於五尺上作記定単位。以自一至九自乗再乗 之方。根数与之相審。知與五尺自乗再乗之数恰合。乃以五尺書於 戊 方積五尺之上。而以五尺自乗再乗之一百二十五尺。書於方積原 ○数之下。相減恰尽。即得開方之数為五尺也。如図甲乙丙丁戊巳正 方體形。毎邊皆五尺。其中面一尺小方體一百二十五自邊計之為 五尺。自面計之則為五尺自乗之二十五尺。自通體計之則為五尺 自乘再乘之一百二十五尺以積開之。則與五尺自乘再乘之數相 準。故商除之恰尽也。蓋方積為三位。是以方邊止一位。方積即五尺 自乗再乗之数。別無廉隅。故不用次商。如有餘實。則自成庫隅。而用 次商矣。 設如正方體積一丈七百二十八尺開立方。問每一邊數幾何。 二八八八 二二二〇 七七七七 一一一 三六四」⑦ 甲戌 法列正方體積一丈七百二十八尺。自末位起算。毎方積三位定方 邊一位故隔二位作記即於八尺上定尺位一丈上定丈位其一丈 為初商積。與一丈自乘再乗之數相合。即定初商為一丈。書於方積 ○一丈之上。而以一丈自乗再乗之一丈。書於初商積之下。相減恰盡。 大凡以餘積續書於 爰以方邊末位餘積七百二十八尺續書於下 下者毎取方積之三 位以当方辺 之一位也 為次商庫隅之共積乃以初商之一丈作一十尺自乘 得一百尺三因之得三百尺為次商三方庫面積以除方積七百二 戊 十八尺。足二尺即定次商為二尺。書於方積八尺之上。而以初商之 一十尺與次商之二尺相乗得二十尺三因之得六十尺為次高三 長庫面積。復以次商二尺自乗得四尺。為次商一小隅面積。合三方 甲 庫三長庫一小隅面積共得三百六十四尺為庫隅共法。書於餘積 之左。以次商之二尺乗之。得七百二十八尺。與餘積相減恰尽。是開 得一丈二尺。為正方體積毎一邊之數也。如圖甲乙丙丁正方體形。 每邊皆一丈二尺。其中函積一丈七百二十八尺是為共積。其先従 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 一角所分戊乙庚巳方体毎邊一丈。即初商数其中函積亦一丈即 初尚自来再来之数。所餘卒形王形灸形三方體為三方鹿。其舞邊一丈即初高 數。其厚二尺即次商數而子形丑形寅形三長方體為三長康。其毎邊一大亦即 初商數其間其厚皆二尺亦即次商數。方庫有三故三倍初商之自乘為乗為東法以 定次商。其卯形一小正方體為隅。其長真間興厚皆同為二尺亦即次商数以 次簡為隅法合卒壬癸三方庫。于丑寅三長廉。卯一方隅。而成一磬折體形。附於 初酉自乗再來之方體三面。而成一甲乙丙丁之総正方體積。此立方鹿隅之法。 所由生也。三商以後皆倣此遞析開之。 又法列積一丈七百二十八尺。自末位起算作記。定位同前。乃截一丈為初前積。 興一丈自乗再乗之数相合。則定初商為一丈。書於方積一丈之上。 二)八八一〇 二二二〇 七七七七七 一一二・一・ 而以一丈自乗再乗之一丈。書於初簡積之下。相減恰尽。乃以方邊 末位餘積七百二十八尺続書於下。為次商廉隅之共積。而以初商 之一丈作一十尺。自乗得一百尺。三因之得三百尺。為次商三方庫 面積。即以三方廉面積三百尺除方積七百二十八尺足二尺。則定 次商為二尺。書於方積八尺之上合初商共一丈二尺。自乗再乗得 一丈七百二十八尺。與原積符合。相減恰尽。即定立方憂為一丈二尺也。此法止一 用三方庫面積除立方體積。得之商數。即併初萬數自乗再乘。得數與原積相減。 雖為省去長廉小隅一層。熟方漫位数少者還為簡易。至於方辺位数過四位以 上則累次自乗再乘。反比遞析之理為煩矣。 設如正方體積九千四百八十一萬八千八百一十六尺。開立方。間每一邊數幾何。 六六一〇 五八八五三三 一一二九九丁 一一一一一一 八八一六六 四四四〇七三三〇 九六三二 法列正方體積九千四百八十一万八千八百一十六尺自末位起 算。毎方積三位。定方邊一位故隔二位作記乃於六尺上定單位八 千尺上定十位。四百萬尺上定百位。其九千四百万尺為初酉積。以 初商本位計之則四百万尺為初高積之単位而九千四百万尺為 九十四。止奥四自乗再乗之数相準。即定初高為四。書於方積四百 万尺之上。而以四自乗再乗之六十四。書於初商積之下。相減餘三千万尺。是以 方辺第二位餘積八十一万八千尺。続書於下。共三千零八十一万八千尺。為次 商庫隅之共称以次商本位計之。則八千尺為次商積之単位。而三千零八十一 万八千尺。為三万零八百一十八。而初商之四。即為四十。乃以初商之四十自乗。 得一千六百。三因之得四千八百。為次商三方鹿面積。以除三万零八百一十八。 足五倍。即定次商為五。書於方積八千尺之上。而以初前之四十興次商之五相 乗得二百。三国之得六百。為次商三長東面積。復以初商之五自乗得二十五。為 次商一小隅面積。合三方廉三長廉一小隅面積。共得五千四百二十五為火商 蕭隅共法。書於餘積之左。以次商之五乗之。得二万七千一百二十五。與次商廉 隅共積相減。餘三百六十九万三千尺。復以方辺末位餘積八百一十六尺続書 於下。共三百六十九万三千八百一十六尺。為三箇東隅之共積。以三高本位計 之則積與臺守仍為本位。乃以初間次商之四百五十尺自乗。得二十万零二千 五百。三国之得六十万零七千五百。為三商三方庫面積。以除三百六十九万三 千八百一十六尺足六倍。即定三万為六。書於方積六尺之上而以初酉次酉次爾之 四百五十與三万之六相乘得二千七百。三国之得八千一百。為三商三長庫面 積。復以三高之六自乗得三十六為三商一小隅面積。合三方庫三長庫一小隅 面積。共得六十一万五千六百三十六。為三商庫隅共法。書於余積之左。以三商 之六束之。得三百六十九万三千八百一十六。與三商庫隅共積相減恰尽。是間 得四百五十六尺為正方體積毎一邊之數也。 設如正方體積三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸。開立方。問毎一邊藪 幾何。 七七七七〇 二二二〇 二二二〇 九九九〇 八八八 二二二二 四四四四 七三四四 七三四四 四四 三三 法列正方體積三百四十七丈四百二十八尺九百二十七寸。自末 位起算。每隔二位作記。即於七寸上定寸位。八尺上定尺位。七丈上 定丈位其三百四十七丈為初商積。與七丈自乘再乗之數相準。即 定初商為七丈書於方積七丈之上而以七丈自乗再乗之三百四 十三丈。書於初商積之下。相減餘四丈。即四千尺。爰以方邊第二位 餘積四百二十八尺續書於下。共四千四百二十八尺。為次商庫隅 之共積乃以初商之七丈作七十尺自乗得四千九百尺。三因之得 一万四千七百尺。為次商三方庫面積。以除方積四千四百二十八尺。其数不足。 是次商為空位也。乃書一空於方積八尺之上。以存次商之位。復以方漫木位餘。 積九百二十七寸続書於下。共四千四百二十八尺九百二十七寸。即四百四十 二万八千九百二十七寸。為三商庫隅之共積。仍以次商三方鹿面積一万四千 七百尺。作一百四十七万寸為廉法。以除四百四十二万八千九百二十七寸。足 三寸。即定三万為三寸。書於方積七寸之上。又以初筒之七大為七百寸。與三商 之三寸相乗。得二千一百寸。三因之得六千三百寸。為三商三長廉面積。復以三 商之三寸自乗得九寸。為三万一小隅面積。合三方庫三長廉一小隅面積。共得 一百四十七万六千三百零九寸。為三商庫隅共法。書於余積之左。以三高之三 寸乗之。得四百四十二万八千九百二十七寸。與三商廉隅共積相減恰尽。是開 得七丈零三寸為正方體積毎一邊之數也。此法商出之方邊有空位。凡東法除 餘積而數不足者。皆依此例推之。 ⑧)。 四四四四〇 〇〇〇〇 三三三〇 三九七二二〇 三二一一一 設如正方體積三千九百三十萬四千尺。開立方。問每一邊數幾何。 法列正方体積三千九百三十万四千尺。補三空位以足其分。自末 空位起算。每隔二位作記。乃於空尺上定單位。四千尺上定十位。九 百万尺上定百位。其三千九百万尺為初簡積。以初高本位計之。則 九百万尺為初高積之單位而三千九百為三十九。止与三自乗再 乗之数相準。即定初商為三。書於方積九百万尺之上。而以三自乗 再乗之二十七。書於初酉積之下。相減餘一千二百万尺。爰以方邊一 第二位餘積三十萬四千尺續書於下。其一千二百三十萬四千尺。 為次商庫隅之共積。以次高本位計之。則四千尺為次商積之単位。而一千二百 三十万四千尺。為一万二千三百零四。而初商之三郎為三十。乃以初商之三十 自乗得九百。三因之得二千七百。為次高三方鹿面積。以除餘積一萬二千三百 零四。足四倍。即定次商為四。書於方積四千尺之上。又以初簡之三十興次商之 四相乗得一百二十。三因之得三百六十。為次商三長廉面積。復以次商之四自 乗得一十六為次商一小隅面積。合三方鹿三長廉一小隅面積共得三千零七 十六。為次商鹿隅其法。書於餘積之左。以次商之四乗之。得一万二千三百零四。 與餘積相減恰盡。是開得三百四十尺。為正方體積毎一邊之數也。此法方積之 末。有三空位。故所得方邉之末亦補一空位。凡設數未至單位者。皆以此例補足 位分。黙後開之。 設如正方体積三十二億九千四百六十四万六千二百七十二尺開立方。間毎一 辺数幾何 法列正方體積三十二億九千四百六十四万六千二百七十二尺。自末位起算 每隔二位作記於二尺上定単位。六千尺上定十位。四百万尺上定百位。三十億 尺上定千位。其三十億尺為初万積。以初裔本位計之。則三十億尺為初高積之 單位。而三十億尺為三。止与一自乗再来之数相準。即定初商為一。書於方積三 四四九五五〇 四四四四四四四四四 六二四四〇 四九五五〇 六七八八 九九四五九五五〇 二二七五四 一)三一〇四 商之五自乗得二十五。為次高一小隅面積。又合三方三長兼一小隅面積共得 十億尺之上。而以一乗自乘再乘之一。書於初首積之下。相減餘二 十億尺爰以方漫第二位餘積二億九千四百万尺続書於下。共二 十二億九千四百万尺。為次商廉隅之共積。以次商本位計之。則四 百万尺為次商積之単位。而二十二億九千四百万尺。為二千二百 九十四。而初簡之一即為一十。乃以初高之一十自乗得一百。三因 之得三百。為次商三方庫面積。以除二千二百九十四。足七倍。固定 次高為七。而以初商之一十與次商之七相乗。得七十。三因之。得二 百一十。為次商三長庫面積。復以次商之七自乗。得四十九。為次商 一小隅面積。合三方庫三長東一小隅面積。共得五百五十九為次角庫隅共法。 以次商之七乗之得三千九百一十三。大於次商東隅之共積。是次商不可商七 也。乃改爾六。而以初前之一十興次商之六相乗得六十。三国之得一、百八十。為 次商三長簾面積。復以次商之六自乗得三十六。為次商一小隅面積。合三方三 長廉一小隅面積共得五百一十六。為次商麁隅共法。以次商之六乗之。得三千 零九十六。仍大於次商扉隅之共積。是次商不可商六也。又改商五。而以初商之 一十與次商之五相乗得五十三因之得一百五十。為次商三長庫面積。復以次 四百七十五為次商廉隅共法。以次商之五乗之。得二千三百七十五仍大於次 商庫隅之共積。是次商又不可商五也。乃改商四。而以初高之一十興次商之四 相乗得四十。三因之得一百二十。為次。爾三長廉面積。復以次商之四自乗得一 十六。為次商一小隅面積。合三方康三長庫一小隅面積。共得四百三十六。為火 酉廉隅共法。以次商之四乗之。得一千七百四十四。是小於次商麗隅之共積可 減也乃以次商之四。書於方積四百二万尺之上。而以次爾乗二廉隅共法之一千七 百四十四。與次商庫隅之共積相減餘五億五千萬尺。復以方邊第三位餘積六 十四万六千尺続書於下。共五億五千零六十四万六千尺。為三酉廉隅之共積。 以三万本位計之。則六千尺為三酉積之單位。而五億五千零六十四万六千尺。 為五十五万零六百四十六。而初商次商之一十四。即為一百四十。乃以初高之 一百四十自乗得一万九千六百。三円之得五万八千八百。為三商三方庫面積。 以除五十五万零六百四十六。足九倍。因定三商為九。而以初商次商之一百四 十與三商之九相乗。得一千二百六十。三因之。得三千七百八十。為三両三長庫 面積。復以三商之九自乗得八十一為三商一小隅面積。合三方廉三長鹿一小 隅面積。共得六万二千六百六十一。為三万廉隅共法。以三商之九乗之。得五十 六万三千九百四十九大於三商廉隅之共積。是三商不可簡九也。乃改商八。而 以初高次商之一百四十典三商之八相乗。得一千一百二十三円之。得三千三千三 百六十。為三商三長簾面積。復以三商之八自乗得六十四。為三商一小隅面積。 合三方庫三長藤一小隅面積。其得六万二千二百二十四。為三両扉隅兵法。以 三商之八乗之。得四十九万七千七百九十二是小於三商庫隅之共積可減也。 乃以三商之八。書於方積六千尺之上。而以三商乗庫隅共法之四十九万七千 七百九十二。與三商廉隅之共積相減。餘五千二百八十五万四千尺。復以方辺 ツ末位餘積二百七十二尺続書於下。共五千二百八十五万四千二百七十二尺。 為四高廉隅之共□以四万本位計之。則積与辺皆仍為本位乃以初商次商三 商之一千四百八十尺自乗得二百一十九万零四百。三因之得六百五十七万 一千二百。為四高三方鹿面積。以除五千二百八十五万四千二百七十二。足倍。 即定次商為八。書於方積二尺之上。而以初前次商三商之一千四百八十。與四 商之八相乗得一万一千八百四十。三円之得三万五千五百二十。為四商三長 鹿面積。復以四商之八自乗得六十四。為四商一小隅面積。合三方庫三長簾一 小隅面積。共得六百六十万六千七百八十四。為四万廉隅共法。以四商之八乗 之。得五千二百八十五万四千二百七十二。與餘積相減恰尽。是間得一千四百 八十八尺為正方体体積毎一邊之数也。此法蓋固方邊之第三位第四位二数太 大。故次商廉隅之共積。以次商之三方廉。除得次商之辺。鑑而以次商之辺。與次 商庫隅共法相乗。大於原積甚多。改商三次。所乘之数始典火商庫隅之共積相 準。而後次商之数可定。故聞立方遇此類者。皆依此例推之。如或廉隅共法。異商 出之数相乗。得数大於麗隅共積幾十倍者。則改商必審其無廉隅共。積相近小 数。始可為準也。 中西算学大成巻二十一 筆算四 帯縱較数立方 嘉善陳維棋纂 帯縦立方者。両両等台長方体積也。高固相等。惟長不同者。為帯一縦立方。長閣相 等。而皆比高多者。則為帯両縦相同之立方。至於長関高皆不等者。則為帯両縦不 同之立方。開之之法。大概真立方同。祇有帯縦之異耳。其滞一縱之法。如以高圏相 等惟長不同為問者。則以初高為高典閲。以之自乗。又以初商加衆為長。以之再 乗。得初商積。至次商以後。亦有三方庫三長廉一小隅。但其一方廉附於初商積之 方面者。即初商数。其二方麁附於初商積之長面者。則帯縦也。其二長庫附於初商 積之方漫者。即初商数。其一長麗附於初商積之長邊者。則帶縱也。其帯両縦相同 之法。如以長聞相等皆比高多為問者。則以初商加衆数為長與閲。以之自来。又以 初簡為高。以之再乗得初商精。至次商以後。其一方庫附於初前積之正面者。則帯 両縦其二方扉附於初高積之旁面者。則各帯一縱也。其一長庫附於初高稍之高 憂者。即初前数。其二長康附於初商積之長閲両辺者。則各帯一縱也。其帯両殺不 同之法。如以聞比高多長比閩又多為問者。則以初商為高。又以初商加聞縱為闘。 与高相乗。又加長縦為長以之再乘得初高積。至次商以後。其一方扉附於初面積 辛丑重校 之正面者。則帯両織。其二方鹿附於初両積之旁面者。則一帯間縦一帯長縦其一 長廉附於初商積之高辺者。即初商数。其二長扉附於初尚積之長閣両辺者。則各 帯一概。小隅則無論帯一綴両紙皆各以所高之数自乗再来成一小正方。其毎曼 之數。即三方庫之厚。亦即三長廉之関與厚馬。凡有幾層廉隅。守依次商之例。返桁 推之。法雖不一。要旨本於正方而後加帶織。故凡商出之數。皆為小邊。方體共十二 邊若帯一概。或帯両縦相同者。則八邊相等。四邊相等。若帯両縱不同者。則毎四邊 各相等。是故得其一邊。加入縱多即得各邊也。 設如帯一縦立方積一百一十二尺。其高間相等。長比高闊多三尺。間高厚長各幾 何。 二二〇 一二 四四六七二 法列積如開立方法商之。其積一百一十二尺止可高四尺。乃以四 因高典閲等。故四 尺書於原積二尺之上而以所商四尺為高與閩 尺即方之高興陽 也。加縱多三尺。得七尺為長。即以高異関四尺自乗。得一十六尺。又 以長七尺再乗。得一百一十二尺。書於原積之下。相減恰尽。是知立 方之高闊俱四尺。加縱多三尺。得七尺。即立方之長也。如図甲乙丙 丁戊己長方體形。容積一百一十二尺。其甲乙為高。甲巳為閏。巳戌 為長甲乙甲巳俱四尺巳戌為七尺巳戌比巳庚卯三尺即所帯之 庚 縱甲乙壬卒庚巳正方形即初商之正方種庚畢壬丙丁戊扁方形 即帯縦所多之扁方積也。蓋因此法高興閩俱止一位。其積止一位 之積。故初商所得即高興関之辺。加入縦多。即為長辺也。凡有帯一 縦無次商者。依此法開之。 設如席一般立方積二千四百四十八尺。其高間相等。長比高閏多五尺。間高間長 各幾何。 二)八・一八八 四〇四回〇 四五九九〇 二一 〇〇〇〇〇 一二〇〇〇二〇〇 〇〇四四二八 〇七七四 四十九 法列積如聞立方法商之。其二千尺為初商積。可商十尺。乃以十尺 書於原積二千尺之上。而以所商十尺為初商之高與閲。加縱多五一 尺。得十五尺。為初商之長。即以初商之高興関十尺自乗。得一百尺。 又以初商之長十五尺再乗。得一千五百尺。書於原積之下。相減餘 九百四十八尺為次商麗隅之共積。乃以初高之高典闊十尺自乘。 此一方廉 得一百尺 初商数也 又以初商之高與閲十尺與初商之長十五尺 加倍為帯縦両方廉一 相乗得一百五十尺倍之得三百尺。 即初高加縦多也 得四百尺。為次爾三方廉面積。以除次商廉隅之共積。九百四十八 尺足二尺。則以二尺書於原積八尺之上。而以初南之高典閣十尺 両数相併。 子 丑 子 戸長 寅 此帯縦 此兩長廉 此兩長廉 與初商之長十五尺相併二 倍之得二十尺 初商数也 長藤也。 一得三 十五尺。以次間之二尺乗之。得七十尺。為次商三長藤面積。又次以 商之二尺自乗。得四尺為次商一小隅面積。合三方庫三長廉一小 隅面積。共得四百七十四尺為麗隅共法以次商之二尺乘之。得九 百四十八尺。書於餘積之下。相減恰尽。是知立方之高興閲。俱一十一 二尺。加縱多五尺。得一十七尺。即立方之長也。如図甲乙丙丁長方 體形。容積二千四百四十八尺。其甲乙高甲戌閏皆十二尺。甲巳長 十七尺。甲巳比庚巳所多甲庚五尺。即縱多之数其従一角所分卒 乙癸王長方體形壬癸與率乙皆十尺即初高數壬享十五尺即初 商加縱多之數。卒乙癸王長方積一千五百尺即初酉自乘又以初 商加縦多再乗之数。所餘子形丑形寅形為三方庫其中寅形為一 正方廉。母邊十尺。即初商數。子形丑形為二長方廉每間。長十 五尺。其長比間多五尺。即縱多之數。其厚皆二尺即次商數。那形辰 形已形為三長庫。其辰形已形皆長十尺。即初高数。郎形比辰形已 形皆長五尺。即縦多之數。其関與高皆二尺亦即次商數其已形一 小正方体為隅。其長闊高皆二尺。亦即次高数合子丑寅三方廉。郭 丙之総長方体積也。三高以後。皆倣此逓析開之。 辰巳三長廉。巳一小方隅。共成一磬折體形附於初爾長方體之三面而成甲乙。 二八〇八八 四・四〇 四五九四〇 〇二一〇二〇 〇五〇 〇〇〇〇〇 一二〇〇一一〇 一一五〇五 一一 二百二十二日 又法以初商積之二千尺商十尺。書於原積二千尺之上。而以所高 十尺為初商之高興関。加縱多五尺。得十五尺。為初高之長。即以初 商之高與關十尺自乘得一百尺又以初高之長十五尺再乘得一 千五百尺。書於原絹之下。相減餘九百四十八尺為次商積。乃以初 商之高興闘十尺自乗。得一百尺又。以初高之高興闘十尺与初商 之長十五尺相乘。得一百五十尺。倍之得三百尺兩數相併。得四百 尺為次商三方庫面積。以除次商積九百四十八尺。足二尺。則以二 尺書於原積八尺之上合初高次商共一十二尺為初高次商之高 與閩。加縱多五尺。得十七尺。為初商次商之長。乃以初高次商之高 與閣十二尺自乗。得一百四十四尺。又以初商次商之長十七尺再 乗得二千四百四十八尺與原積相減恰尽即知立方之高関倶十 二尺其長為十七尺也 設如帯一縦立方積一万九千零八寸。其高闊相等。長比高間多一百二十寸。問高 閣長各幾何。 法列積如開立方法商之。其一万九千寸為初裔積。可商二十寸。則以二十寸為 二〇八 ニハ 〇〇〇〇〇 〇〇〇〇 九三六六 一一 OO{O 一一万 alo lo fo CCll 〇〇〇〇〇〇 一一一〇〇 三〇三 〇〇四四二八 〇〇〇 七三〇 二里六 高興関。加縦多一百二十寸。得一百四十寸為長。即以高典関二十 寸自乗。得四百寸。又以長一百四十寸再乘。得五万六千寸。大於原 積二倍有餘。乃退高十寸。書於原積九千寸之上。而以所商十寸為 初商之高興間。加縱多一百二十寸。得一百三十寸為初筒之長。 以初裔之高興関十寸自乗。得一百寸。又以初商之長一百三十寸 再乗。得一万三千寸。書於原積之下。相減餘六千零八寸。為次商廉 隅之共積。乃以初商之高與闊十寸自乗得一百寸。又以初商之高 與間十寸。與初商之長一百三十寸相乘。得一千三百寸。倍之得二 千六百寸。両数相併。得二千七百寸。為次高三方鹿面積。以除次商 廉隅之共積六千零八寸。足二寸。則以二寸書於原積八寸之上。而 以初商之高與闊十寸。倍之得二十寸。又與初高之長一百三十寸 相併。得一百五十寸。以次商之二寸乗之。得三百寸。為次商三長廉 面積。又以次商之二寸自乗。得四寸為次商一小隅面積。合三方扉 三長庫一小隅面積。共得三千零四寸。為廉隅共法。以次高之二寸 乗之。得六千零八寸。書於餘積之下。相減恰尽。是知立方之高闊俱 十二寸。加縱多一百二十寸。得一百三十二寸。即立方之長也。此法因帯縱甚大。 按立方例。所得初高數並加縱多。所得初商積必大於原積幾倍。依此漸取小数 聞之。又至甚煩。故約略其分退商之。至爾出之積比原精微小而後可。是則帶縦 立方立法之最難者也 設如帯両蹤相同立方積五百六十七尺其長間俱比高多二尺間長間高各幾何。 七七七〇 六六 五五 法列積如開立方法商之。共積五百六十七尺可商八尺。因留両縦 積。敗略小之数高七尺乃以七尺書於原積七尺之上。而以所高 七尺為高。加縦多二尺得九尺。為長興関。即以長興間九尺自乗。得 八十一尺。又以高七尺再。得五百六十七尺書於原積之下。相減 恰尽。是知立方之高為七尺。加縦多二尺。得九尺。即立方之長与闊 也。如図甲乙丙丁戊巳扁方體形。容積五百六十七尺。其甲乙為高。 戊戌 甲子為閲。甲已為長。甲乙七尺。甲子甲己。皆比甲乙多二尺。即所帯 之縦其甲乙癸壬芋庚正方形。即初商之積。庚辛壬癸丙丁戊巳磬折体形。即所 帯之縦積也。此法因長潤俱比高多。故初高所得為高。於高加蹤多。即長與関也。 設如帯両縦相同立方積三千四百六十八尺其長関俱比高多五尺問長関高各一 幾何 二〇八八 六五一一〇 四二二二 同三二一一 一五五五五五五〇一〇 一五五五五〇〇 一つで大二二・五五 一一七九一一一一七五 一三万二 戊 丙 法列積如開立方法商之。其三千尺為初高積。可簡十尺。乃以十尺 書於原積三千尺之上而以初高十尺為初商之高加縦多五尺得 十五尺為初商之長與國。即以初高之長與閣十五尺自乘得二百 二十五尺又以初高之高十尺再乗得二千二百五十尺書於原積 之下。相減餘一千二百一十八尺為次商麁隅之共積。乃以初商之 此一方廉長閣 長與團十五尺自乘得二百二十五尺 又以初商之 皆帯一縦也。 高十尺與初商之長與閣十五尺相乘。得一百五十尺倍之得三百 加倍為帯縦両方廉 人加 尺 御初商加縱多也。 一兩數相併。得五百二十五尺。為次高三方康 面積以除次商庫隅之共積一千二百一十八尺足二尺則以二尺 書於原積八尺之上。而以初斎之長與閩十五尺。倍之得三十尺。砒 此一長庫 長藤即長閣 与初商之高十尺相併一 得四十尺以次商之 各帯一縱也。 初商数也 二尺乗之得八十尺。為次商三長廉面積。又以次商之二尺自乘。得 四尺為次高一小隅面積。合三方廉三長廉一小隅面積。共得六百 零九尺為兼隅共法。以次高之二尺乗之得一千二百一十八尺書 於餘積之下。相減恰尽。是知立方之高為十二尺加縱多五尺得十 七尺。為立方之長與関也。如図甲乙丙丁扁方體形。容積三千四百 未 癸 二〇八八〇 六五一六〇 同三二一三 六十八尺其甲乙高十二尺甲戌長甲戌長甲巳国俱十七尺。甲戌比甲年 所多年戌。甲巳比庚巳所多甲庚。俱五尺。即縦多之数。其従一角所。 分壬乙子癸扁方体形。癸子輿壬乙皆十尺即初酉数壬癸与奏申 皆十五尺。即初高加縱多之數。壬乙子癸扁方積二千二百五十尺。 即初商縦多加自乗。又以初高再来之数所餘五形寅形卯形為三 方庫其中寅形為一正方廉。毎辺十五尺即初商加縦多之数。且形 卵形為二長方庫。每高十尺長十五尺長比高多五尺。即縦多之数。 厚皆二尺。即次商数。辰形巳形午形為三長簾。已形長十尺。御初高 数辰形午形比巳形俱長五尺即縦多之数其間興厚皆二尺亦即 次商数其已形一小正方體為隅。其長間高皆二尺。亦即次商數。合 丑寅卯三方鹿。辰巳午三長廉。巳一小方隅。共成一磬折体形。附於一 初酉長方體之三面。而成甲乙丙丁之總扁方體積也。三高後。依此一 又法以初積三千尺。高十尺。書於原積三千尺之上。而以所商十尺。 為初簡之高。加縦多五尺。得十五尺。為初高之長興円。即以初覇之 長與間十五尺自乘。得二百二十五尺。又以初裔之高十尺再乗。得 二千二百五十尺。書於原積之下。相減餘一千二百一十八尺。為次 一五五五五〇一〇 一一七五二一〇五五 一二三 一三 同七七九九三八 一一七八一七九六 高積。乃以初商之長與閩十五尺自乗。得二百二十五尺。又以初商 之高十尺。與初商之長與間十五尺相乗。得一百五十尺。倍之得三 百尺。雨數相併。得五百二十五尺。為次商三方廉面積。以除次高積 一千二百一十八尺足二尺。則以二尺書於原積八尺之上合初箇 次商共十二尺。為初筒次商之高。加縦多五尺。得十七尺。為初繭次 商之長與関。乃以初高次商之長與闊十七尺自乘。得二百八十九 尺。又以初商次商之高十二尺再乘。得三千四百六十八尺。與原積 相減恰尽。即知立方之高為十二尺。其長興関得十七尺也。 設如得両縦相同立方積一百零三万四千二百八十九寸。其長円俱比高多三百 三十寸。問長聞高各幾何。 九九九〇 法列積如開立方商之。其一百万寸為初尚積。可商一百寸。乃以所商 一百寸為高。加蹤多三百三十寸。得四百三十寸為長興間。即以長與 閏四百三十寸自来。得一十八万四千九百寸。又以高一百寸再来得 一千八百四十九万寸。大於原積十倍有餘。是初高不可商一百寸也。 ○既大於原積十倍有餘故 一乃改商十寸為高一 取十分之一商之為十寸 加縦多三百三十寸。得三 取十分之一商之為十寸九 百四十寸為長與円。即以長。興関三百四十寸自乗得一十一万五千 一〇三回三人宛 六百寸。又以高十寸再乗。得一百一十五万六千寸。仍大於原積。是 亦不可商一十寸也。乃改商九寸。書於原積九寸之上。而以所商九 寸為高。加縦多三百三十寸。得三百三十九寸為長與間。即以長與 間三百三十九寸自乗。得一十一万四千九百二十一寸。又以高九 寸再乗。得一百零三万四千二百八十九寸。書於原積之下。相減恰 画。是知立方之高為九寸。加縦多三百三十寸。得三百三十九寸。為 立方之長與關也。 設如席南蝦不同立方積一百九十二尺。其間比高多二尺。其長比間又多二尺。間 高闊長各幾何。 四二二二 九九〇 六四四八三 法列積如開立方法高之。其積一百九十二尺可商五尺。乃以所商 五尺為高。加聞比高多二尺。得七尺為関。再加長比閲多二尺。得九 尺為長。即以高五尺與間七尺相乗。得三十五尺。又以長九尺再乗。 得三百一十五尺。大於原積。乃改商四尺。書於原積二尺之上。而以 所高四尺為高。加国比高多二尺。得六尺為円。再加長比闊多二尺。 得八尺為長。御以高四尺奥関六尺相乗得二十四尺又以長八尺 再乗得一百九十二尺。書於原積之下。相減恰尽。是知立方之高為 戊 四尺其闊為六尺。其長為八尺也。如図甲乙丙丁戊已長方體形。容 積一百九十二尺。其甲乙為高四尺。甲巳為関六尺。巳戌為長八尺。 甲巳比甲庚所多庚巳二尺。即閣比高所帯之縦。已戌比已卒所多 享戊四尺。即長比高所帯之縦。甲乙子癸壬庚正方形。即初商之正 積。庚壬癸子丙丁戊辛巳磬折体形。即長閣両縦之長方積也。此法 因長比閲多。関又比高多。故初箇所得即為高。於高加閲縦為囲。於 関加長縦為長也。 設如帯南峻不同立方積三千零二十四尺。其間比高多二尺。其長比間又多四尺。 問高閑長各幾何。 二〇一〇 二四〇四四〇 二二一〇〇 〇九一一万 一三一一 二〇一〇一〇 一二〇二二二 二〇二二〇二 法列積如開立方法商之。其三千尺為初商積。可高十尺。乃以十尺 書於原精三千尺之上。而以所高十尺為初高之高。加聞比高多二 尺。得十二尺為初高之間。再加長比間多四尺。得十六尺為初高之 長。乃以初高之高十尺。與初商之闊十二尺相乗。得一百二十尺。又 以初高之長十六尺再乗。得一千九百二十尺。書於原積之下。相減 餘一千一百零四尺。為次高麗隅之共積。乃以初商之高十尺。與初商 此帯閣縦 之閲十二尺相乘得一百二十尺以 又以初商之高十尺与 一方廉也 戊 壬 二六四二二四 初商之長十六尺相乗。得一百六十尺。 帯長縦 一又以初商之関十 方鹿也 此帯長関両 二尺與初高之長十六尺相乗得一百九十二尺 三数 縦一方廉也 相併。得四百七十二尺。為次高三方廩面積。以除次商廉隅之共積 一千一百零四尺。尺二尺。則以二尺書於原積四尺之上。而以初高 此一長廉 之高十尺 與初商之闊十二尺相併。 此帯関縦 得二十二 初商数也 尺又與初商之長十六尺相併。 此帯長縦一 一長廉也、 得三十八尺以次商之二 一長廉也 尺乗之。得七十六尺為次商三長廉面積。又以次レ筒之二尺自乗得 四尺。為次商一小隅面積。合三方廉三長廉一小隅面積。共得五百 癸 子 戌 丑 同同同 五十二尺。為廉隅共法。以次商之二尺乗之。得一千一百零四尺。書 於原積之下。相減恰尽是知立方之高得十二尺。加闊比高多二尺。 得十四尺為間。又加長比閲多四尺。得十八尺為長也。如円甲乙丙 丁長方體形。容積三千零二十四尺。其甲乙高十二尺。甲戌閣十四 尺。甲巳長十八尺。甲戌比甲庚所多二尺。即聞比高所多之數。甲巳 比辛巳所多六尺。即長比高所多之數其従一角所分壬乙子癸長 方體形。王乙與癸子皆十尺即初商之數壬未興奏申皆十二尺。即 初高之高加関多之数。壬癸與未申皆十六尺。即初箇之高加聞多 又加長多之數。壬乙子孫長方體所容一千九百二十尺。即初筒積。所餘丑形寅 形非形。為三方廉其卯形之高十尺。即初筒之数。其帯関縦二尺如酉。即間多之 数。其五形之高十尺。亦即初蕭之數。其長縦六尺如戌。即長多之数其実形之間 十尺。又帯間多二尺如亥。即初前之高加聞多之数其帯長縦六尺如乾。即初高 之高加閲多又加長多之数其厚皆二尺。即火商之数。辰形巳形午形為三長廉 其辰形之長十尺即初高之数已形比辰形所多二尺如次即囲多之数其午形 比辰形所多六尺如良即長多之数。其国奥厚皆二尺。亦即次商之數其已形一 小正方體為隅。其長間與高倶二尺。亦即次高之數。合三方庫三長廉一小隅。共 成一磬折体形。附於初商長方體之三面。而成甲乙丙丁之総長方體積也三両 以後。皆倣此遞析開之。 又法以初筒積三千尺高十尺。書於原積三千尺之上而以所高十 尺為初筒之高。加聞比高多二尺。得十二尺。為初商之間。再加長比 閩多四尺。得十六尺。為初商之長。即以初商之高十尺。與初商之闊 二四〇四〇 一二〇二〇 〇九一〇〇 三一三万 十二尺相乗得一百二十尺又以初高之長十六尺再乗得一千九 百二十尺。書於原積之下。相減餘一千一百零四尺。為次高積。乃以 初裔之関十二尺與初商之長十六尺相乗得一百九十二尺。又以 初商之高十尺。與初前之閏十二尺相乗。得一百二十尺又以初商一 一二〇三二二二〇二 二〇一〇六〇 一七二九 二・一七二九 一一二四六一四六二 之高十尺。奥初商之長十六尺相乗。得一百六十尺三数相併。得四 百七十二尺。為次商三方廉面積。以除次高積一千一百零四尺。足 二尺則以二尺書於原積四尺之上。合初商次商共十二尺為初高 次商之高。加閱比高多二尺。得十四尺。為初高次商之間。再加長比 闊多四尺。得十八尺。為初商次商之長。乃以初商次商之高十二尺 与初高次商之関十四尺相乗得一百六十八尺又以初商次商之 長十八尺再乗得三千零二十四尺與原積相減恰尽。即知立方之 高為十二尺。其闊為十四尺。其長為十八尺也。 設如帯両縦不同立方積一万三千二百八十四寸其濶比高多三寸。其長比間多 一百一十一寸。問高闊長各幾何。 法列積如開立方法商之。其一万三千寸為初商積。可商二十寸。乃 以所高二十寸為高。加関比高多三寸。得二十三寸為関。再加長比 闊多一百一十一寸。得一百三十四寸為長。即以高典閲真長。按法 相乗。得六万一千六百四十寸。大於原積四倍有餘。是初商不可商 二十寸也。乃退商十寸。而以所高十寸為高。加闊比高多三寸。得十 三寸為間。再加長比間多一百一十一寸。得一百二十四寸為長。即以高興関与 長。按法相乗。得一万六千一百二十寸。仍大於原積。乃復退商九寸。書於原積四 寸之上。而以所高九寸為高。加関比高多三寸。得十二寸為聞。再加長比間多一 百一十寸。共一百二十三寸為長。即以高九寸典間十二寸相乗得一百零八寸。 又以長一百二十三寸再来。得一万三千二百八十四寸。書於原積之下。相減恰 尽。是知立方之高為九寸。其間為十二寸。其長為一百二十三寸也。 設如帯雨縦不同立方積一百三十二万八千二百五十尺其間比高多五尺。其長 五〇〇〇〇 五〇五五 二〇二二〇 一八五三三〇 八五三三〇 二五七七万 三一一一一 DIL 比関又多五尺問高闊長各幾何 法列積如聞立方法商之。其一百万尺為初商積。可商一百尺。乃以 一百尺書於原積一百万尺之上。而以所高之一百尺為初商之高。 加関比高多五尺。得一百零五尺。為初商之間。再加長比闊多五尺。 得一百一十尺。為初商之長。乃以初商之高一百尺。與初商之閲一 百零五尺相乗。得一万零五百尺。又以初商之長一百一十尺再乘 五〇〇〇〇〇〇〇 〇〇〇〇〇 ・・・・ 一一〇〇五五一〇〇〇 一一〇〇五五一〇〇〇 〇〇〇〇〇〇〇五 一一〇〇五五 得一百一十五萬五千尺。書於原積之下。相減餘一十七萬三千二 百五十尺為次商廉隅之共積。乃以初商之高一百尺與初商之閉 一百零五尺相乗得一万零五百尺。又以初高之高一百尺。與初高 之長一百一十尺相乗得一万一千五百五十尺三数相併。得三万 三千零五十尺為次商三方庫面積以降次高麗隅之共積一十七 万三千二百五十尺。不足一十尺僅足五尺。是次商為空位也乃書 一空於原積八千尺之上以存次高之位。復以所商五尺書於原積 空尺之上而以初高次商之高一百尺與初商次商之闊一百零五 尺初高次商之長一百一十尺相併。得三百一十五尺以三角之五 尺乗之。得一千五百七十五尺。為三両三長廉面積。又以三商五尺自乘。得二十 五尺。為三斎一小隅面積。合三方東三長康一小隅面積。共得三万四千六百五 十尺為鹿隅共法。以三商之五尺乗之。得一十七万三千二百五十尺。書於餘積 之下。相減恰尽。是知立方之高為一百零五尺。加国比高多五尺。得一百一十尺 為閲。又加長比閩多五尺。得一百一十五尺為長也。 帯縦和数立方 帶縱較數立方。其法已難。而帶縱和數立方。立法尤難。帶一縱立方。高間相等。惟長 不同。如以高長和或長間和為問者則以初高為為高卑円。而與和数相減。余為長。乃 以高興闔自来。以長再兼。為初商精。其或和数甚多而積甚少。按立方法商之。必至 大於原積者。則以和数除原絹得数約聞平方。可得幾數。取略大数以定初商。初商 減積有餘實者。其初商方積外。有二方庫一長康。成両面磬折體形。而初前之高興 閣。少一次萬。初高之長。多一次爾。救内少一方麁積。商除之法。則以初商之高興聞。 与初商之長相乗。倍之為二方廉面積。視餘背足右麁面積幾倍。取略大数以定次 郎。而以初商自乗次商再乘。得一方廉精。與餘實相加。始足次商二方廉一兵庫之 共積。故以次高興初高之長相減。餘為初商次商之共長。與初裔相参。倍之為二方 鹿面積。又以初商次商之共長與次商相乗為一長庫面積。合二方扉一長簾面積。 以次商乗之為二方廉一長廉之共積。所謂初高方積外成面両磬折体形是也。其 帯両縦相司立方。長関相等。惟高不同。如以高聞和武高長和為問者。則以初商為 高。興和數相減。餘為長興闘。乃以長興間自乗。以高再来。為初商積。其或和數甚多。 而積暮少。按立方法商之。必至大於原積者。則以和數自乗。除原積約足幾倍。取略 大数以定初商。初高減積有餘実者。初商方積外止一方庫。成一扁方體形。而初商 之高。少一次商。初高之長奥闊。各多一次高。故内少二方庫一長廉積。高除之法則 以初高之長與間自乗。為一方庫面積。視餘實足方鹿面積幾倍。取略大数以定次一 商。以次商與初高之長與閩相減餘為初商次商之長與関而與初商相乘次商再 乗。倍之得二方廉積。又以次商自乗。初商再乗。為一長庫積。合二方庫一長藤術。與 餘實相加。始足次商一方廉積。故以初商次商之長與國自乘。次商再乗。為一方廉 我所謂初商方積外成一扁方體形是也。其帶兩縦不同立方。興帶両縱相同立方。 同但帯両縦相同者其次商積為一正方。麁。帯両縦不同者。其次商積為。一長方麁 耳。異之定商皆以小於半和為準有時退商而反不足。進簡而反有餘。須合初高次 商以斟酌之。至次高以後。因有益積之法。故廉法亦不足憑。則又煩較量而増損之 可也 設如滞一縦立方積七百六十八尺。高圏相等。其長間和二十尺。問高関長谷幾何。 同 人畜二二二冊 長関和内。滅去初裔。所餘即長也。此法奥較数帶縦立方有加減之異。彼以所高 法列積如開立方法商之。其積七百六十八尺。可商九尺。則以九尺 為高興闘。奥長間和二十尺相減。余十一尺為長。即以高興関九尺 自乘。得八十一尺。又以長十一尺再乗。得八百九十一尺。大於原積。 乃退高八尺。書於原積八尺之上。而以所高八尺為高興。與長間 和二十尺相減。餘十二尺為長。即以高興閣八尺自乗得六十四尺。 又以長十二尺再乗。得七百六十八尺。書於原積之下。相減恰尽。是 知立方之高興関俱八尺長十二尺也。如図甲乙丙丁戊已長方体 形。容積七百六十八尺。其甲乙為高。丙丁為閲。丙丁為閲。甲乙乙丙 倶八尺。丙丁為十二尺。乙丙與丙丁共二十尺。即長國和。初商所得。御高與閲。於 之數與較數相加。此則以所高之數與和數相減也。 設如帯一殿立方積二千四百四十八尺。高円相等。其長闊和二十九尺。問高関長 各幾何。 〇〇 〇〇一 一二〇〇〇 二〇八・一八〇 二〇八・八・八 四〇四〇 四九五二三 〇二二〇 〇〇〇 一二〇〇 二八〇一八〇 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 四九五二七七 一)二一 法州積如開立方法商之。其二千尺為初商積可商十尺。乃以十尺 書於原積二千尺之上。而以所高十尺為初商之高興閲。與長闊和一 二十九尺相減餘十九尺為初商之長。即以初高之高興闘十尺自 乗得一百尺又以初商之長十九尺再乗得一千九百尺書於原積 之下相減餘五百四十八尺乃以初高之高興円十尺。奥初甫之長 十九尺相乗得一百九十尺倍之得三百八十尺以除餘積五百四一 十八尺。足一尺因仍蓋積。且初高之長。尚減去次商数。故取大数為 二尺。則以二尺書於原積八尺之上。而以初高十尺自乗。又以次商 二尺再乘得二百尺。奥餘積五百四十八尺相加。得七百四十八尺。 為次商二方康一長康之共積。乃以次商二尺。與初商之長十九尺 相減。餘十七尺。為初高次商之長。與初甫之高興闘十尺相乗。得一 百七十尺倍之得三百四十尺。為二方東面積。又以次商二尺。與初一 高衣高之長十七尺相乗得三十四尺。為一長廉面積。合二方廉一 一二二二二二 長簾面積。共三百七十四尺。以次商二尺乗之。得七百四十八尺。書 於餘積之下。相減恰尽。是知立方之高興閑俱十二尺。長十七尺也。 癸 第一章 同 共 甲巳 如図甲乙丙丁長方体形。甲乙高乙戌聞皆十二尺。戌丙長十七尺。 乙戌與戌丙共二十九尺即長閣和。其従一角所分己乙壬癸長方 体形已乙與乙庚皆十尺即初商數壬庚十九尺即長閣和内滅初 箇所餘之數。比戌丙多子王一段。即次商数。己乙壬癸長方積一千 九百尺即初商自乘又以初商與長閲和。相減之餘再乗之数比初 高原体積多丑寅壬癸一扁方体形。因初商積内多減去此精。故以 初商自桑。次高再乗而得丑寅王癸扁方體積與餘積相加即得申 已字庚丙丁両面磬折体形。其辰形已形為両方廉。其間十尺。即初 商数其長十七尺。即長園和内減初商次商之数。其厚皆二尺。即次 明商数午形為一長康。其長十七尺。與方廉同。其間與厚皆二尺。亦即 次商敷。合二方庫一長麗。共成一磬折體形。附於長方體之両面。而 成甲乙丙丁之総長方體積也。 或如帯一縦立方積九万九千九百五十四尺。高闊相等。其長関和一千二百四十 三尺問高関長各幾何 筆算四 法列積如開立方法商之。其九万九千尺為初爾積。可商四十尺。而 長閩和為一千二百四十三尺。按法相乗。過大於原積。爰以長闊和 一千二百四十三尺。除原積九万九千九百五十四尺足八十尺有 餘。以八十尺開平方。約足九尺。乃以九尺書於原積四尺之上。而以 所高九尺為高與間。與長圓和一千二百四十三尺相減。餘一千二 百三十四尺為長。即以高興関九尺自乗得八十一尺又以長一千 二百三十四尺再乗。得九万九千九百五十四尺書於原積之下。相 減恰尽。是知立方之高與関倶九尺長一千二百三十四尺也。此法 蓋因帯一縦甚多。高興悶甚少。其長園和比長所多無幾。故以長間 和除原積。即得高與閣自乘之一面積。而開平方所得。即高與聞。與 長閣和相減所餘即長也 設如帯雨縦相同立方積三百八十四尺。長間相等。其高円和十四尺。間高間長各 幾何 六四四四〇 八八七 三三万 法列積如開立方法商之。其積三百八十四尺。可高七尺。因欲得小 於半和之数。乃退商六尺。書於原積四尺之上。而以所高六尺為高。 與高間和十四尺相減餘八尺為長與閣。即以自乘得六十四尺又 八人間六四 以高六尺再来。得三百八十四尺。書於原積之下。相減恰尽。是知立一 方之高為六尺。長與閔皆八尺也。如図甲乙丙丁戊已扁方體形。容 積三百八十四尺。其甲乙為高。乙丙為閏。丙丁為長。甲乙六尺乙丙 與丙丁皆八尺甲乙與乙丙共十四尺。御高圓和。初商所得為高。於 高閏和内減去初商。所餘為関亦即長也。 設如帶雨縦相同立方積六千九百一十二尺長間相等。其高闊和三十六尺。問高 関長各幾何 二〇二〇二〇 一六五五〇五五〇 九七一一〇 〇六六万一一〇 六六六六六六六六六六 二二五二七一〇六六 法列積如聞立方法商之。其六千尺為初商積。可簡十尺。乃以十尺 書於原積六千尺之上。而以所高十尺為初商之高。與高闊和三十 六尺相減。余二十六尺。為初商之長與闥。即以自乘得六百七十六 尺。又以初南之高十尺再乗得六千七百六十尺。書於原積之下。相 減餘一百五十二尺。乃以初商之長與閩二十六尺自乘。得六百七 十六尺。以除餘積一百五十二尺。不足一尺。因仍並積。且初商之長。 與関内尚減去次商數。故取大數為三尺。書於原積二尺之上而以 同二万五千 次商二尺與初商之長與闊二十六尺相減。餘二十四尺為初商次 商之長興闊。與初高十尺相乘得二百四十尺以次高二尺再乘。得 伊東 巳 寅辰 庚 戊 四八一 ATS 四百八十尺。倍之得九百六十尺。為二方廉積。又以次商二尺自乗。 以初商十尺再乗。得四十尺。為一長廉積。合二方庫一長廉積。共一 千尺。與餘積一百五十二尺相加。得一千一百五十二尺為次商一 方簾積乃以初商次商之長。二十四尺自乘得五百七十六尺以次 商二尺再来。得一千一百五十二尺書於餘積之下。相減恰尽。是知 立方之高十二尺。長円皆二十四尺也。如図甲乙丙丁扁方體形。容 積六千九百一十二尺。甲乙高十二尺。甲戌長甲巳関俱二十四尺 甲已與甲乙共三十六尺御高閲和。其従一面所分庚乙癸子扁方 體形。庚乙十尺。即初商數庚丑與乙寅皆二十六尺。卽高闊和内減。 初商之數。庚丑比甲戌多庚卯一段。乙寅比甲巳多辰寅一段即次 高数庚乙癸子長方積六千七百六十尺即初高興高聞相相減之 餘數自乘。又以初商再乘之數比初商原體積多巳午二方廉積。未 一長康積因初高積内多減去此積。故以初高次商之長與閣。與初 高相乘。以次商再乘。倍之即得已午二方庫積。又以次商自乘。以初 商再乘。即得未一長廉積。興餘積相加加。即得甲庚辛壬丁戊扁方體 形。其甲戌長。甲巳闌。皆二十四尺。即高閏和内減初商次商之數。甲 庚厚二尺。即次高數。附於初尚扁方體之一面。而成甲乙丙丁之総扁方體積也。 三商以後。皆倣此辺折推之。 設如帯雨縦相同立方積三百九十六万八千零六十四尺長間相等。其高間和一 千尺問高間長各幾何。 法列積如開立方法商之。其三百万尺為初商積。可商一百尺。而高一 閩和為一千尺。按法相乗。過大於原積爰以高間和一千尺自来。得 一百万尺以除原積三百九十六万八千零六十四尺三尺三尺取略 大数為四尺。乃以四尺書於原積四尺之上。而以所高四尺為高。与 高闊和一千尺相減餘九百九十六尺為長與閩乃自乗。得九十九 万二千零一十六尺。又以高四尺再来。得三百九十六万八千零六 十四尺。書於厚積之下。相減恰尽。是知立方之高為四尺。長闊俱九 百九十六尺也。此法蓋因滞雨縦甚多。而高数甚少。其高闊和比原 長原閣。所多無幾。故以高関和自乗。得一面積以除原積。即得高。與 高闊和相減。所餘為閣。亦即長邊也。 設如帶両縦不同立方積四百八十尺。高闊和十四尺。高長和十六尺。間高間長各 幾何 SEES 六八一八・一〇 法列積如開立方法商之。其積四百八十尺。可高七尺。因欲得小於 半和之数。乃退商六尺。書於原積空尺之上。而以所商六尺為高。興 高円和十四尺相減。餘八尺為円。又以高六尺与高長和十六尺相 減餘千尺為長。即以高六尺與閣八尺相乘。得四十八尺。又以長十 尺再乗。得四百八十尺。書於原積之下。相減恰尽。是知立方之高為 六尺其間為八尺。其長為十尺也。如図甲乙丙丁戊巳長方體形。容 積四百八十尺。其甲乙為高六尺。乙丙為闊八尺甲巳為長十尺甲 巳與甲乙共十六尺即高長和。甲乙與乙丙共十四尺即高間和以 世の 初簡所得之高。與高闊和相減。所餘為闊。與高長和相減。所餘即長 設如帯雨縦不同立方積八千零六十四尺。高闊和三十六尺。高長和四十尺。問高 閣長各幾何 法列積如開立方法商之。其八千尺為初商積。可商二十尺。因欲得 小於半和之數。乃退高十尺。書於原積八千尺之上。而以所商十尺 為初商之高。與高闊和三十六尺相減。餘二十六尺為初商之閲。又 以初商之高十尺与高長和四十尺相減。余三十尺為初簡之長即 NTTEE 二つ 〇〇一 二二四〇 四四八 二四〇四四四 六・六八四四〇 〇八二〇三三〇 八八・一〇〇〇 四八二二回 四八二九八一七 三二九八七四 一四六三 以初高之高十尺。與初商之間二十六尺相乗得二百六十尺以初 商之長三十尺再乘。得七千八百尺。書於原積之下。相減餘二百六 十四尺。為一長方廉積。為厚印次商之数。其長與間比初商之長與 閩各少一次商之数乃以初商之長三十尺。奥初商之関二十六尺 相乗。得七百八十尺以除餘積二百六十四尺。不足一尺。因乃並積。 且初高之長間尚減去次商数。故取大数為二尺書於原積四尺之 上而以所高二尺。與初高之闊二十六尺相減。余二十四尺。為初高 次商之関。以所高二尺。興初簡之長三十尺相減。餘二十八尺。為初 高次商之長。御以初商次商之闊二十四尺與初商之高十尺相乗 得二百四十尺。又以初高次高之長二十八尺奥初高之高十尺相 乘得二百八十尺。兩數相併。得五百二十尺。以次商二尺乗之。得一 千零四十尺。為二方裏積。又以次高二尺自乗。得四尺以初裔十尺 再乗得四十尺。為一長庫積。其二方廉一長康補。共一千零八十尺 與餘積二百六十四尺相加。得一千三百四十四尺為次商一方廉 積。乃以次高初西之間二十四尺。與長二十八尺相乗。得六百七十 二尺。以次高二尺再乗得一千三百四十四尺書於餘積之下。相減 戊戌 甲庚乙 甲庚 丁 恰尽、是知立方之高十二尺。闊二十四尺。長二十八尺也如図甲乙 丙丁扁長方体形。容積八千零六十四尺甲乙高十二尺。甲戌長二 十八尺甲巳閏二十四尺甲乙與甲乙共三十六尺即高間和甲乙 奥甲戌共四十尺。即高長和。其従一面所分庚乙癸子扁長方体形。 庚乙十尺。御初裔数。庚丑三十尺。即高長和内減初有之數乙寅二 十六尺即高国和内滅初商之数庚丑比甲戌多庚卯一気乙寅比 甲巳多辰寅一段。即次商数庚乙癸子長多積七千八百尺。即初甫 之長興初甫之国相乗又以初前之高再来之数此原長原間多巳 午二方康精。未一長康積。田初高積内多減去此積。故以初簡次商 之長異初商之高相来以初商次商之図。奥初商之高相乗。両数相 併。以次商再乗。即得巳午二方廉積。又以次高自乗。以初簡之高耳 乗即得来一長廉様興餘積相加加御得甲鹿辛王丁戌一扁長方麗 形其甲巳期二十四尺即高間和内滅初尚次商之数甲戌長二十 八尺即高長和内減初高次高之数。甲庚厚二尺。即次甫数。附於初 肩扁長方体之一面。而成二甲乙丙丁之総扁長方體積也。三高以後。 皆倣此遅析推之。 設如帯両縦不同立方積一十七万二千六百九十二尺高間和一百二十九尺。高 長和二百四十尺。問高間長各幾何。 六二二〇 九九一〇 一六六一〇 二二二〇 一一 二太三尺 一法列積如聞立方法商之。其一十七万二千尺為初商積。可簡五十 尺。而長即為一百九十尺。関即為七十九尺。按法相乗。過大於原積。 爰以高闊和一百二十九尺与高長和二百四十尺相乗得三万零 八百六十尺。以除原積一十七万二千六百九十二尺。足五尺。取略 大之数為六尺。乃以六尺書於原積二尺之上。而以所高六尺為高。 與高闊和一百二十九尺相減。餘一百二十三尺為聞。又以高六尺 與高長和二百四十尺相減ノ餘二百三十四尺為長即以閣一百二 十三尺。與長二百三十四尺相乗得二万八千七百八十二尺。又以 高六尺再乗。得一十七万二千六百九十二尺。書於原積之下。相減 恰尽。是知立方之高為六尺。闊為一百二十三尺。長為二百三十四 尺也。此法蓋因帯雨縦甚多。而高数甚少。其高闊和。比原闕所多無 幾高長和比原長所多亦無幾故以高関和與高長和相乗。得一面 積。以除原積。即得高。與高閣和相減所餘為円。奥高長和相減。所餘。 即長也 中西算学大成巻二十二 筆算五 諸乗方 表 諸 表法康方承諾 元 商除 平方 嘉善陳維棋纂 立方 四乗方 五乗方 六乗方 七乗方 一造表法。併上層左右二数。即 下層中一数論積数。則自 左而右。第一斜行為方積。第一 三乗方 二斜行以下為諸廉自大而 小之積。末行為隅積。論廉 一隅共法。則自右而左。第一斜一 一行為小隅。第二斜行為長廉。 第三斜行為平廉。第四斜行 一為立廉。第五斜行以下。廉率 毎增一等。末為大方。今図自一 単一至七乗方為止。八乗以 下類推。 間平立方之術。前巻論之詳矣。平立方之外。又有所謂三乗方。西乗方立乗方必至 多乗方者。廉法有多少之不同。開法亦難易之廻別。原其總理。立方為平方加一乗 之数。三乗方為立方加一乗之数。四乗方又為三乗方加一乗之数。平方以方辺自 辛丑重校 乘。有二長廉。立方以方邊自乘再乘。則有三平應二長廉。三乘方以方豈自乘再自 毎多一乗 乘。故有四方廉六平廉。四長廉。 乗數愈多。則廉法亦愈繁。初商之後若盡 則多一鹿 如聞立方法。求得次商麁隅共積。再視初商減餘之實。足減此共積與石。始定火商 之実数則其法之煩難。将有不可勝言者。今将平方以至七乗諸正方俱立一専法 在平方立方所省不多。而三乗方以後則甚為簡捷。至於諸来方中。亦有可以用平 方立方之法代開者。如三乗方與平方自乗之数等。故可以平方両次開之。五乗方 與平方自乗再来之数等。亦與立方自乗之数等。故可以平方開之。纏以立方開之。 七乗方與平方両次自乗之数等。故可以平方三次開之。八乗方與立方自乗再乗 之數等。故可以立方両次聞之。九乗方与四乗方自乗之数等。故可以平方開之。纔 以四乗方開之。惟四乗方及六乗方与平方立方之数皆不相合。故不可以平方立 諸乗方有滞縦者須用歩 方之法代開也、 法詳天元術開方説中 設有積一萬五千一百二十九尺。問關平方。得幾何。 法。列積一万五千一百二十九尺。自末位起算。母積二位定方根一位。故隔一位 作記乃於九尺上定単位一百尺上定十位。一万尺上定百位。其一万尺為初商 積興一百自乗之数相合。即定初商為一百尺。書於方積一万尺之上而以初商 一百疋自乗之一万尺書於初商積之下。相減恰尽。爰以方邊第二位積五千一 百尺。請書於後為次商麁隅共積。而以初商之一百尺倍之。得二 三)九 九九〇 二二〇 一四七一〇 五四〇五〇 一〇二〇二〇二〇 百尺。為次商廉法。以除次商積。足二十倍。即定次簡為二十尺書 於方積一百尺之上合初商共一百二十尺自乘得一萬四千四千四 百尺。與原積相減。餘七百尺。爰以方邊第三位積二十九尺縮書 於後共七百二十九尺為三商庫隅共積。而以初高次商之一百 二十尺倍之得二百四十尺。為三商庫法。以除三商積足三倍。即定三商為三尺 書於方積九尺之上。合初商次商共一百二十三尺。自乗得一万五千一百二十 九尺與原積相減恰尽。是開得一百二十三尺為平方之根也此法止用雇法除 餘積得次萬。即併初高數自乗。得數。復與原積相減。興常法不同。然自三乗方以 至多乗方。則康法條例甚繁。難於有算。用此法甚為有便在平方立方不覚其省 而在多乗方所省実多故各設一例以備体也 設有積四千一百零六万三千六百二十五尺。問開立方得幾何。 五五 二 五五〇 二二〇 法列積四千一百零六万三千六百二十五尺自末位起算毎 六 六六〇 三三四九三〇 六六〇五六〇 一〇三七〇 三)一七四九一一、 四二一三〇四〇 積三位定方邊一位。故隔二位作記。乃於五尺上定単位。三千 尺上定十位。一百万尺上定百位。其四千一百万尺為初商積 與三百自乘再乘之數相準。即定初商為三百尺書於方積一 筆算五 百万尺之上。上而以三百尺自乗再乗之二千七百万尺。書於初商積之下。相減餘 一千四百万尺。爰以方辺第二位余積六万三千尺続書於後共一千四百零六 万三千尺。為次商麁隅共積。而以初商之三百尺自乘得九万尺。三因之。得二十 七万尺為次商庫法。以除次商積足四十倍即定次商為四十尺。書於方積三千 尺之上合初商共三百四十尺自乘再乗得三千九百三十万四千尺奥原積相 減餘一百七十五万九千尺。爰以方邊第三位餘積六百二十五尺続書於後共 一百七十五万九千六百二十五尺為三商鹿隅共積而以初商次商之三百四 十尺自乗得一十一万五千六百尺三因之得三十四万六千八百尺為三商庫 法以除三商積。足五倍即定三商為五尺。書於方積五尺之上合初商次商共三 百四十五尺。自桑再乗得四千一百零六万三千六百二十五尺。與原積相減恰 尽是開得三百四十五尺為立方之根也 設有積一千零三十三億五千五百一十七万七千一百二十一尺問聞三乗方得 幾何 法列積一千零三十三億五千五百一十七万七千一百二十一尺自木位起算 毎方積四位定方邊一位故隔三位作記乃於一尺上定単位七万尺上定十位 三億尺上定百位其一千零三十三億尺為初高積。與五百乗三次之数相準即 七一 六七 三二 定初商為五百疋書於方積三億尺之上而以五百尺乗三次 之六百二十五億尺。書於初高積之下。相減餘四百零八億尺一 爰以方漫第二位積五千五百一十七万尺続書於後共四百一 零八億五千五百一十七万尺為次商庫隅共積而以初商之 三乗方有四再 五百尺乗二次得一億二千五百万尺四因之 乗廉故下同〇 一得五億尺。為次商兼法。以除次高積。足八十倍。因定次商為八 十尺。合初商共五百八十尺。乘三次得一千一百三十一億六 千四百九十六万尺大於原積乃改商七十尺按法相乗仍大於原積又改商六 十尺。合初商共五百六十尺。乗三次得九百八十三億四千四百九十六万尺小 於原積可減也。乃定次商為六十疋書於方ノ積七万尺之上。而以九百八十三億 四千四百九十六尺。奥原積相減餘五十億一千零二十一万尺。爰以方辺第三 位積七千一百二十一尺続書於後共五十億一千零二十一万七千一百二十 一尺為三万廉隅共。而以初斎次商之五百六十尺。桑二次得一億七千五百 六十一万六千尺四国之得七億零二百四十六万四千尺。為三高廉法。以除三 商積。足七倍。即定三商為七尺書於方積一尺之上。合初商次商共五百六十七 尺乗三次得一千零三十三億五千五百一十七万七千一百二十一尺與原積 ーO三三五五一七七一二二 七九 六四 一相減恰尽。是開得五百六十七尺為三乗方之根也。 又法以原積一千零三十三億五千五百一十七万七千一百 二十一尺間平方。得三十二万一千四百八十九尺。須関平方 得五百六十七尺。即三乗方之根也。 設有積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七万八千一百二十五尺問闢 四乗方得幾何 五五 法列積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七万八千 一百二十五尺。自木位起算。毎方積五位。定方根一位故隔四 位作記乃於五尺上定単位。九十万尺上定十位空百億尺上 六 九六三九 九七二九 七二九〇 定百位其二百六十二兆尺為初高積與七百乗四次之数相 四三一四〇 五五〇五〇 準。即定初商為七百尺。書於方積空百億尺之上。而以七百尺 三二一三〇 〇七 七〇七三五五〇 〇〇九五四〇〇 一八三三八二〇 六六九五六〇 乗四次之一百六十八兆零七百億尺。書於初商積之下。相減 餘九十三兆九千三百億尺。爰以方邊第二位餘積三十五億 二〇二〇二〇二〇 億四千九百九十万尺為次高廉四千九百九十万円 百零一億尺五因之 四乗方有五二 乗簾故下同 四千九百九十万尺。続書於後。共九十三兆九千三百三十五 万尺為次高廉隅其積。而以初商之七百尺乗三次得二千四 得一兆二千零五億尺。為次商庫法。以除次 乗廉故下同 高積。足七十倍。固定次商為七十尺。合初商共七百七十尺。乗四次得二百七十 兆六千七百八十四億一千五百七十萬尺大於原積。乃改商六十尺。合初商共一 七百六十尺乗四次得二百五十三兆五千五百二十五億三千七百六十万尺 小於原積可減也。乃定次商為六十尺書於方積九十万尺之上。而以二百五十 三兆五千五百二十五億三千七百六十万尺。與原積相減。餘八兆四千五百一 千億一千二百三十万尺。爰以方辺第三位餘積七万八千一百二十五尺続書 於後共八兆四千五百一十億一千二百三十七万八千一百二十五尺為三両 廉隅共積而以初商次商之七百六十尺。乗三次得三千三百三十六億二千一 百七十六万尺五因之得一兆六千六百八十一億零八百八十万尺為三両原 法。以除三商積。足五倍。即定三商為五尺。書於方積五尺之。上合初商次商共七 百六千五尺。尺乗四次得二百六十二兆零三千五億四千九百九十七万八千一 百二十五尺。與原積相減恰尽。是開得七百六十五尺。為四乗方辺之根也。 又用表開法。列積二百六十二兆零三十五億四千九百九十七万八千一百二 十五尺。自本位起算。隔四位作記。定位同前。乃截方邊第二位以前積二六二〇 〇三五四九九為初高次商之。於表中取比此数相近略小之数為二五三五 即初商次商 五二五三七六 其所対初商根為七次商根為六。即将七六書於初 乗四次之数 商次爾之仙而以二五三五五二五三七六。書於初商次商積之下。相減餘八四 五一〇一二三乃以二五三五五二五三七六格内三万円法一六六八一〇八 八。除餘積八四五一〇一二三。足五倍。即定三間為五書於三箇之。仕合初商次 商共七百六十五。乗四次得二百六十二兆零三十五億四千九百九十七万八 千一百二十五尺。與原積相減恰尽。即定四乗方根為七百六十五尺也。 設有積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九万零六百二 十五尺問開五乗方。得幾何。 五五 六 五五〇 法列積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十 二二〇 六六 九万零六百二十五尺。自末位起算。毎方積六位。定方辺一位。故隔 ○o 九九〇 三三〇 七五五九六五〇 二三三九二〇 〇〇九〇〇 一四六一〇 一一四六一〇 〇〇〇〇〇 三三〇二三〇 九)八二七二六八 六四二七九六〇 〇四六九〇〇 九二七二六九〇 五三二三二五〇 八五三八〇八一〇 五位作記。乃於五尺上定單位。五百万尺上定十位八兆尺上定百 位其八十五京九千零六十八兆尺為初高積。興九百乗五次之数 相準。即定初商為九百尺。書於方積八兆尺之上。而以九百尺乗五 次之五十三京一千四百四十一尺。書於初商積之下。相減餘三十 二京七千六百二十七兆尺爰以方根第二位積三千零一十億二 千五百万尺。続書於後共三十二京七千六百二十七兆三千零一 十億二千五百万尺。為次商庫隅共積。而以初商之九百尺。乗四次 五乗方有六四 得五百九十兆四千九百億尺六因之。 乗廉故下同 得三千五百四十二兆九 千四百億尺。為次商廉法。以除次高積。足八十億円定次商為八十尺。按法相棄。 大於原積。乃改角七一尺。書於方積五百万尺之上。合初商共九肩七十尺乗五 次得八十三京二千九百七十二兆零四十九億二千九百万尺。奥原積相減餘 二京六千零九十六兆二千九百六十億九千六百万尺爰以方根第三位積三 十九万零六百二十五尺続書於後共二京六千零九十六兆二千九百六十億 九千六百三十九万零六百二十五尺。為三商廉隅共積。而以初商次商之九百 七十尺。東四次得八百五十八兆七千三百四十億二千五百七十万尺六円之 得五千一百五十二兆四千零四十一億五千四百二十万尺為三商庫法以除 三酉積。足五倍即定三両為五尺。書於方積五尺之上。上合初簡次商共九百七十 五。尺乗五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九万 零六百二十五尺。奥原積相減恰尽。是開得九百七十五尺為五乗方之根也。 又法以原積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九万零 六百二十五尺開平方。得九億二千六百八十五万九千三百七十五尺。就以為 積関立方得九百七十五尺即五乗方之根也。 又用表関法。列積八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百三十九 五五 七六 三九 九〇五 五〇〇 ◇ 万零六百二十五尺。自末位起算。隔五位作記定位同前。乃截方根 第二位以前積八五九〇六八三〇一〇二五為初高次商之積。於 表申取比此数相近略小之数為八三二九七二〇〇四九二九州 商次商乗 五次之数 其所対初商根為九。次商根為七。即将九七書於初商次 商之位而以八三二九七二〇〇四九二九書於初商次商積之下。 六〇八 相減餘二六〇九六二九六〇九六乃以八三二九七二〇〇四九 二)。 九五 二九格内三商廉法五一五二四〇四一五四。除除餘積二六〇九六 二九六〇九六足五倍。即定三商為五。書於三商之位。合初商次商 共九百七十五乗五次得八十五京九千零六十八兆三千零一十億二千五百 三十九万零六百二十五尺。與原積相減恰尽。即定五乗方根為九百七十五尺 也。 設有積三垓二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五 百九十万零九百二十八尺。問開六乗方。得幾何。 法列積三垓二千五百八十九京四千五百九十兆二千五百二十三億九千五 百九十万零九百二十八尺。自末位起算。毎方積七位定方根一位。故隔六位作 記乃於八尺上定單位九千万尺上定十位。五百兆尺上定百位。其三銭二千五 二ン八 九 二三〇 九九〇 ○○ 〇〇 九九〇 五五〇 百八十九京四千五百兆尺為初万積。與八百乗六次之数相準。即一 定初商為八百尺。書於方積五百兆尺之上。而以八百尺乗六次之 二域零九百七十一京五千二百兆尺。乃書於初商積之下。相減餘 五・九九五四九〇 三三二一三〇 二二一二〇 五五八七五〇 エ二九二〇 一垓一千六百一十七京九千三百兆尺。受以方根第二位積九十 九兆二千五百二十三億九千万尺続書於後共一域一千六百一 九九八〇九〇 九九八〇九〇 九九八一九 五二三〇五五〇 四五九七七四〇 九一七七一九〇 十七京九千三百九十九兆二千五百二十三億九千万尺為次商 庫隅共積。而以初高之八百尺乗五次得二十六京二千一百四十 八七一五三八〇 五九六〇五五〇 六乗方有七五 四兆尺七因之 乗廉故下同 同十二年五時一百八十三京五千零八兆尺為 二〇一二〇二〇 三二・三〇三〇 旨次商廉法。以除次商積。足六十倍。因定次商為六十尺。按法相乘大 於原積。乃改商五十尺。書於方積九千万尺之上合初荷共八百五十尺。桑六次 得三抜二千零相減余五百五十七京七千零八十八兆二千八百一十二億五 千万尺與原積根第三位積三十一京七千五百一十兆九千七百一十一億四 千万尺爰以方百一十兆九五百九十万零九百二十八尺続書於後其五百三 十一京七千五其積而以初千七百一十一億四千五百九十万零九百二十八 尺。為三商麻隅干一百五十商次商之八百五十尺。乗五次得三十七京七千一 百四十九兆五六億二千五百万尺。七因之得二百六十四京零四十六兆六千 零九十三億七千五百万尺。為三商庫法。以除三商積。足二倍。即定三箇為二尺。 書於方積八尺。之上。合初商次商共八百五十二尺。乗六次得三銭二千五百八 十九京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十万零九百二十 八尺興原積相減恰尽是開得八百五十二尺為六乗方之根也 又用表関法・列積三域二千五百八十九京四千五百九十九兆二千五百二十 三億九千五百九十万零九百二十八尺。自末位起等。隔六位作記。定位同前厚 蔵方根第二位以前積三二五八九四五九九二五二三九為初商次商之構於 表中取比此數相近畧小之數。為三二〇五七七〇八八二八一二五 数其所対初前根為八。次商根為五。即將八五書於初簡次商之位。而以三二〇 五七七〇八八二八一二五書於初商次商積之下。相減餘立三一七五一〇九 七一一四。乃以三二〇五七七〇八八二八一二五拾内三商庫法二六四〇〇 四六六〇九三七。除余積五三一七五一〇九七一一四。足二倍。即定三商為二 書於三商之位。合初商次商共八百五十二尺。乗六次得三銭二千五百八十九 京四千五百九十九兆二千五百二十三億九千五百九十万零九百二十八尺 即初商次 商乗六次 與原積相減恰尽即定六乗方根為八百五十二尺也 設有積六百三十八銭五千一ッ百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億 九千零一十九万三千一百二十一尺。問開七乗方。得幾何。 法列積六百三十八銭五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三 億九千零一十九萬三千一百二十一尺。自末位起算。毎方積八位。定方根一仙 故隔七位作記。乃於一尺上定単位。三億尺上定十位。二京尺上定百位。其六百 三十八境五千一百三十二京尺為初商積。與七百乗七次之数相準。即定初簡 三三〇 九九〇 一一一〇 〇〇〇〇 九九〇 三三三三〇 八八八一〇 三三三〇 三三三〇 二二二〇 〇〇〇〇 七)二一二〇 三二一二〇 三〇三三〇 一八三一〇 五四〇五〇 八六二八〇 三七六三〇 三七六三〇 六五〇六〇 六五〇六〇 為七百尺書於方積二京尺之上而以七百尺乗七次之五百七十 六境四千八百零一京尺。書於初裔積之下。相減餘六十二後零三 百三十一京尺。爰以方根第二位積二百三十三兆九千三百八十 三億尺。續書於後。共六十二垓零三百三十一京零二百三十三兆 九千三百八十三億尺。為次商庫隅共積而以初商之七百尺乗六 次得八千二百三十五京四千三百兆尺八因之は 七乗方有八 得六 六乗廉故 坂五千八百八十三京四千四百兆尺為次高廉法。以除次商積足 九倍。止可商九尺。是次商為空位也。乃書一空於方積三億尺之上。 而以九尺書於方積一尺之上合初商次商共七百零九尺。桑七次 得六百三十八錢五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百 八十三億九千零一十九万三千一百二十一尺與原積相減恰尽。是開得七百 零九尺為七乗方之根也 一一一一一 六一八七〇六 七〇九六〇八七〇〇 文法以原積六百三十八才五千一百三十二京零二百三十三兆 九千三百八十三億九千零一十九万三千一百二十一尺開平方 得二千五百二十六億八千八百一十八万七千七百六十一尺就 以為積。復開平方。得五十万二千六百八十一尺。又以為積。復開平 方。得七百零九尺即七乗方之根也 三八三。足九倍。即定三爾為九。書於三商之位。合初面次商共七百零九尺乗七 数 又用表開法。列積六百三十八銭五千一百三十二京零二百三十 三兆九千三百八十三億九千零一十九万三千一百二十一尺自 末位起算。隔七位作記定位同前。乃截方根第二位以前積六三八 五一三二〇二三三九三八三為初商次商之積。於表中取比此数 。即初商次 相近略小之數為五七六四八〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇 商乗七次 数其所対初商根為七。次商根為○。即将七〇書於初商水商之位。 而以五七六四八〇一〇〇〇〇〇〇〇〇〇。書於初酉衣酉積之下。相減餘六二 〇三三一〇二三三九三八三乃以五七六四八〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇 三高庫法六五八八三四四〇〇〇〇〇〇〇。降餘積六二〇三三一〇二三三九 次得六百三十八域五千一百三十二京零二百三十三兆九千三百八十三億 九千零一十九万三千一百二十一尺與原積相減恰尽即定七乗方根為七百 零九尺也 諸乗方表 凡表上横行所列自一至九之数為初商根直行所列自○至九之数為次商根 一同断同所同郡一行第三格上層一 其中每格所列細數二層。上層為初商次商積 七二八即方根一二自乗再乗之 数條 下層為三商廉法 休此 下層為三商廉去併初次商数度次連来至本乗方数減一為止再以本衆 方数加一即廉法表本乗方首廉率数乗之蔵去末位即 得如立方表第一行第三格下層四三乃合初次商之一二自乗一次而以立方 首屋数三来之得四三二百数之七三乃合初次商之一二自集一次両以立方 首庫数三来之、保四三二而截去来位二以為鹿法也用慮法除法除積子賣斎契。 数三来之。保四三二而截去未位二以為庫法也用廉法除余積得続商與 本巻専法同、所不同者、截去廉法末位而已蓋専法得初次商之後将減徐寶并 入三商余積為庫隅共積、満廉。法即定単位不満即定空位捷法則祇用初交商 減餘積而廉法根既較本乗方少一乗其尾位必降至初次亦 餘積之下一位。故蔵去不用、使法實尾列同等定位乃不誤也。 旧表列至九乗方為止今按数至六七乗方。乗除極繁八乗以上為用既少。亦 非表所能備載且八乗正方可以立方両次開之。九乗正方。可先開平方。再以 四乗方開之較用表尤為箱視故今来列至七乗方為止以省繁視表列於後一 立方表 ○一二三四五六七八九 〇〇一六八三七〇四八五七六六三六二七九八 一〇三三三二四九五四五七一八三九五〇一 一一二二四四四五六 〇〇一二八五七八四二五七六二三八二五九一 ○二六三四四六五二七二八七八五 一〇一二二六一二八一六二九二三二一 一八九一〇一一一一九二 一一一一 三 〇〇八八七七六四六五七六八二〇二三九六 一七九八六〇三二〇四七六五八五一七三一五 ○二七二七九九九九一九九 同二七二七三九三三八三六三六四八四三四 七九二五九二六〇四九 二二三三四四五五五五 四 一四八九七〇四〇四〇五七六四三二二一九〇 一八二〇五八八二〇三三二六九九四二 四九五一五一五一五一六一一六七一五六六七 同八百九五一七三〇七 六六七七八九九一一一 五 〇〇一〇八一七二四五七六〇二四二四二九一九一九一九四 一〇五五八一〇一四九七一四九七一〇七四 ○七六七六八八八四八三九六九一九一九一九一九一九一九一 一五五五五五五 一月三日廿五日 二三四四五六七八九〇一 11111 十 〇二六八三七〇四八五七六六六二六二七九八 ○八八二二五四九四二二六九六四三八〇二一 〇〇九一三一〇二一二六二四三七三四三五四 六一六一八一〇二二一四一七二〇二四二八二 一三五六七八〇二 二二二二二二二二二三 七 〇〇一一八五七八一四二二八二五九二一 〇七一一四五一九二四七八七三三七五二三七 〇四九五二五〇五二六八六九七五七五八〇八 一六八六八六八六八六八六八六八六八六八六八六八六八六八 三一九九五五一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 四五七八二 三三三三四四四四四四四 八 〇〇八一八七六四六五七六八三〇二三九六一 〇一四六一八六〇一二六五二〇七七二六七 〇九四九三〇七〇七一一一〇二五二四三九三一 二二一二二二二四二六二一二四二 一三五九一三五八〇 五五五五五六六六六七 九 〇〇一四八九七四四五七六四二二二二一九〇一 〇三七八八三五九八五七〇三六七二九八九四一 ○四五四六五三五五六三七七七六八一八二九一 九二三二八三四二〇三七二四二一二二一二一二 九二三二八二四二〇三七二四二二二一二一二 〃〃〃〃〃〃〃〃〃 七七七八八八九九七 筆算五 八 〇〇六二九七〇四九三二五五九八六一一 九 一二五三六三八三四三九三五三二三〇三 筆算五 七 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 十 五 六二五〇〇〇〇 七八九〇四八一 七八九〇四八一 五九五五〇 一三〇五六 五〇三〇五六 0十二五 } 一五〇〇〇〇 一八二五七六 二七五六 } 九二三五二・ ○四八五七六{ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 二九六三五 四月一日 一四一八〇 三四一八〇 一八五九二一 二一八〇 三七四八〇九 三七四八〇 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 三三六三三六 一九四四八一 三七〇四 二七〇四 二三四ニ五分 二三四二五六 四二五九 七九八四一 七九八四一 四八六才 四八六六 ニー七七六 三四〇七三 IOOPE 四一〇〇・〇 一五〇〇、二五 四四七七 三六四五〇 2四七七四五六 四四七七四五六 六七九六一六 三八九三四 男八七九六八一一 四八七九六八 一八六十一 八七四一六一 一二二 三九〇六二五 六二五〇 四五六九七六 四五六九七六 一四一一四一 四一五二 五三〇八四一六 五三〇八四一 一二〇二六一 二0八五一三六 二0八五一三六 五七六四八、 一五七五 二一九四八 三一三四四一 ニ三七二七 九七五五 二0七三六 二〇七三号 六九 二八五六一 二八五六一 二八五六 八十八 三八四一六 三八四一六 一〇九七 五〇六二五 五0六二五 五〇六ニ一 一三五〇 二五〇 六五五三六 六五五三六 八三五ニ一 一〇四九七六 一三〇五二一 二七四三 〇一二三四五六七八九 三乗方表 中西算学大成 四乗方表 ○一二三四五六七八九 〇〇一〇二八三〇四八五二六八七〇八八九〇 ○五二三六九八二〇七一七六五六六八九六 〇〇〇三八三二二八二三五七八、七五四〇一 〇五一七八〇一四七九九五八二九一九二六五 〇六四一七一三一五二四三一四八五七六 一二三五七〇四八四 二 〇〇一〇二八三〇四八五二六八七〇八八九〇 〇〇〇四三二四二二八二一七八〇二六二四四 ○○一二六一三九六八六三四九七三三一六 〇〇四七三七六九二五五五一八八五〇七一三 〇八八九五一三三六六六九八二四六一〇一五 二〇一四一九一七一八二三二二二二三五三 二四五六七九一四七〇 三 〇〇一一〇二八三〇四八五二六八七〇八八九〇 〇〇五六二八九六二六七一七〇五八六六九二 〇〇一七四二三九四一八三一八九〇一五一七 ○五九一四四五二五八一〇六九三七五二四六一 〇〇二六五三九三六二五六三四二五六三四二五 三四六四五五一五四六五七四八三九二〇二一 四八三九五二〇九一一 四八三九九九九九一九九九九九九九六九一 〃三三四五六六七九 四 〇〇〇八三四四〇二四二一七二〇四六〇四六〇 〇〇二八二八四四二〇一三九七〇八九二二四 ○○六二一五八九六四八〇二八五九三四五二 ○八五一九五〇〇一七二五六三四三〇五七八一 四二八四六五〇七九八五〇九二三四八六四八一 二一五一〇二七一四一四二五二九二四二二二二 ○一三四六八〇二五八 同一同三 五 一九五一二八九一八八九 ○○五○三〇九四二二七一七四五〇六四九八 ○○二、六〇八四二〇五三三七二〇〇七二二六 ○五五二四五五五五一四五一七二八六八四八 〇二二八〇五九四六五八七三一九七五五二五 五一〇三二六一九一二二五七九六二三六九〇 二三五三〇三八三九四三四 三三三四四五五六六七 六 〇〇一〇二八三〇四八五二六八七〇八八九〇一 〇〇〇二三六四八二〇二一七六六六八四六 ○○三九八一五四八六六三五三一五五六三五 〇〇六二二八六六一八〇五二七五五五二 ○八九二三八三七四八九二三八二七三九三三 六四五九一三四八七三二九三四一〇九六〇三一 七六四六六七二七三八〇八二九〇〇三〇四一 筆算五 七 〇〇一〇二八三〇四八五二六八七〇八八九〇一 〇〇五四三二九二二八七一七八五二六二九四 ○○三八六九五一六二八三三〇一五二五三五三〇 ○五九五七六一九六三六〇五一四六四七六五 〇〇二〇一三七九〇九四二二八八七七〇五七 七〇二七九四〇二〇九〇八五六七五一五〇四 〇二四二四三三四九四三五五六六七七八七九 八一〇一三一七一一七一三一一一一一七一 六八九〇二三五七八〇 一二二二二二二二 〇〇一〇二八三〇四八五二六八七〇八八九〇 〇〇〇六三八四六二六二七〇八六六四二 〇〇四三四〇六一四五一三一四二八一七四一 〇〇四三八六〇九九三三〇九四九四九四九一 〇八八二九〇四二一九五〇七五〇四一八五七 八四七五三六〇七一八〇一二三二六三九〇三 八四七五三六〇七一八〇一二三二六三九〇三 六〇六一七二九三二四七六四七四八七九四一 七二八二〇二三二八二三二〇二八二七二八三 三三三三四四四四五五一 九 〇〇一〇二八三〇四八五二六八七〇八八九〇 〇〇五八三四九〇二四七一七二五四六〇九〇 ○○四四二六六六二四二三九三二六九四四八 〇五一七五九三二〇七九五六七〇四七八〇九 〇〇二八一一八〇四三〇二二六四六〇一〇二 九八三二八八八四〇〇八七七四三二二一九〇 四二〇四〇五六七九九七〇三二七四九六九八 ○三四三九三五三三三四五四八四三四 九二五九三七五五 一五六七七八九九 五六六六七七八八九九 五乗方表 四八二六八〇九 ○二三四五六七八九 一〇四五九五六四五六五九四四〇 一一一四四五八七七八七七八一〇四一一 二 一九九一一九九九九九九九九九九九九九九九九九九九九九 筆算五 四 一〇一〇四九九五六四五五六五九四四〇一九 〇〇四二四三四六五三二七九八二〇六八〇〇 〇二七七七七七七七〇〇八七六八七三〇四三二一 一四三一四二五三九五六六七五七〇二七五 一〇四一一一六〇一四六一九七一〇九八八八八 〇四一五〇四三二三九七七二五一六五八二四 六一〇九九八一八六八二〇四三九七〇二一九 九六五六八七二八五九〇一七二七二三五四六 一九二二一四一七一二一一一一一七一一 四四五六七八九〇二三一 五 一〇四九九五六四五五六五九四四〇一九 〇〇〇五六一二九九一二二五六四七 一六四一二二二〇六六四〇六五 〇〇七五九二一七一九九七五二四二四 〇〇八一〇二六一一九四七七三四九一三五 〇五二〇六一三九九四六九九四四〇六八五九 五七六七〇八四〇四五〇一〇 二八九〇七二六五九七八〇四三九六六九八二一 六一五二七二一二七二六二八三二三〇三一四 同一二二七二一二七二七二 十 〇〇一〇四九五六五九四四九五九四四九四四 〇〇六八八九〇二三九七四六六二 〇〇三七五六二九七〇六三〇五一〇六一 〇〇四七五九二一六五〇四〇九二五二五二〇 〇六七五三七〇六七四九七五九八七八六七一 〇五三七二六五四四二八一九三三四四 六六〇六〇九三五九四八六二八〇七二八 五六二〇〇四二九一四一九五五五五一六七 六四五五八五五五七六四六六七四八八八八九九 四五五六六七八九九〇一 七 〇四九九五六四五五六五九四九四 ○アレ二七八五七七二七二二七二二七二二七二二七二二七二 〇〇三一九一九六一五二九一五二九一五二〇四七六 一、二五八八五〇〇 二八五六五一四九〇〇四五三 一四九一一四九〇一一一四九〇一一一一一一、一一一一一一二一 一九四五八九九九九三 一四二六一四一九二四九九二四九九一二 一九一九二七九二二九二 一一二二三九四六五四七五 一四一七一二一一一七一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一二六七九〇〇 一一七九〇二四 八 一九四五五六四五五六五九四五九四五九四五五六五九 一一四二五六八五二七三〇 一四六四〇三六六六六六六六六六六六六 一九二一一九三四一一五九六 一一一五一五一五一五一五一五一五一五一五一五一五一五一五 一三七七三七七二三七七二三七一二三七一二三七一二三七一二 一五二五二五二五二五二五 一九九二七二八九九二七二六〇 一二九〇二四六九〇四六九〇 一一九二一九三二五六九九 一四二六一一二七一一二一二七一四二 一五七〇三〇三四三四 二三三三三町町 九 〇四九九五七四五九四四九九 一四二四五三九九九九九九 一九一一一六六六六一九一九一一一九一九 〇〇五九六四〇五九六四〇 一四五八八八八八八九一九八一九九一九一一一 一六六六七四六七〇里三 一一二九一一二七二一二七二一二一二一二七二一二一二一二一二 四四六四五七七七七七七二二二二二二二二二二二二二二二二二二 一四四五九七六九七六九七九七五五九七九 四五八七三九九一八四〇六七九一八四九 一九六七八九九九六七八九 一六二六四九四五四四四四五五五五五五 五五二八 五五六六六七七七一 一筆算五 二 一九二九九九九九一一一九一、一、九 四 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 一一一八畝三反弐畝九反六畝松林村村村太太 一九二九三三三五六 〇〇一〇八四七五七六九三四二 一九九三四五七七七七七七七七六一〇六七一 〇〇七一六九二九七四一九五三三七四四二 五 一〇五六四七四二四二四八六四五一〇四三一 一九九一一九九六七六 六 一一六四五一六四五六六一七七七六八一七七六八一七七六一一七 一九二六一九八三八八二二五七〇二二六 一九二二六九八二八二五七五七七七 九三四三三三四九四五五五五五六六二六四七 二三三四四五六六七 筆算五 二 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 〇一〇八八五四一 四九四三五七八八八 七九三六五九三二 七九三六五九三二 七四四八二五四四七 一〇四八二五四四七 三四〇四八二五円 10000000 一九四八七一七 一二四〇〇 三五八三一八〇八 三五八三一八〇八 二〇九〇一八 六二七四八五二人 三三七八七点六 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ○一二三四五六七八九 六乗方表 〇〇一四八二七二七二二五七六二二九四 七 〇三一一〇八五九二五六九五九二六八七九二 三五二七一一九二八四八八九八二九六三〇 八 ○○一六八六七八四一五七六二六二八九二 〇〇六二六九二五四三三九九九九九九九九 〇〇九五七九六七七九七五七七九七五一 ○○四五六九九一五二八〇四七〇六〇五三 〇〇五七瓦六八六五一二六二六八四三六九〇 ○八四六〇六九二六八二二〇四三六八八九 一七一七四八四七九八九八九八九八九八九八九八九八九八九〇四六 二〇九〇四〇五五五八三八 五五七七五八〇八〇九七〇七一四五五〇三八 一〇〇一一九七四四九九一一〇一 〇〇七四六九七四六六六六六六六六六六六六六六六六六六六六 ○七九四一五四四一一四四四四四四四四四四四四四四四 九 一九〇〇〇六四八九五〇二六四三八五八五八三三 六〇一五六四〇八七九七五七九二〇五〇五〇 一七七九八二七五四八三一四四九八一二 八三六三七四一四八四八五五七五八六二六 七乗方表 ○一二三四五六七八九 Molis Mol 一九九九九九九九九九七九九七九一九七 ○八四五九八五〇五四六四四五八九九九三五 二 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 二 筆算五 七 十一 九六社七四八二九三一九一七一七一九九 五 一九九一九一九一九一九一九一九一九一九一九一 四 同十七一二九五一九二一七七七七七七七 九九六二四六七九 九 〇三〇四三四九四九五五六二七一六一七一 筆算五 辛丑重校 中西算学大成巻二十三 諸比例一 嘉善陳維棋纂 凡物彼此相形。並之而用加。較之而用減。聚之而用乗。散之而用除観之不過雨率。 然乗除之間。四率之理。已黙寓其中如因乗命法曰人幾何每人得物幾。何求總物 幾何則是毎一人得物幾何與幾何人共得物幾何相比而成四率乃自小而得大 者也。如歸除命法曰有物幾何命幾何人分之。每人得物幾何。則是共人幾何共物 幾何。與毎一人得物幾何相比而成四率乃負大而得小者也蓋因命数以一人為 法。故乗興除各省其率耳。是雖名為乗除而実為相比之四率也至於比例正法則 所設甚廣。大而推歩七政天行測量高深広遠。小而量功命事度大移小無一非由 比例而得。蓋以両数為比例。用今有之数即以得未有之数也比例之理雖分相一 連相当二種而相当比例之中実又兼相連比例。相当比例一率比二率。如三率之 比四率。而相連比例首卒比中率。若申率比末率者即是中率為二率而又為三卒 也画人皆知線有線之比例面有面之比例体有体之比例殊不知差分盈胴方程一 借衰台借之類。正皆比例之属也然此類中有合数之比例分數之比例的数之比例。 例借数之比例非条分縷析各項専論則不備故仍旧各自為類而独於比例中最 或名為準測 一切者詳明其理以列法焉。其法一名異乘同除。 以原有之兩件相除故 或名為順単 ありぬして ▼BETETEL リーピンレンドルインド てきたものだら □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 十月廿一日夜におはる 一一、、、・、、、、、、、、、、、、〇〇 にしましていた。 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… しかいます いたのである。 ありませてくことに かはくしやふ に見はくらね 十七日まであります。 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… しにつやむつぶし 一〇、、〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇 一豆五十一日 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 思われる むしきよす” □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 大地なであるで おもしかしかくつかくつ ものこといふことが おしきはしさせします ○○やたる ……………………………………………………………………………………………………… Thatinteresteresterasterastingeringeringentingentingeringentingenteatentente theresterationterintee. といわれて されるものと いる。それは 一九二八・九、五六六 PIEISIRISISISISISISININERISER といはるならねば ました。それにはない。それを見る。 第五載に三合株式会社会 青浦項鍾華補表 如先乗而 而今則質言之曰正比例蓋以原 為同除以今有之一件乘之故為異乘レ 後除亦同 有之両件為一率二率。以今有之一件為三率而所求之一件則為四レ率也一名左 同同十年十年九月十一年 同乗異除 以原有之兩件相乘故為同乘。以今有之一件除之。 互視或名為逆単一 故為異除而今則質言之曰轉比例蓋以原有之両件為二率三率以今有之一件 為一牽。而所求之一件則為四率也然論其乗除之名雖異。究其比例之理則一而 巳今以數明之如原有之両数為二與四今有之一數為八以原有之二作一率原 有之四作二率今有之八作三率即得令所求之四率為十六而一率二與二率四 之比即三率八與四率十六之比為相当之比例也如原有之両数為八與四今有 之一数為十六以原有之八作二率原有之四作三季。今有之十六作一率。即得今 所求之四幸為二而一幸十六與二率八之比即三幸四與四率二之比或以一率 十六與三率四之比即同於二率八與四率二之比皆為相當之比例也總之乘除 之名有異同。四率之列有更換而既成比例之後其理無不歸於大同由此引伸触 或名為重測或 類推而広之有合幾四率而為一四率者則名為同乗同除 而今則 名為順較逆較 質言之曰合率比例蓋其理亦不遇合幾乘而為一乗合幾除而為一除各按四率 参互錯綜豈能出於比例之外哉凡此各種比例俱設数例於後以明立法之根加 之解説以広用法之意 正比例 設有以銀買米。毎米一石。銀八錢。今買米二百四十石。問共該銀若干。 法以米一石為一率。銀八錢為二率。今買米二百四十石為三率。二三率相乗一 率除之。得四率一百九十二両。即共銀数也蓋一石與二百四十石為加二百四 十倍。而八錢與一百九十二両亦為加二百四十倍。故一石與八錢之比即同於 此法一率是一。止用八錢乘二百四十石。 二百四十石與一百九十二両之比也 亦得。但為明正比例之理。故首設一易法。 便人推 尋也 設有以穀撰米。毎穀一石四斗。撰米八斗四升今有穀三十二石六斗八升。問換米 若干。 法以穀一石四斗為一率。米八斗四升為二率。今有穀三十二石六斗八升為三 率。二三率相来。一率除之。得四率一十九石六斗零八合。即所模共米数也蓋穀 一石四斗與米八斗四升之比郎同於穀三十二石六斗八升與米一十九石六 斗零八合之比也 設如天上二度。當地面四百里。今七度。該里数若干。 法以原有之二度為一率四百里為二率。今有之七度為三卒。二三率相乘。一率 除之。得四率一千四百里。即七度之里數也蓋一率二與二率四之比。為加一倍 丙三年七興四年十四之比。亦為加一倍。故二率得一率中之幾分之儀。則四率 亦得三率中之幾分之幾分之幾分之幾分之率也。 一設如一星一日内行一度三十分。今間八刻内応行若干。 法以原数一日変作九十六刻為一率。一度三十分変作九十分 一度作六十分 九十 分。 加入三十分共 □為二率今星行八刻為三率。二三幸相来一率除之。得四卒七分半。即八刻 内所行之数蓋九十六刻興九十分之比御同於八刻與七分半之比也然將日 変為刻者。因毎日九十六刻。不以十進位。又今所有者為八刻。故以刻数与刻数 相比也。度変為分者。因毎度六十分。亦不以十進位。而今八刻内所行者必為分。 故以分数与分数相比也。 説如馳時儀。算砲声。自煙起至閩声。計七秒。得五里。今得十四秒間里数若干 一法以七秒為一率。五里為二率。今得十四秒為三率。二三率相乗一率除之得四 率十里。即十四秒之里数也蓋七秒與五里之比即同於十四秒與十里之比也 一数有年四百六十隻。共売銀八十二両八錢。問每年一隻価銀幾何。 法以年四百六十隻為一率。銀八十二両八銭為二率。羊一隻為三率推得四卒 一錢八分。即毎羊一隻之価也。 此法三率是一止用年四百六十隻歸除八十二日 両八錢亦得但列四率法中不得不備其一体也 設有年一台共二百四十隻。又生薬七十二隻間加平産内十分之儀也 法以羊二百四十隻為一率。十分為二率。今生恙七十二隻為三率推得四率三 分。即為加羊屋内十分之三也。蓋二百四十與十分之比即同於七十二與三分 之比。若將二百四十作十分。每分得二十四。将羊蕉七十二作三分。每分亦得二 十四。總而約之故為十分之三也。故為十分之三也。 設如用古量法。豆区釜皆以四進。有八十五当二十区。有二十区当釜若干。 法以八十豆為一率。二十区為二率。又為三率。推得四率五釜。即二十区所当釜 數也此正比例中相連比例法也蓋因二十區與二十區相乘得四百区。而八十 豆與五釜相乗。亦得四百区二十区既為二率。又為三率。故謂相連比例。是以八 十豆與二十區之比即同於二十區與五釜之比也 設如一商原有本銀三千両。一年得利銀九百両。今復將九百両為本。問一年得利 若干 法以三千両為一率。九百両為二率又為三率。推得四率二百七十両即九百両 所得之利也此法以九百両為二率又為三卒。蓋三千両與九百両之比為三與 九之比例而九百両與二百七十両之比亦為三與九之比例也 一設有人行路。行過五分之二係八十里。問總里數幾何。 法以分子二分為一率。分母五分為二率。行過八十里為三率。二三率相来一年 除之。得四率二百里。即總里数也蓋總里数之五分之二為八十里以二分與五 分之比ノ即同於八十里與二百里之比皆為五分之二之比例也 設有銀買羽絨。毎三分丈之一。價銀四分両之三今欲買入。分丈之七間該銀若干 法以原羽絨三分丈之一為一率。原銀四分両之三為二率。今羽絨 八分丈之七為三率。用通分乗法。以二率分母四與三率分母八相 乗。得三十二為乘出之分母。又以二率分子三與三率分子七相乘 得二十一為乗出之分子。是為三十二分之二十一為二率三率相 乗之数。乃以一率三分丈之一除之。因分母除不尽乃用通分互乗 代除之法。除之。以乘出之分母三十二與一率之分子一相乘仍得 三十二為除出之分母。又以一率之分母三與乘出之分子二十一 三 相乗。得六十三為除出之分子。即得四率三十二分両之六十三為 六十三分内減 所求之數也滿分母三十二分收為一兩餘三十一 去三十二分仍 余三 十一 一両又三十二分両又三十一。如求真数。則以分母三十二 為一率。一両為二率。分子三十一為三率推得。四率九銭六分八釐七臺五線與 整数一両相加得一両九錢六分八釐七豪五線即真数也 轉比例 設有田一畝。原闊八歩。長三十歩。今闊要十二歩問長得幾何。 法以今関十二歩為一率。原長三十歩為二率。原関八歩為三卒。二三卒相乗。一 率除之得四率二十歩即今闊十二歩之長也。此法以原有之両数相乗。以今有 之一数除之而得今所求之數者。因来出両数相同故也在正比例。原有之両件 為一率二率。今有之一件為三率。而今所求之一件為四率。俱以原有之一件與 今有之一件相乗其積相同在転比例則原有之両件為二率三率今有之一件 為一乗。而今所求之一件為四率。是原有之両件相乗。今有之両件相乗其積相 同。此両法異同之故也此問今関雖比原関多三分之一。而今長却比原長少三 分之一。故原有之闊 與長 歩 歩 三十 相乗。得二百四十歩。而今有之闊一 歩 十二 與長七 歩 り相乗亦得二百四十歩。其積既同。可以轉而比之。為今間十二歩與原國八歩 之比同於原長三十歩與今長二十歩之比也若借正比例論之以原関八歩為 一率原長三十歩為二率。今間十二歩為三率。二三年相乗一率除之。得四卒四 十五歩則是今開比原間多今長亦比原長多所容積数亦多而與一畝之數不 合矣故轉以今閏十二歩為一率。原長三十歩為二率。原閩八歩為三率。而得四 率二十歩是為一率與三率之比同於二率與四率之比也 設如傭工開渠。八人開之二十日完。今用十六人開之。問得幾日完。 法以今十六人為一率。原二十日為二年。原八人為三率二三辛相来。一率除之。 得四幸十日。即十六人完工之日也。此法因工少而用日多。故加人使工多而用 日少。蓋今十六人與原八人之比。卽今之工加一倍。而原二十日與今十日之比 則今所得之日。亦必滅一倍。故一率十六人与三率八人之比。即同於二年二十 日與四率十日之比也 設如泉軍支米。足用四年。則每人每月支未三斗。今欲将四年之米足用十二年。閩一 毎人毎月応支幾何 法以今欲用十二年為一率。原文米三斗為二章。足用四年為三率二三率相乗。 一乗除之得四年一斗。即足用十二年毎人毎月応支之数也此法支米多則足 用年数少。今支米少則足用年数多。蓋四年与十二年之比在年為加三分之二。 而三斗與一斗之比在米又為減三分之二其比例固同也。 設如木星十二年一周天毎年行三十度。土星則二十八年一周天間毎年行幾度。 法以土星所行一周二十八年為一率。木星毎年所行三十度為二率。木星所行 一閏十二年為三年。二三率相来。一率除之得四率十二度五十一分二十五秒 有余卽土星毎年所行之度数也。蓋木星周天比土星年數少。而行度却多。土星 閣天比木星年数多而行度御少多得少而少反得多故転而比之以二十八年 與十二年之比即同於三十度與十二度有餘之比也 設如験時儀墜子。其縄長四尺四寸八分一釐二亭八糸。四刻内来往共三千次。今 造一坐。欲使来一秒往一秒間縄長若干 法以四刻化三千六百秒。為今墜子往来次数。自乗得一千二百九十六万次為 一率。原壁縄長四尺四寸八。分一釐二豪八絲為二率。以原墜往来三千次自乘 得九百万次為三幸二三相乘一率除之得四率三尺一寸一分二釐。即今所求 墜縄之長也夫以四刻化秒者蓋以所求之堅子。欲其来一秒往一秒也故秒数 即次数四刻所化之秒即今墜子在四刻内往来之次數也其比例以次数自乘 者因墜子往来之際已成平面形故以往来之方数相比為面比面而原墜與今 墜之長数相比為線比線務使其類相当而後可以相比也又原墜於四刻内往 来之次数少而墜却長今墜於四刻内往来之次数多而墜却短故以今墜往来 次数自乗與原墜往来次数自乗為比即同於原墜之長与今墜之長為比所以 為転比例也 設有正方池一面。毎辺十二丈今欲作寛八丈之池使其池面積数與方池等。間長 得幾何。 法以今池寛八丈為一率。原池長十二丈為二率。原池寛十二丈為三率。推得四 率十八丈。即今欲作池之長也此轉比例中相連比例法也蓋原池方面毎邊十 二丈其積一百四十四丈即二年三辛相乗之数今所得四幸長十八丈與一卒 寛八丈相乗亦得一百四十四丈両数相等故以一率今池寬八丈與三率原池 寛十二丈之比即同於二率原池長十二丈與四率今池長十八丈之比也 設如原用金九両係九成今用八成金折還当加幾両 法以今金八成為一森原金九両為二率原金九成為三率推得四率十両零一 錢二分五釐。内減九兩。餘一兩一錢二分五釐。即八成金當加之數也。此法二率 三年為體雖不同而數則一故亦為相連比例。蓋以原金九両。又係九成則来得 十成金八両一錢。以今之八成與所得十両零一錢二分五釐相乗。亦得十戒金 八両一錢是八成與九成之比即同於九両與十両零一銭二分五釐之比也 設如原有一門簾。用綾一丈二尺。其綾寬一尺五寸。今欲作一新簾。其綾比原綾寛 七分尺之三問応用長数幾何。 法以原寛一尺五寸用分母七通為十分半。加入分子三。得今寛一十三分半為 一率原長一丈二尺為二年原寛十分半為三率推得四率九尺又一百三十五 分尺之四十五約為三分尺之一即得九尺又三分尺之一為令応用之長数也 蓋今寬十三分半與原寛十分半之比即同於原長一丈二尺與今長九尺又三 分尺之一之比也 何 設如城守兵一営其糧可支一年又七分年之二今汰去三分之一問應支年数幾 法先以年分母七。通一年為七分。加入分子二。得七分年之九又以 同断同同同同同断同右同断同断 同兵分子一減分母三得二為三分之二為現存兵数、 則存者為三分 因両分母不同。故用互乗以斉之。以両分母三七相乗得二十一 為共母分。即原兵分。以年分母七互乗兵分子二。得十四為今存兵 一分。以兵分母三互乗年分子九。得二十七為原年分。即以所通今存 兵十四分為一率。原年数二十七分為二率。原兵二十一分為三率。 率二十一分年之四十分半満分卅二十一分收為一年。餘十九分半。悃 分半内減二十一 分。余十九分半 分。餘十九分半。 約為七分年之六分半即得一年又七分年之六分半。為今応 支之年數也。蓋今存兵比原兵少三分之一則支糧年數必多三分之一故今存 兵十四分與原兵二十一分之比。即同於原年數二十七分與今年數四十分半 之比也 合率比例 設如以夏布操棉布。但知每夏布三丈。價銀二錢每棉布七丈價銀七錢五分。今有 夏布四十五丈。問換棉布若干。 法以夏布三丈。與棉布價銀七錢五分相乘得二両二錢五分為一年夏布價銀 二錢與棉布七丈相乗。得一両四錢為二率。夏布四十五丈為三卓推得四卒二 十八丈郎夏布四十五丈所接之棉布数也此法乃両比例合為一比例也如分 作両比例明之。每夏布三丈價銀二錢。今夏布四十五丈。則價銀應得三両此一 比例也。棉布価銀七銭五分。得棉布七丈今夏布四十五丈之価三両ノ則応得棉 布二十八丈此又一比例也。夫銀三両原為夏布四十五丈之價。則夏布四十五 丈所換之棉布二十八丈。銀亦応三両可知矣。蓋両比例中一以三丈作一率。 一以七錢五分作一率故三丈与七銭五分相乗。得二両二銭五分而為一乗。是 合雨一率而為一一年也一以二錢作二年一以七丈作二率故二錢與七丈相 乗得一両四錢而為二章是合両二率而為一二卒也而後比例之三年。即前比 例之四条。如以両三辛相乗為三率ノ則所得四年亦為両回牟相乗之数必須以 前比例之因率除之。方得後比例之因率。故即以夏布之因十五丈為三年而得 棉布之二十八丈為四率也。 故如以芝麻撰黄米。但知兼芝麻三石掻藁豆五石。毎菜且四石。榛黄米三石。今有 芝麻五十四石。問換黄米若干。 法以芝麻三石與荒豆四石相乘得十二石為一率又以下五石與黃米三石一石一 相乗得十五石為二卒芝麻五十四石為三率推得四卒六十七石五斗。即芝麻 五十四石所換之黄米数也此法亦両比例合為一比例也如分作両比例明之 毎芝麻三石模菜豆五石則芝麻五十四石必換菜豆九十石此一比例也菜豆 四石。撰黄米三石則菜豆九十石必撰黄米六十七石五斗此又一比例也夫叢 豆九十石。原為芝麻五十四石所換則藁亘九十石所接之黄米。即芝麻五十四 右所換之黄米可知矣。蓋以両比例之各一率相乗為一率。雨比例之各二率相 乗為二率者即合雨次乗除為一次乗除也 設加養兵七百名。毎年額餉一万二千六百両内有新著伍兵三百名巳応復七個 月問該餉銀若干。 法以原養兵七百名。与十二個月相乘得八千四百為一率。額約一万二千六百 両為二率。新兵三百名。與七個月相来。得二千一百為三率。推得四率三千一百 五十両郎兵三百名七個月應得之餉銀数也。此法亦両比例合為一比例也如 分作両比例明之兵七百名得一万二千六百両。則兵三百名。熊得五千四百両。 乃兵三百名十二 個月応得之数此一比例也兵三百名十二個月応得五千四百両則七個月 応得三千一百五十両此又一比例也今以両比例之各一率相乗為一率両比 例之各三率相乗為三卒者。亦如両比例之各一率二率相乗合為一率二率也 設如原有鴉八隻。換難二十隻又鶏三十隻換鴨九十隻。又鴨六十隻換羊二隻今 有羊五隻間換鵝幾何。 法以所換羊二隻與所換鴨九十隻相乘得一百八十隻再以所接雜二十隻来一 之得三千六百隻為一率又以原鴨六十隻與原鶏三十隻相乗。得一千八百隻 為二年今羊五隻為三率。推得四率二十隻。即羊五隻所撰之鎮数也。此法乃三 比例合為一比例也。如分作三比例明之羊二隻換鴨六十隻則羊五隻必換鴨 一百五十隻此一比例也。賜九十隻雜三十隻。則鴨一百五十隻必換雜五十 隻此二比例也維二十隻換船八隻。則鶏五十隻必換鵝二十隻。此三比例也。夫 雖五十隻原為鴨一百五十隻之所換而鴨一百五十隻。又原為羊五隻之所換 則鶏五十隻所換之船二十隻。即為羊五隻之所換可知矣。今以三比例之各一 率連乗之為一率。又以三比例之各二率連来之為二率者。正合三比例為一比 例也 設如原有菽三斗換黍二斗。又参四斗換稷三斗。又稷五斗桜稲四斗又稲六斗換 麦五斗今有麦七斗問撰菽菽幾何。 法以所模麦五斗。与所接稲四斗相乗得二石復以所撰稷三斗乗之得六石。再 以所糖黍二斗乗之。得一十二石為一率。又以原有稲六斗。與原有稷五斗相乗 得三石。復以原有泰四斗乗之得一十二石。再以原有泰四斗来之。得三十六石一 為二率。今有春七斗為三率。推得四率二石一斗。即麦七斗所換之菽數也。此合 四比例為一比例也。如分作四比例明之。麦五斗換稲六斗。則麦七斗必換稲八 斗四升。此一比例也。稲四斗換。五斗。則稲八斗四升必換一石零五升。此二 比例也。稷三斗撰黍四斗。則稷一石零五升必接黍一石四斗。此三比例也泰二 斗梅菽三斗。則黍一石四斗必換菽二石一斗。此四比例也夫秦一石四斗。原為 獲一石零五升之所撰。而稷一石零五升。又為稻八斗四升之所換。而稲八斗四 升。又為麦七斗之所換則黍一石四斗所換之菽二石一斗。即為麦七斗之所撰 可知矣。今以四比例之各一率連乗之為一率。又以四比例之各二率連乗之為 二率者正合四比例為一比例也 設如原有工人一百。開河四十丈。二十日工完。今有工人一千。開河八十文。問得日 数幾何。 法以今有工人一千與原開河四十丈相乗。得四万丈為一率。二十日為二卒。以 原有工人一百。與今開河八十丈相乘。得八千丈為三率。推得四率四日。即一千 人問河八十丈之日數也。此法以原有今有両數互来以比例者。所以斉其分也。 試將兩首位一千工與一百工互乘得十萬工。然後互乘丈數。原 有一邊得四萬丈。今有一邊得八千丈。是原一百工開四十丈。則 十萬工開四萬丈其比例相同。今一千工開八十丈。則十萬工開 八千丈。比例亦同也。因両工数相同。故以四万丈与二十日之比。 即同於八千丈與四日之比蓋原有十萬工開河四萬丈二十日 可完。今亦有十萬工關河八千丈。則四日可完。為比例四率也。然 此法実係両比例合為一比例也如分作両比例明之。則先以人工為比例原一 百工開二十日。今一千工即應閣二日。為今一千工開河四十丈之日數。此一轉 比例也。次用丈数為比例。原四十丈応開二日。今八十丈則応聞四日。為今一千 工間河八十丈之日数此一正比例也法以両比例之一率相乗為一率両比例 之三率相乗為三率者。正合両比例為一比例也。 故如原有書一百篇。六人烏之。十日完每篇三百字今有書二百篇。八人寫之。十二 日完問毎篇得字若干 法以今有二百篇與原有六人相乘得一千二百又以原有十日乗之得一万二 千為一年。毎篇三百字為二率。以原有一百篇。與今有八人相乗得八百。又以今 有十二日乗之。得九千六百為三年。推得四率二百四十字。即今八人寫十二日 毎篇之字数也。試將両首位一百篇與二百篇互来得二万篇。然。 今。 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 後互乘人工與日。原有一邊得一萬二千工。今有一邊得九千六 百工。蓋原有二萬篇。用一萬二千工每篇三百字。今亦有二萬篇。 用九千六百工。其每篇必二百四十字。為比例四率也。然此法実 保三比例合為一比例也。如分作三比例明之。則先以篇数為比 例。原一百篇每篇三百字。今句為二百篇。則每篇只應一百五十 一轉比例也。然人数不同。故次以人数為比例。原六人寓之。毎篇応一百五 十字。今八人寫之。則每爲應二百字。此一正比例也然日數又不同。故次以日數。 為比例。原寫十日。每篇應二百字。今寫十二日。則每篇應二百四十字。此又一正 比例也。法以三比例之各一率連来之為一率。三比例之各三率連来之為三率 者。正合三比例為一比例也。 設如原有麥子一萬二千石。車十二輛。每車載三石。日行八十里。四十日運完今有 麦三万石。車十六輛。每車載四石。日行六十里。問運完日数幾何。 法以原有参子一万二千石。與今車十六輛相乗。得一十九万二千輌。又以今舞 車載参四石乗之。得七十六万八千石。又以今行六十里乗之。得四千六百零八 万里為一率。四十日為二率。以今有春子三万石。與原有車十二輛相乗。得三十 三六〇〇〇 IOAOOOO 六万輛。又以原每車載麦三石乗之。得一百零八万石又以原行 八十里乗之。得八千六百四十萬里為三率。推得四率七十五日。 即今麦三万石運完日数也試将両首位数互乗。得三億六千万 石。然後互乘車數石數里數。原有一邊得八千六百四十萬里。今 有一邊得四千六百零八萬里蓋原有麦三億六千萬石。用車三 十六萬輛。載一百零八万石。行八千六百四十萬里。得四十日運 宛。今有麥亦三億六千萬石。用車一十九萬二千輛。戴七十六萬八千石。行四千 六百零八万里得七十五日運兒為轉比例四率也然此法係四比例合為一比 例也。加分作四比例明之則先以麦数為比例原麦一万二千石運四十日。今麦 三萬石則應運一百日。此一正比例也然車數不同。故次以車數為比例。原車十 二輛應運一百日。今車十六輛則應運七十五日。此一轉比例也。然每車所載石 數不同。故次以石數為比例。原每車載三石應運七十五日。今每車載四石則應 即四分 運五十六日二五 此又一轉比例也然日行里数又不同。故次以里数為 日之 比例。原日行八十里。応運五十六日二五。今日行六十里。則応運七十五日。此又 一轉比例也法以四比例之各一率連乗之為一率四比例之各三率連乗之為 三率者。正合四比例為一比例也。 中西算学大成巻二十四 諸比例二 按分遞折比例 嘉善陳維棋纂 差分之款項雖多。而接分遽折者。皆為相連比例故約之而帰一類。如二八三七四 六差分。俱以十分為總率。而按各分以分之者也如遽折差分。亦以十分為率。而按 十分之幾以遮折之者也。如加倍減半差分。則以倍半為率。接一定之分而加減之 者也。今細分其目如左。 二八差分者。以總物平分十分。一得十分之二。一得十分之八。有三色者。則以二與 八與三十二為衰數蓋八與三十二之比。即如二與八之比也有四色者。則以二與 八与三十二與一百二十八為衰数。蓋三十二與一百二十八之比。亦如二與八之 比也。至於五色以上者。皆以相連比例求各衰数。總不越乎二八之比例。故曰二八 差分。 三七差分者。以総物平分十分。一得十分之三。一得十分之七。有三色者。則以九與 二十一及四十九為衰数 得二十一為七分。如二十一 一高三分。則四十九又為七分矣 以九為第一衰數者。因三與七非彼此度盡之數。七作三 分必至奇零不尽。故以三因三因三得九為三分。則以三因七 天蓋九與二十一。即如三與七之比。而二十一與四十 九。亦如三與七之比也有四色者。則以二十七與六十三及一百四十七與三百四 十三為衰数 三又為 一。以三因九得二十七為三分。故以七因九得六十三為七分。若六十三 軽為三分。則一百四十七為七分一百四十七転為三分。則三百四十 七分矣、 産六十七歳六十三。六十三與一百四十七。一百四十七。一百四十三。皆 如三與七之比也。五色以上者。皆以相連比例求各衰数。越乎三七之比例。故 日三七差分。 四六差分者。以總物平分十分。一得十分之四。一得十分之六。有三色者。則以四與 六與九為衰数蓋六与九之比即如四與六之比也有四色者則以四與六与九與一 一三五為衰数。蓋九與一三五之比亦如回與六之比也五色以上者。亦以相連比 例求各衰数總不越乎四六之比例故曰四六差分。 遮折差分者。十分之中。得其幾分。即為幾折。如得其六分。即為六折。得其四分。即為 四折。若夫五折則為十分之半。故載於倍半法中而別為一類。 加倍差分。其数自少而多。皆以倍而加。減半差分。則数自多而少。皆以半而減。因加 滅有定分。故立衰有定例総以加倍減半之数為相連比例。設為借数以求正数也 以下二 設有銀三千両。令二等人戸二八納之間各該若干。 21日 八差分 法以二分八分相併。得十分為一率。銀三千両為二率。二分為三率。推得四率六 百両。為下等人戸所納之数仍以二分八分相併之十分為一率。銀三千両為二 率。以八分為三率。推得四率二千四百両。即為上等人戸所納之数也此法両用 四幸者。正為明比例之理。蓋二分八分相併之十分。與總銀三千之比。即如二分 之與六百之比八分之與二千四百之比也 又法以二八所併之十分。歸除總銀三千兩。得每分三百両。以二分乗之。得六百。 以八分乗之。得二千四百。蓋毎一分得三百。而二分得六百。八分得二千四百也。 設有米五百八十八石。令甲乙丙三人二八分之。問每人應得幾何。 法以二分為甲衰。八分為乙衰三十二分為丙衰。相併得四十二分為一率。総米 五百八十八石為二率。以甲二分為三率。推得四率二十八石。即甲分米数。以乙 八分為三年。得四率一百一十二石。即乙分米穀。以丙三十二分為三率。得四率 四百四十八石。即丙分米数也。此法用二與八。八與三十二者。即二八相連比例 分。蓋總分數四十二分與總米五百八十八石之比即二分與二十八石之比八 分與一百一十二石之比即三十二分與四百四十八石之比也 又法以總數四十二分。歸除總米五百八十八石。得毎分一十四石。以二分乗之。 得甲米二十八石。以八分乗之得乙米一百一十二石。以三十二分乗之。得丙米 四百四十八石也 設有田二千六百三十五畝以来穀豆麻四色遮次二八分種問各田応得幾何。 法以二分為麻衰。八分為豆衰三十二分為穀衰。一百二十八分為参衰。併之得 一百七十分為一章。総田二千六百三十五畝為二竜以参一百二十八分為三 率。得四率一千九百八十四畝。即麦田数如以穀三十二分為三辛。得四卒四百 九十六畝。即穀田数。如以豆八分或麻二分為三年。所得四率。即豆一百二十四 畝與麻三十一畝之田数也 又法以總數一百七十分。除總田數二千六百三十五畝。得每分一十五畝五分。 凡以総分数為一 乃以毎色分數乘之。即得每色應種數也。 幸者。倣此類推。 設有銀三千四百一十両。令五商遞次二八分出。問各出幾何。 法以一商為二分。一商為八分。一商為三十二分。一商為一百二十八分。一商為 五百一十二分。併之得六百八十二分為一率。總銀三千四百一十両萬二率。以 五百一十二分為三年。得四率二千五百六十両。即五百一十二分應出之數。如 以一百二十八分為三年。得四率六百四十両。即一百二十八分応出之数。如以 三十二分為三率。得四率一百六十両。即三十二分応出之数ノ如以八分或二分 為三率。所得四率四十兩。即八分應出之數。一十両即二分應出之數也。 設有糧二千六百五十五石九斗。令甲乙丙丁戌五等人戸。照二八逓減納之。甲三 十戸。乙四十戸。丙五十戸。丁六十戸。戌七十戸。間各戸所納幾何。各等戸共納幾一 何、 法以五百一十二為甲一戸分数再以甲三十戸来之。得一万五千三百六十。為 甲三十戸共分數以一百二十八為乙一戸分数再以乙四十戸来之得五千一 百二十。為乙四十戸共分数。又以三十二為丙一戸分数再以丙五十戸来之得 一千六百。為丙五十戸其分数。又以八為丁一戸分数。再以丁六十戸乗之。得四 百八十。為丁六十戸共分数。又以二為戌一戸分数再以成七十戸来之。得一百 四十。為成七十戸共分数。以所得五等共分数併之得二万二千七百為總分数 為一率。總糧二千六百五十五石九斗為二率。以甲五百一十二分為三率。得甲 一戸納五十九石九斗零四合。又以甲三十戸乗之。得甲共納一千七百九十七 石一斗二升。以乙一百二十八分為三卒。得乙一戸納十四石九斗七升六合又 以乙四十戸乗之。得乙共納五百九十九石零四升。以丙三十二分為三率。得丙 一戸納三石七斗四升四合。又以丙五十戸桑之。得丙其納一百八十七石二斗。 以丁八分為三年。得丁一戸納九斗三升六合。又以丁六十戸乗之。得丁共納五 十六石一斗六升。以戌二分為三率。得戌一戸納二斗三升四合。又以戌七十戸 乗之得戌共納十六石三斗八升也 設有銀五千両。令東西二縣三七支銷。問各該幾何。 法以七分為東県衰数。三分為西県衰数。併之得十分為一率。総銀五千両為二 以下三 七差分。 率。以七分為三率。得四率三千五百両。即東県応支之数。如以三分為三率。得四 率一千五百両。即西縣應支之數也。蓋三七比例。亦以總衰數與總銀數之比即 若每縣衰數與每縣銀數之比。故十分與五千之比。即若三分與一千五百之比 七分與三千五百之比也 設如以車運物。行十里。二十刻到。今巳行七里。間尚得幾刻到。 法以十里為一率。二十刻為二率。以七里與十里相減餘三里為三率。推得四率 六刻。即運到刻数也。如以七里為三辛。推得四率十四刻與總二十刻相減餘六 刻。亦即運到刻数也。蓋十里与二十刻之比即三里與六刻之比七里與十四刻 之比也 設有熟緑四百九十七両七錢。接絹綾緞透次三七分織問各誠幾何。 法以九分為絹衰二十一分為綾衰四十九分為。綴篇併之得七十九分為一章。 繰四百九十七両七銭為二率。以鰕四十九分為三率。得四率三百零八両七錢。 即緻絲数。如以綾二十一分為三辛。得四率一百三十二両三錢。即絞絲数。如以 絹九分為三率。得四率五十六両七錢。即絹総数也。此法有三位。故以三因得九 為絹之衰數又通用七因三歸為綾與綴之衰數蓋九與二十一。二十一與四十一與四十 九。為相連比例三率。而九與二十一之比。即二十一與四十九之比也。 設如種樹一千一百六十株。接松柏桃柳四色。遮次三七分種。間各該幾何。 法以三百四十三分為松衰。一百四十七分為柏衰。六十三分為桃衰。二十七分 為棚衰。併之得五百八十分為一率。一千一百六十株為二年。以三百四十三分 為三率。得四率。六百八十六株。即種松之数。以一百四十七分為三章。得四率二 百九十四株。即種柏之數。以六十三分為三率。得四率一百二十六株。即種桃之 数以二十七分為三率。得四幸五十四株。即種柳之数也。此法有四位。故以三因 九得二十七為柳衰数又遮用七因三帰為桃柏松之衰数也 設如編銀八百二十八両二錢。令甲乙丙丁戊五等戸三七徴納。問各戸所納幾何。 法以八十一分為甲衰。一百八十九分為乙衰。四百四十一分為丙衰。一千零二 十九分為丁衰。二千四百零一分為戊衰。併之得四千一百四十一分為一率。總 銀八百二十八両二錢為二率。以毎人分數各為三率。得四率之一十六両二錢。 即甲所納銀数。得四辛之三十七両八錢。即乙所納銀數。得四率之八十八両二 錢。即丙所納銀數得四率之二百零五兩八錢。即丁所納銀数。得四率之四百八 十両二錢。即戌所納銀数也。此法有五位。故以三因二十七得八十一分。為甲之 衰数。又遮用七因三歸即得乙丙丁戊各衰数也。 設有田一百三十八畝毎畝徴米二斗。今七分徴米。三分折繰。毎米一石折絲一斤。 問各該幾何。 法以七分為米衰三分為経衰併之得十分為一率。又以徴米二斗乗田一百三 十八畝得総米二十七石六斗為二率。以米七分為三率。得四率一十九石三斗 二升即微未七分之数与總米相減余八石二斗八升。為三分折繰之数。按米毎 石折絲一斤則以八石二斗八升用十六両乗之。得一百三十二両四錢八分。為 八斤四両四錢八分卽折絲三分之数也。此法以徴米二斗乗總田。是得總徴米 数而三七分之也。総米分去七分。即本色米数余者折為綴。即三分総数也。折孫 之法毎石既為一斤則八石二斗四升。自得八斤四両四錢八分也 以下四 一設有金四千両。令上下二等金戸六四傾舗。問各該幾何。以 大差分 法以六分為上等衰数。四分為下等衰数。併之得十分為一率共金四千両為二 率。以六分為三率。得四率二千四百兩。即上等全戸傾鎖之數。如以四分為三卒。 得四卒一千六百両。即下等金戸傾銷之数此法以四分六分相併之十分與共 金四千両之比。即如六分与二千四百両之比。四分与一千六百両之比也。 設有絲二百五十斤桜米。每絲一斤。換米一石。今已換通六分。尚餘銀四分。間已換 未換各若干。 法以四分六分相併得十分為一率。将二百五十斤総変作二百五十石米為二一 毎繰一斤撰 率 米一石故也 以六分為三率。推得四率一百五十石為已換之米数。以四分為 三年。推得四年一百石為米撰之米数。蓋十分與二百五十石之比。即六分與一 百五十石之比四分與一百石之比也。 設有縣一千五百五十八斤。金甲乙丙三家四六分織問各該幾何。 法以四為甲衰数六為乙衰数。九為丙衰数併之得十九為一率。総絲一千五百 五十八斤為二率。以甲四分為三率。即得甲絲三百二十八斤。以乙六分為三率 即得乙縁四百九十二斤。以丙九分為三率。即得丙線七百三十八斤。此法以總 衰十九分與總絲一千五百五十八斤之比。即甲四分與三百二十八斤之比乙 六分與四百九十二斤之比丙九分與七百三十八斤之比也 設有田九百七十五畝。令甲乙丙丁四人四六分種。問每人各得幾何 法以四分為甲衰。六分為乙衰九分為丙衰。一十三分半為丁裁併之得三十二 分半為一率。總田九百七十五畝為二率。以甲四分為三卒。即得甲田一百二十 畝。以乙六分為三率。即疆乙田一百八十畝。以丙九分丁一十三分半各為三気。 即得二百七十畝為丙田。得四百零五畝為丁田也。蓋三十二分半興九百七十 五畝之比。即甲四分与一百二十畝之比乙六分与一百八十畝之比亦即両九 分與二百七十畝之比丁十三分半與四百零五畝之比也 設有糧一千二百六十六石。令甲乙丙丁戌五舟按六分四分逓次運載。問各該幾何。 法以四分為戊衰。六分為丁表九分為丙衰一十三分半為乙衰二十分二五為 甲森併之得五十二分七五為一率。總糧一千二百六十六石為二率。以甲二十 分二五為三率。得甲還四百八十六石。以乙一十三分半為三角。得乙還三百二 十四石。以丙九分為三率。得丙運二百一十六石。以丁六分為三率。得丁運一百 四十四石。以茂四分為三率。得戊運九十六石。此法塊衰數與總糧之比。即各人 分数与各人糧数之比也。蓋六与九。九与一三五。一三五与二二五。皆同為四六 之比例也 設有米三百八十五石五斗二升。令上等人戸六分。下等人戸四分交納。上等二十 六戸。下等四十戸。問每等每戸各該幾何。 法以六為上等衰数以上戸二十六戸乗之。得一百五十六為上等二十六戸共 衰数以四為下等衰数以下戸四十乗之。得一百六十為下等四十戸共衰数併 之得三百一十六万一率。總米三百八十五石五斗二升為二率。以上等六分為 三率。得四率七石三斗二升。為上等一戸米数以上等共分数一百五十六為三 率。得一百九十石三斗二升為上等二十六戸共米数。如以下等四分為三率。得 四率四石八斗八升。為下等一戸米数。以下等共分数一百六十為三率。得一百 九十五石二斗。即下等四十戸共米数也。 設有熟稻七百九十九畝六分八釐。令三人以十分之六收割。問毎人得幾何。以上 以下 逸折 差 八刀 法以一百為第一人分数。六十為第二人分数。三十六為第三人分数。三分数相 併。得一百九十六分為一率。總。裕七百九十九畝六分八台為二率。第一人分数 一百為三率。得四率四百零八畝即第一人收割田数如以第二人分数六十為 三率。得四率二百四十四畝八分。即第二人收割田數如以第三人分數三十六 為三率。得四率一百四十六畝八分八釐。即第三人収割田数。蓋十分之六。如彼 得十分此得六分也。第二人得第一人十分之六。第三人又得第二人十分之六。 故一百與六十之比即六十與三十六之比遞次比例皆十分之六也其得數四 百零八畝與二百四十四畝八分之比即二百四十四畝八分與一百四十六畝 八分八釐之比亦皆為十分之六也。 設有銀一千二百六十六両五錢。今四商以十分之七逓次販貨出賣。問毎人該銀 幾何。 法以一千為第一人分数七百為第二人分数四百九十為第三人分数三百四 十三為第四人分数相併得二千五百三十三分為一率。総銀一千二百六十六 両五錢為二率。以一千分為三率。得四率五百両。即第一人銀数。以七百分為三 率。得四率三百五十両。即第二人銀数。以四百九十分為三率。得四率二百四十 五両。即第三人銀数以三百四十三分為三率。得四卒一百七十一両五錢。即第 四人銀数。蓋十分之七連折而下。第二人得第一人十分之七。則第三人亦得第 二人十分之七。而第四人又得第三人之十分之七。其衰数一千分七百分四百 九十分三百四十三分。皆十與七之比例也。 設如生銅入爐鎔化三次。毎一次去港十分之二。準得熟銅二百四十八両。間原銅 幾何。 十分之中去渣二分。得浄銅と 法即以十分之八為分数。仕 〇以八分為一率。十分為二 八分。故以十分之八為比例。 率。熟銅二百四十八両為三率。得四率三百一十両為第二次入爐銅數。又以八 分為一率。十分為二率。三百一十両為三率得四率三百八十七両五錢。為第二 次入爐銅数。再以八分為一率。十分為二率三百八十七両五錢為三率。得四率 四百八十四両三錢七分五釐。即第一次入爐生銅數也。此法因八折三次而轉 求原数。故以八分為一率。十分為二率。転求三次而始得也。 又法以八分自乗再来得五百一十二分為一率。十分自乗再乗得一千分為二一 率。熟銅二百四十八両為三率。得四率四百八十四両三錢七分五釐。即第一次 入爐生銅数也。前法以三次三率各求四率。故必乘除三次。此法則以一率二年 俱各自乗再来。止以第三次熟銅数為三率。即得第一次生銅數。是合三次乗除 而為一次乗除也 設有緑三百六十九斤。令甲乙丙丁四人照十分之八折分。問各得幾何。 法以一千為甲分数。八百為乙分数六百四十為丙分数。五百一十二為丁分数 相併得二千九百五十二分為一率。總絲三百六十九斤為二率。以毎人分數各 為三率。所得各四率一百二十五斤為甲數。一百斤為乙數。八十斤為丙數。六十 四斤為丁数蓋十分之八遮折而下。乙得甲十分之八。丙得乙亦十分之八而丁 得丙亦十分之八其衰数一千分。八百分。六百四十分。五百一十二分。皆十與八 之比例也 中等戸三十。下等戸四十八。問每戸該出幾何。 設有絹四百七十丈一尺八寸四分。令三等人戸照十分之六出之。上等戸二十五。 法以一百為上等分数。用二十五乗之。得二千五百。為上等戸共分数以六十万 中等分數用三十乗之。得一千八百。為中等戸共分数以三十六為下等分数。用 四十八乗之。得一千七百二十八為下等戸共分数併之共六千零二十八分為 一率。絹四百七十丈一尺八寸四分為二率。以三等各分數各為三率。所得各四 率。上等每戸出七丈八尺。中等每戸出四丈六尺八寸。下等每戸出二丈八尺零 八分。又以各等戸数乗各等毎戸絹数。得上等二十五戸共出絹一百九十五丈。 中等三十戸共出絹一百四十丈零四尺下等四十八戸共出絹一百三十四丈 七尺八寸四分也 設有官糧一百六十八石四斗八升八合。今四等人戸以十分之七依火逸折交納。 一等二十二戸。二等三十六戸三等四十二戸四等四十八戸。問每等每戸各納 幾何 法以一千為一等分数。用二十二戸乗之得二万二千即一等戸共分数以七百 為二等分数。用三十六戸乗之。得二万五千二百即二等戸共分数。以四百九十 為三等分数。用四十二戸乗之。得二万零五百八十為三等戸共分数。以三百四 十三万四等分数用四十八戸来之候得一万六千四百六十四病四等戸共分数 併之共八万四千二百四十四分為一率。總糧一百六十八石四斗八升八合為 二率。以一千分為三率。得四率一等毎戸二石。以共分数乗之。得共納四十四石。 以七百分為三率。得四率二等毎一石四斗。以共分戸数乗之。得共納五十石 零四斗。以四百九十分為三卒。得四率三等每戸九斗八升。以共戸数乗之。得共 納四十一石一斗六升。以三百四十三分為三率。得四率四等每戸六斗八升六 合。以共戸数乗之。得共納三十二石九斗二升八合也。 加倍減半差分 設如一人讀書。日加一倍。三日共讀三千四百六十五字。問每日所讀幾何 法以一為第一日分数。二為第二日分数。四為第三日分数。併之得七分為一率。 總字三千四百六十五為二率。一分為三率。得四率四百九十五字。即第一日所 読之数。倍之得九百九十字。即第二日所読之数。又倍之得一千九百八十字。即 第三日所読之数也蓋加倍者是第二日増於第一日一倍。第三日又増於第二 日一倍。倍数多者由此遽加。如二與四四與八八與十六之類。皆為加一倍之比 也 例也 訣如一人借銀為商三次。毎次得利銀比本銀加一倍。毎次還人二百両。三次之後 本利還画問原本銀若干。 法以一為本銀分数。二為第一次本利共分。四為第二次本利共分。八為第三次 本利共分。即以八分為一率。原本銀一分為二率。又以一為第三次還銀分。二為 第二次還銀分。四為第一次還銀分。併之得七分。與每次還人二百両相乘。得一 千四百両為三率。得四卒一百七十五両。即原本銀数也蓋毎次得利銀比本銀 加一倍則原本銀為一分。第一次必得二分。第二次必得四分。至第三次必得八 分。此以未還人計也然毎次還人二百両。三次之後本利還尽。若第三次不匱。則 得二百両者一分。第二次不還則至第三次必得二百両者二分。第一次不還。則 至第三次必得二百両者四分 次第一次第一次第一次第一次第二次第二次加位 得二分。第三次加倍得四分。 是第三次応得二一 百両者七分。而為一千四百両矣故以八分與一分之比。同於一千四百両與一 百七十五両之比也 設如一人売酒毎日比原数加一倍。一日売一斤。六日売尽。問原酒若干。 法以一為原酒分数按六日加倍六次。得六十四分為一率。原酒一分為二率。又一 以一為第六次売酒分。二為第五次売酒分。四為第四次売酒分。八為第三次売一 酒分。十六為第二次売酒分。三十二病第一次売酒分。併之得六十三分。與每斤 十六両相乗。得一千零八両為三率。得四率十五両七錢五分。即原酒数也。 設有銀三千一百六十両分與三等人。第一等人二十名。第二等人二十四名。第三 等人三十名。第二等比第一等之銀滅一倍。第三等比第二等之銀減一倍。問各 等毎人分銀幾何。 法以四為一等分数。二為二等分数一為三等分数。以一分来三等三十名。仍得 三十分。以二分来二等二十四名。得四十八分。以四分乗一等二十名。得八十分。 三數相併。共得一百五十八分為一率。総銀三千一百六十両為二率。四分為三 率。得四率八十両。為第一等每人所得銀数。減半得四十兩。為二等每人所得。銀 数。又減半得二十両。為三等每人所得銀数。以各等人数乗各等每人所得銀数 即各等共人所得共銀数也。 按数加減比例 差分之内。又有按数遮加遅減或互和折半者。皆為相当比例。其法有四。一曰過加 逓減差分。益所加所減之中。遮次数目皆同者也一曰超位加減差分乃加減之中。 彼此分数不同者也一曰互和折半差分。蓋立台以首尾二数之交。互和折半以来 中数而遮加遺滅者也一曰首尾互準差分。乃以前幾分之数與後幾分之數。互相 比較或以前幾分與後幾分定為同數以立準則然後立衰數以來之者也然超位 加減即遲加遲減之一類而首尾互準。又為互和折半之変體也 逸加者其数自少而多。以漸而加也。以漸而減者。其数自多而少。以漸而減之數 遞次皆同故以還次名之法中有三色者。以總法比總實即得中一數凡單位者俱 接此例如五色七色九色之類是也有四色者。以總法比總實。得中二數相和折年 之数凡雙位者皆接此例如六色八色十色之類是也既得中数按定数加減則各 色之来丁尋矣 一超位加減者。加減之中。遣次分数不同。即如三人分銀若干。一得三分。一得五分。一 得八分。而彼此分数之比例不同又如三人買物。第一人比第二人多出二倍。第二 人比第三人又多出一倍而加倍之比例不同故謂之趣位加減。然立衰分求之其 遲次加減無異故次於遞次加減之後。 互和折半者。亦如遅次加減之理但用法徴異。遅次加減知応物数知応人数併知 速加遺滅之数以来各数互和折牛。則亦總知物勤総人数。但知首一人比木一人 之較数而求遅加渡減之勘以得各数是以三色老第一数第三数相和折半即第 二数四色者第一款第四数相和折半即第二数第三数之中勤既得中数按数数 之分加減之。即得遅加之数五色六色以至多位者止分奇独立法応以三回為例 俱可以相和折半而得。故名之曰互和折半也 末一人之較数因比較数而得各人分数首尾互準則不知総物数但知漁人数与 首尾二人各分義。或但知首尾敷位共分数由此互相準折而得各項分翼真悪艶 要之但以互和折半之法。逆推之而即得故次於互和折半之後焉 設有金六十両。令甲乙丙三人依次遅加五両分之問各得幾何 畿内加五両得二十五両。即丙應得之數。内加五両得十五両。即甲應得之數也。 首尾互準者即互和折半之変雑。蓋互和折半知総物数知総人数又知首一人比 法以三人為一年。金六十両為二年。一人為三率推得四卒二十両。即乙応得之 此法国甲丙二人所得。穀之乙所得加減之数皆同故以総三人異総六十両之 比即若中一人與中一分二十両之比也 設有鉛三百五十斤。欲作四球依次遞加二十五斤。閩毎球重数若干 法以四球為一率。鉛三百五十斤為二率。一球為三年。推得四卒八十七斤半。即 第二球第三球相和折半之数乃以遅加二十五斤。折半得十二斤半。与八十七 斤半相加得一百斤。即第三球之重。與八十七斤半相減餘七十五斤。即第二球 之垂於第三球重数内。再加二十五斤。得一百二十五斤即第四球之重。於第二 球重数内再減二十五斤。餘五十斤。即第一球之重也此法比例所得八十七斤 半載之第二球多十二斤半。穀之第三球則少十二斤半。故為二球相和折半之 数以追加二十五斤之數折半加減之。即得申二球之重。再以二十五斤加減者 即得第一興第四球之重也 即五等官 法以五分為一率 設有俸糧三百零五石。令五等官依品級遺滅十三石給之。問各得若干 糧三百零五石為二率。一分為三率推得四卒六十 五分也 一石即三等官儀自六十一石遺加十三石得二等七十四石一等八十七石目 六十一石遣滅十三石。得四等四十八石。五等三十五石也 設有銀九百九十六銭分給八人。自来名以上依次違加十七銭問首木両人各該 幾何 応得之数也 法以八人為一歳銀九百九十六致為二年一人為三事推得四年一百二十四 彼朱為第四人第五人相和新半之数万以遠加十七穀折布。得八致当一百 二十四度半相加得一百三十三銭即第四人応得之勤再以十七錠違加三物 得一百八十四銭即第一人応得之義以八致半興一百二十四錠牛相減兼一 一百一十六銭即第五人応得之数再以十七致減退三兆条六十五条勘第八人 設有叙功之二十人。其未一人売銀一百両以上達加三十両間第一人売銀集毎 法以一分為一年追加三十両為二年十九分為三年推符四年五百七十両印 第一人比来一人共多之数於此裏内加入末名之一百両共六百七十両即節一 一人応得之数与未一人所得之数件物共七百七十両賃以二十人乗之得一 万五千四百両。折半得七千七百両即二十人共得之銀数也此法蓋以第一人 此第二十人共多十九個三十両救以一分與進加之三十両相比即如十九分 與弟一人共多於第二十人之五百七十両相比也既得十九分共多之数再加 入来一人之一百両即得第一人唐伝之裏与又首来三数相備以二十人数乗 之。折半得共銀数者蓋以還加之数後此均同。有一人得数至多。未一人得数至 少。有末二人之数相併。折半即為中数。以中数来人数而得共数。今首末二人之 数相併而来折半。即用人数乗之。故所得為共数之加倍数。半之始得共銀数也 設如有牛四十區。但云第一區是三十頭餘遞加二十頭。問第四十區該幾何。總數 幾何 法以一分為一率遅加二十頭為二率三十九分為三率推得四年七百八十加 入第一区之三十。其八百一十頭。即弟四十区之数以首末二区数相併。共八百 四十頭。用四十区乗之。得三万三千六百頭。折半得一万六千八百頭。即四十区 之総数也此法第二区比第一区加二十。由此逓加則第四十区比第一区共第 三十九個二十。故以一分與二十頭相。即如三十九分。與第四十區共多於第 一区之七百八十頭相比也再加入第一区之三十頭即第四十区之数総而併 ○首末両数以総区数四十乗折半御得共数也 設有人一百名。第一人給銀一百両。以下逓減五錢問共該銀銀幾何 法以一分為一卒。遮滅五銭為二率ノ凡十九分為三率推得四卒四十九両五銭 即第一名多於第一百名之数於一百両内減之餘五十両零五銭即第一百名 応路之数又與第一名給銀相併得一百五十両零五錢以一百名乘之得一万 五千零五十両。折半得七千五百二十五両。即共給銀数也蓋給銀逓減五銭五銭則 第一名比第一百名多九十九個五錢故以一分與五錢相比即如九十九分與 第一名総名於第一百名之数相比也。爰以首尾両数相係以名数一百乗之折 半而得総銀数也 設如一人染編。初日薬八尺。日加山尺加至六十尺。固日與絹各幾何 法以初日之八尺與来日之六十尺相加。得六十八尺為首尾両日共染之絹熟 又看八尺以前遶滅至一尺有幾分。今有七分即為七尺於末日之六十尺減也。 餘五十三尺即為共日五十三日乃以二日為一率六十八尺為二率。五十三日 為三年推得四卒一千八百零二尺即五十三日共薬之絹数也此法以二日為 一率者取其首末相合之其日為準也以初日末日之尺数相併為二率春取其 首木尺数相合與首木両日為比也以八尺逓減至一尺而得日数為三卒者蓋 理魚一面 ○而今有之末日 以初日之八尺上數至一尺得數必為七分即為七尺 尖堆法同 六十尺内減去七尺餘五十三尺即為五十三日。故二日興首末相合之尺数相 比即如共日五十三日與共絹之尺數相比也。 設如一人行路。日增六里。與共行三百二十里。但知初末両日共行一百六十里。間 共行幾凡及初日末日各行幾里。 法以初木両日行数一百六十里折半。得八十里乃共日之中数為一率。一日為 二年共行三百二十里為三事推得回事四日即共行日数也又以日增六里折一 年得三里与六里相併得九里加於申数八十里。得八十九里。即第四日所行之 数減於中数八十里余七十一里即第一日所行之数也此法以第四日第一日 行数相併折半者為得四日之中数既得四日之中数与一日之比即如共数異 四日之比也又以日増数之半興日増数相併加減中数而得来日及初日所行 之数者。因所得之中数在第二日第三日之間於中数内加日增数之半。得第三 日所行之点減日数増之本。得第二日所行之数故再加日増数而得来日所行 之概再減日増数而得初日所行之数也 竣如一人残布。尼十三日。共職一千三百五十二丈酉日漸長。毎日加功六寸。至来 日比初日多織七十二寸。問初末二日各織幾何。 法以十三日為一卒。兵織数一千三百五十二寸為二年。一日為三卒。推得四卒。 一百零四寸。乃初来二日之中数為第七日所織数以第七日上計初日下計来 日俱得六分乃以六分与日加六寸相乗得三十六寸。減於第七日之一百零四 寸。得六十八寸。即初日所織之数加於第七日之一百零四寸。得一百四十才即 来日所織之数也此法雖求初来初末雨日之数。然以十三日與職数之比即一日 与初来両日中数之比既得中数按分加也何所不得。此又進次加減法中之又 一例也 設有田七百二十畝令甲乙丙三戸依次辺減分耕。問各該幾何 法以三分為甲衰数二分為乙衰数一分為丙衰動相併得六先為一年応田七 百二十畝為二郎一分為三年推得四年一百二十弐為一分。両所持之数以 二分国之得乙耕二百四十歳三分目也。得甲耕三百六十弐也此法併総衰ゟ 為一年。恩田数為二年老。是將総変分比総田数故六分得七百二十弐分 得一百二十畝。六分中申得二分乙得二分。丙得一分。自甲道次至乙至丙午 一減一分。故為進滅也。凡命法中不定所減分費者即以此法為例 設有銀九十二両。令伯仲叔季四人逓減分之。間各得幾何。 法以四分為伯桑幾三分為仲発義二分為叔衰数一分為季表勤相併得十分 為一章総銀九十二両為二年一分為三年。推得四年九両二銭即季所得之齢 出之昇三十六両八分切御免御成所様三国之得二十七両六銭即仲助仲助仲助 因之得三十六両八錢。即伯所得也。 設有金一十二両六銭。欲挨次遅減造套杯六個。問各重若干。 法以六五四三二一為六杯衰分。併之得二十一分為一率。廿 法以六五四三二一万六杯衰分。併之得二十一分為一率。其金長一十二両六 銭為二年。一分為三年。推得四卒六銭即第六杯重。以二円之得一両二銭即節 五杯重三因之得一両八銭即第四杯重四因之得二両四銭即第三杯重五円 之得三両。即第二杯重。六因之得三両六錢。即第一杯重也。 設有糧一千一百三十四石。令五等戸渡減納之。一等二十四戸。二等三十三戸。三 等四十二戸四等五十一戸。五等六十戸。問各等毎戸応納若干。 法以五四三二一為五等衰分。以五分因一等戸二十四。得一百二十分以四分 因二等戸三十三。得一百三十二分。以三分因三等戸四十二。得一百二十六分。 以二分因四等戸五十一。得一百零二分。以一分因五等戸六十。仍得六十分。總 併之得五百四十分。為一率。総糧一千一百三十四石為二率。一分為三卒。推得 四卒二石一斗。即五等毎戸所納之数以二因之。得四石二斗。即四等每戸所納 之数三因之得六石三斗。即三等每戸所納之熱四因之得八石四斗。即二等毎 戸所納之數。五因之得十石五斗。即一等每戸所納之数也。 設如甲丙丁三人買房一所。共價八百一十両。丙比甲出銀加一倍。丁比甲丙共出 以下為超位 銀又加一倍。問毎人各出幾何 加減差分 法以一分為甲衰熟加一倍得二分。為丙衰数又以甲一分丙二分。相併為三分。 復加一倍得六分。為丁表数相併得九分為一率。総銀八百一十両為二率。甲一 諸比例二 分為三率。得四年九十両。御甲所出銀。加一倍得一百八十両即丙所出銀数 将甲丙共銀復加一倍。得五百四十両。所出銀数也此法以一分為甲数加 一倍為丙数者。因丙比甲銀多一倍也又共甲丙両數加一倍為丁数者因丁比 甲丙共銀又多一倍也故以各人分数併之得共分勤比共銀数即如各人分数 比各人所出銀数也 設有糧七百六十石以船三次運之第一次運十分二次運七分。三次運二分。問毎 次運糧幾何 法以十分七分二分相併。得十九分為一車。共糧七百六十石為二年。十分為三 率。得四卒四百石。即第一次所運之勤如以七分二分各為三卒。即得第二次運 二百八十石。第三次運八十石也此法第一次之十分。二次之七分。三次之二分 即三次衰数分数已明故即以運分作衰分也 設有銅一百八十両依火進減造三等俵路上等比中等加二・中等比下等加一 一倍問三等儀器各得銅幾何 法以一分為下等衰数二分為中等衰数二分加二俵得六分為上等衰難併之 得九分為一率。共銅一百八十両為二率。下等之一分為三率推得四率二十両 即下等儀器之重。加一倍得四十両。即申等儀器之重。又加二倍得一百二十両。 一即上儀等器之重也此法命一分為下等。故加倍得二分為申等数復以二分ノ 加二倍得六分為上等数也 設如一人為高三次。初次獲神比原銀多二倍二次獲利。比初次本利共銀多四條 三次獲神比二次本利共銀又多三倍共計獲科。併原錫得九百両問原銀幾何。 法以一分為初高原銀衰数加二倍。得三分。為初次本利共。又比三分加四倍。 得十五分為二次本利共分又比十五分加三倍。得六十分為三次本利共分。即一 以此六十分為一義。三次本利共銀九百両為二年。一分為三率。推得四率一十一 五両即原銀募也。此法初次加二倍。是原銀外加二倍也。又加四倍是初次本利 共銀外又加回倍也又加三倍是二次本利共銀外又加三倍也故以總分比總一 銀即如一分比原銀也。 一設有米五百三十五石。始興三等。第一等二十五第二等五十名。第三等一百一 十名。一等比二等每名加七斗。二等比三等每石加五斗。問三等毎名各得義抔 法以二等比三等毎名多五斗。興二等五十名相成得二百五十斗。又以一等比 二等毎名多七斗。與二等比三等毎名多五斗相加得十二斗。奥一等二十石相 乗得二百四十斗。両数相仏。得四百九十斗。減於総米五百三十五石餘四百八 十六石乃以一等二十人二等五十人三等一百一十人相併得一百八十人為 若干 一率。四百八十六石為二率。一人為三率推得四年二石七斗。即三等毎人応得 之数加五斗得三石二斗。即二等每人応得之数再加七斗。得三石九斗。即一等 毎人遺得之数也此法以二等比三等毎名多五斗興二等五十人相乗者是求 二等比三等共多之数又以一等比二等毎名多七斗。併二等比三等毎名多五 斗興一等二十人相来者是未一等比三等共多之数也既得一等二等共多分 三等之数於総数内減之所餘即三等相併共一百八十人均分之勤故以一百 八十人比総米四百八十六石即第三等毎一人之比二石七斗也由此加五升。 御得第二等毎人所得之数再加七斗。即侍軍一等毎人所得之数矣 此有来一百八十石。令甲乙丙三人至和折半分之。但知甲多丙三十六石開各設 折半差分 法以三人為一気総米一百八十石為二率。一人為三年推得四年六十石即乙 應得之數次以甲多両三十六石二分物得一十八石加於乙数得七十八石即 甲應得之數減於乙數得四十二石。即丙應得之數也此比法以三人共得之熟比 県中一人屢得之数益甲多乙幾何即乙多丙農係而甲多丙之数又為甲多乙 之倍嶷故以甲多両之数分為二分。於中家内一加一減則後此相戟之数自得 均平故謂之互和折半也 設有銀二百四十両。今趙銭孫李四人互和折半分也但知趙多李一十八両問各 該若干 法以四人為一率。総銀二百四十両為二年。一人為三束。推得四年六十両。内幾 以三立法者用二 孫中二人相和折半之数次取趙多李十八両之数以三歸之。 三歸蓋以之相 歸以四立法者用 比而得較也 得六両即四人逓加之数折半得三両乃中二人 錢銀勤減於六十両。餘五十七両即孫算数。錢銀數内再眞中二人應得數之觀 以此三両加於六十両。得六十三両。加六両得六十九両即捕銀。孫銀数内再 滅六両余五十一両即季銀数也。此法蓋以四人共得之数比得錢孫二人之中 数数之銭数少三両数之孫数多三両。故於六十両中加三両即発数減三両即 孫数既得錢孫中二人数則首末二人。祇按分数加減之而已。 設有兵二万三千八百。令甲乙丙丁戊五縣。互和折半領之。只壬戊少甲三千三百 六十。問各領若干。 法以五分為一率。兵数二万三千八百為二年一分為三歳推得四卒四千七百 六十。即丙所領之勤又取戌少甲之三千三百六十。以四歸之。 得八百四十為平分渡加渡減之数自両数遅加之。符乙領五千六百甲領六千 四百四十。由丙数而遣減者。得丁領三千九百二十。戌領三千零八十也 此有五人而較為 四故用四歸也 最有稲一百九十八畝令甲乙丙丁戊巳六人救老。信知甲比巳多状三十弐間各 法以六人為一弗熱田一百九十八畝為二年。一人為三年推得四卒三十三歳 御両丁中二人相和折半之数次取甲多巳三十畝以五県之得六畝折半得三 畝加於三十三畝得三十六畝即両収数以六畝遺加之得乙状四十二畝甲状 四十八歳又以折半三畝滅於三十三畝余三十弐即丁此数以六畝夏減之碑 戊政二十四畝已収十八畝也 以下為首尾 或如甲乙丙丁四人達次分鉄但知甲得六十九両丁得五十一両。円乙丙各得銀 互準差分 如有四人故用三分如或五人 一法以三分為甲多於丁之衰数 為一率甲六十九両 興丁五十一両相減餘一十八両為二輪一分為三年 奥丁五十一両相減餘一十八両為二年一分為三卒。推得四年六両。即四人所 得還加之数将丁銀五十一両加六両得五十七両即而応得之数再加六両得 六十三両。即乙応得之数也蓋甲数最多。下数最此相差一十八両曲丁至両至 乙至甲相隔三仙則知有三恙故周三分比一十八両即如一分比六両。而為遣 加数也。若三色者。以首尾両数相加折半。即中数其法易求。故不設斜 長如五人遣次路。第一人路孫四十両。第五人路孫二十四両。問中三人各絡孫一 幾何 法以四分。為第一人多於第五人之衰数為一年。第一第五両数相減餘一十六 両為二気一分為三年。推得四卒四両即五人絡絲遣加之数將第五人絡絲二 十四両。還加四両得第四人絡県二十八両。第三人絡絲三十二両。第二人路深 三十六両也此法用四為除法蓋第五與第一相隔四位則知有四差故用四為 比例也 又法以第一第五両数相加折半。得三十二両即第三人所絡之数又以第一第 三両数相加折半。得三十六両。即第二人所絡之数。復以第三第五両数相加折 半。得二十八両。即第四人所路之数此法即前互和折半之法。凡位数奇者。俱可 用如三五七九是也 設如七人運糧不言総数但知第一人第二人共運二十三石七斗。第五人第六人 第七人共運二十六石一斗。其遺加之類俱相等。問第三人第四人與前後五人 各運幾何 法以第一第二両人共運二十三石七斗。折半得十一石八斗五升。為第一第二 両人相和折半之数。第五第六第七三人共運二十六石一斗三島之。得八石七 斗。即第六人応運之験乃以第一分第二分之中数一分年。與第六分相減。餘四 分半為一率。第一第二両人相和折半之十一石八斗五升。内滅第六人之八石 七斗。餘三石一斗五升為二卒。一分為三卒。推得四率七斗。即毎人遣加之数由 第六人八石七斗而下。減七斗。得第七人応運八石。由第六人八石七斗而上遣 加七斗。得第五人應運九石四斗。第四人応運十石一升。第三人応運十石八斗。 第二人応運十一石五斗。第一人応運十二石二斗也。此法蓋因第一人第二人 相和折半之数至第二人差半分。至第三人差一分半。至第四人差二分半。至第 五人差三分半。至第六人則差四分半。故先以第一第二之中数。與第六相減得 其四分半之差数而以四分半比前二人相和折半多於第六人之六石三弗即 如一分比毎人遅加之七斗也。 設如八人分銀不言総数。但知第一第二第三三人共得四十五両。第七第八二人 共得八十五両。其遅加之数俱相等。問各人応得若干。 法以前三人共得銀数四十五両用三帰之得十五両。即第二人応得之数。後二 人共得八十五両。折半得四十二両五銭。即弟七第八両人相和折半之数乃以 第二分與第七分第八分之中数七分半相減餘五分半為一率。第二人應得之 十五両與役二人相和折半之四十二両五銭相減条二十七両五銭為二事一 分為三章。推得四章五両即毎人遅加之勤第於二人十五両内減五両即得第 一人十両。於第二人十五両外。遞加五両。即得第三人二十両。第四人二十五両 第五人三十両第六人三十五両第七人四十両第八人四十五両之数也此法 蓋因第二人至第三人差一分。至第四人差二分至第五人差三分。至第六人差 四分。至第七人差五分。至第七第八両人相和折半之数則差五分也。故先以第 二無第七第八之中数相減得其五分半之差数。而以五分半比後二人相和折 半多於第二人之勤即如毎一分比毎人遅加之數也 設有竹九節。截為九箇貳未。遅次長短不均。但知根底三鼠。共盛米三升九合。指上 四節。共盛米三升。問九節各盛米数幾何 法以根底第一第二第三三節共。城来三升九合。用三歸之得一升三合。即第二 節盛未之數。稍上第六第七節八第九四節。共盛米三升。用四歸之得七合五勺。 御第七第八両節相和折半之数乃以第二分与第七分第八分之中数七分半 相減餘五分半為一率。第二節盛米一升三合。内減第七第八両節相和折半之 七合五勺。餘五合五勺為二率。一分為三率。推得四卒一合。即毎節進加之數自 第二節盛米一升三合而上。加一合。即得第一節盛米一升四合。自第二節盛米 一升三合而下。遅減一合。即得第三節盛一升二合。第四合盛一升一合。第五節 盛一升。第六節盛九合。第七節盛八合。第八節或七合。第九節盛六合也。 設有米二百四十石。令甲乙丙丁戌五人遅減納之定甲乙二人納数與丙丁戌三 人納数相等問五人各納幾何 自甲至乙至丙至丁至戌 法以四分為甲多於戊之衰数二 同四位故以四分為衰数 三分為乙多於戊之衰 賜併之為七分以二分為丙多於戌之衰数一分為丁多於戌之衰数併之為三 分乃以三分与七分相減餘四分為前二人多於後三人之較又以前二人与後 三人相減餘一人為後三人多於前二人之輙夫前多四分従多一人而其数相 委則四分即為一人之数乃以一人為一事四分為二年戌一人為三年推得四 率仍得四分。即定為戌一人之分数各加毎人所多衰勤則甲得八分乙得七分 併之得十五分。丙得六分。丁得五分。併戌之四分。亦得十五分。是前後分数已同 矣乃以両總分相備得三十分為一率。総米二百四十石為二車。一分為三率。推一 得四率八石即毎一分之数。用甲之八分来之。得甲之六十四石用乙之七分来 之得乙之五十六石。併之共得一百二十石用丙之六分来之。得両之四十八石。 用丁之五分乗之。得丁之四十石。用戌之四分東之得戌之三十二石。併之亦共 得一百二十石。是甲乙二人納。與丙丁戌三人納数等也 設有銀六百両。令甲乙丙丁戊巳六人。退加分之定甲乙丙丁四人。奥戌巳二人分 数相等問六人各分幾何 法以一分為乙多於甲之衰数二分為丙多於甲之衰数三分為丁多於甲之衰 勤併之為六分。四分為戌多於甲之衰数五分為已多於甲之衰数併之為九分。 乃以六分與九分相減餘三分為後二人多於前四人之較又以前四人與後二 人相減餘二人。為前四人多於後二人之斬夫前多二人後多三分而其数相等。 則三分即為二人之数乃以二人為一率三分為二率申一人為三卒推得四卒 一分五 即一分 半也 即定為甲一人之分数各加毎人所多衰数則乙得二分半。丙得 三分半。丁得四分半。併甲乙丙丁四人数得十二分戌得五分半。已得六分半。併 戌已二人数亦得十二分足前後分数已同矣。乃以両総分相備。得二十四分為 一率總銀六百両為二率。一分為三卒。推得四卒二十五両。即毎一分之類用甲 一分半桑之得甲三十七両五銭用乙二分半来之得乙六十二両五銭用丙三 分半乗之得丙八十七両五銭用丁四分半来之得丁一百一十二両五銭併四 人数共得三百両。用戌五分半来来之得戌一百三十七両五銭用巳六分半来之 得已一百六十二両五銭併二人数亦共得三百両是甲乙丙丁四人銀数与戊 已二人銀数等也 設有糧一千零九十二石令七次遅減運送定前二次与後五次運送之数相等問 毎次運送幾何 自第一次至第七次相隔六位応 法以十八分為第一次比第七次所多之衰数白 以六分為衰数是為毎次遞加一 分今将六分用三因之為十八分是為毎一夜逓 十五分為第二次比第七次第 三分故各衰五四三二一俱用三国其比例仍同也 所多之衰勤併之為三十三分。十二分為第三次比第七次所多之衰数九分為 四次比第七次所多之衰数六分為第五次比第七次所多之衰数三分為第六 次比第七次所多之衰数併之為三十分。乃以三十分与三十三分相減余三分 為前雨次多於後五次之輪又以後五次與前雨次相減餘三次為後五次多於 前両次之輪夫前多三分後多三次而其数相等則三分即為三次之数乃以三 次為一率三分為二年。一次為三率推得四卒一分即為第七次之分数各加算 次所多衰勤第一次得十九分。第二次得十六分。併之得三十五分。第三次得十 三分。第四次得一十分。第五次得七分。第六次得四分併第七次之一分。亦得三 十五分。是前後分数已同矣。乃以雨総分相儀。得七十分為一率。總糧一千零九 十二石為二率。一分為三卒。推得四年一十五石六斗。即弟七次一分所運之数 用十九分乗之。得二百九十六石四斗。即第一次所運之数用十六分乗之。得二 百四十九石六斗。即第二次所運之数。併両次共得五百四十六石。用十三分乗 之得二百零二石八斗。即弟三次所運之数用一十分乗之得一百五十六石。即 第四次所運之数用七分乗之得一百零九石二斗。即第五次所運之数用四分 乗之得六十二石四斗。即第六次所運之数併第七次所運之一十五石六斗。亦 共得五百四十六石是前二次運送糧数與後五次運送糧数等也。 呉県葉耀元校 江斎李錫恩校 土畜本難風林 喜藤叢子林 其昇正百四十六石臺南二太置氣盤眞眞典典眞主對異發世界及 乗文百六十二百四十四年六未尚更ニ其世帯人太前監支一十五百六十六年有 一、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、〇〇 桂 貴意義に 貴意筆慮芳 八十一 金 中西算学大成程 二十 一、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、〇〇
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