狩 20074 番勢9521 嘉永甲寅秋鐫 弧角小成 星舎蔵梓 三十一 狩野氏図書記 序記図 十一 自疏入精去煩就簡有為 算術之要矣巻古也臨日一 煩今也精旦留是非古今 人智異也年研月窮而 嘉永甲寅秋鐫 弧角小成 星舎蔵梓 卅四 狩野氏図書記 京 匡香 序記図 十百六十四 自疏入精去煩就簡有為 算術之要矣巻古也臨日一 煩今也精旦簡是非古今 人智異也奉研月窮而 然耳古之測天唯用句般之 漸而未有如難角法之精也 夫孤角法有八線表示未免推 算之煩矣参友恵川正中善修 結象之学傍覚西洋土頗有 発明焉乃作孤角之捷法以得 四郷対数之妙用豈所謂自 跡入精去煩就簡者非邪正中 形心其術於世編物所冊以繍 梓段序参々困費乎算法 然一尤其新法必冬益於を故 類題一言百尓御つ子者分以小冊 蔑視之義石履撰并書 団性 廿五五 弧角小成 以テ志川景之彌五郎編 紀藩 同山中信古篤之助校 弧三角総論 弧三角者。球面弧線所成也。其三弧。三角。各有相 應之八線。弧與弧相交。即線與線相遇。而似形比 例生焉。於是乎。有黄道可以知赤道。有赤道可以 知黄道有經可以知緯有緯可以知經暦象之法。 至此面備矣。葢西洋新法暦書。暦算全書。暦象考 成等所載推算之法。全用八線表。故繁雜書 用八線對數表。則以加減代乗除。省推算之煩。不 少矣。然未能盡通之弧三角法也。今八線。而省其 四線用四線對數則其理直捷簡要。而其省推算 之煩。超越前古。弘三角之法盡矣。 弧三角形網領 凡弧三角形皆在球面。球面之腰圍一線謂之大 圏如甲乙丙丁如戊巳。如庚辛如乙壬丁癸之類 亦皆為大圏其周度皆相等。為三百六十度。故可 甲 庚 子 甲 極 以相為比例凡図皆有極極距圏 皆九十度。如甲乙丙丁。如戊已。如 庚辛。如乙壬丁癸則各有其極若 圏不相等則為距等圏如子五二 圏其四圍之距大圏皆相等。而與 大圏平行雖亦為三百六十度其 丙 分則小於大圏。愈遠距極愈近則 其圏愈小至極一點。而止不能與 大圏為比例故弧三角之角度邉 度。皆大圏之度也。 凡兩大圏於球上相交。各為兩平分。相距半周一 百八十度。名其角度。則必取其圖各足九十度弧 丙庚乙 其對角之弧。卽為本角之度。如乙 ネ 戊。丙丁雨圖交甲自甲至乙及丙 辛 各九十度其乙丙弧則甲乙丙三 角形之甲角度。亦己丁戊三角形 之已角度。蓋甲已為極。則庚辛壬癸為腰圏也。 凡弧三角形之三弧不足九十度者必引長至九 十度其對角弧方為本角度。如甲乙丙弧三角形 辛 三弧皆不足九十度。則將甲乙弧 引長至丁甲丙弧引長至戊作丁 戊弧其丁戊弧之度即甲角之度 戊 也。又將乙甲弧引長至已。乙丙弧 引長至庚作已庚弧其已庚弘之度即乙角之度 也。又將丙甲弧引長至辛。丙乙弧引長至壬。作辛 壬弧其辛壬弧之度即丙角之度也。 凡弧三角形其角適足九十度者為直角大於九 十度者為鈍角不及九十度者為鋭角三角内有 一直角謂之正弧三角形。三角内並無直角謂之 斜弧三角形。正弧三角形之角。有三直角者其三 邉必並足 足謂足 九十度 如甲形有二直角。一鋭角者其 。不及九十 邉必二邉足一邉小 度為小 如乙形有二直角 一鈍角者。其邉必二邊足。一邉大 甲 乙 直 銭金 丙 過九十 度為大 如丙形。以上三種。不須用 直 算。又有一直角。兩鋭角者。其三邊 必小 。内分二種一種兩鋭角同度 兩邊必等一種兩鋭角不同 已 戊 度三邉 如丁形。有一直角。雨鈍角 必不等 内分二 者。其二邉必大。一邉必小。 種一種 兩鈍角同度其兩大邉必等一 種兩鈍角不同度三邉必不等 如 刻 戊形。有一直角。一鋭角。一鈍角者 内分二種一種鋭 其一邉必小。二邉必大。不同度。 鈍雨角合之成半 周一種合鋭鈍兩 角不能成半周 如已形計正弧三角形九種。而 用算者六也。斜弧三角形之角。有三角並鋭者。其 三邉必並小。 ・。内分三種一種二角同度其二邉必 同等一種三角不同度其三邉必不等 内 一種三角俱同 如庚形。有二角鈍而一角鋭者。 度其邉必皆等 分 一気鋭 辛 鈍 金 四種一種二鈍角同度其二邉必 大同度一邉小一種二鈍角不同 度其一邉小二邉大不等一種鋭 角為一鈍角減半周之餘其一邉 小二邉大内一大邉為小邉減半 却之除一重二純角洞等而又並 周之餘一種二鈍角相等而又並 為鋭角減半周之餘其一邉小二 邉大同度又皆為小邉減半周之 餘 内分三支一支 餘如辛形。有二角鋭。而一角鈍者。 二鋭角相等内 分四種一種二邉小同度一邉足一種三邉並小 同者二一種二邉小同度一邉大一種鈍角為鋭 角減半周之餘一邉大二邉小同度其大邉爲小 邉減半周之餘一支二鋭角不同度内分五種一 種一邉足二邉小一種三邉並小一種一邉大二 邉小一種一邉大一邉足一邉小一種二邉大一 邉小一支一鋭角為鈍角減半周之餘内分三種 一種二邉大一邉小内一大邉爲小邉減半周之 癸 鈍 壬 子 餘一種二邉小一邉大内一小邉 為大邉減半周之餘一種一邉足 一邉大一邉小其小邉 為大邉減半周之餘 如壬○奏形。 内分二支一支二 有三角並鈍者。 角同度内分三種 一種二邉大同度一邉足一種三 邉並大同度二一種二邉大同度 一邉小一支三角不同度内分三種一種二邉大 一邉足一種三邉並大一種二邉大一邉小又一 種三角俱同度三 如子形。計斜弧三角形。二十六 邉並大又皆同度 内除正弧三種不 種也。通共弧三角形。三十五種。 須用算實三十二 種 。而形勢已盡矣。 附八線名 圏内線相當之理 義及用法 毎弧毎角有八種線曰正弦曰正切線曰正割線 琳 曰正矢曰餘弦曰餘切線曰餘割線曰餘割線。曰餘。曰餘。曰餘。曰餘矣。并全 數為九種諸線内各有相當之理皆依三邊形等 巳 戊 角比例法。如上圖丙丁為 まし 正弘甲丁為正弦。丙辛為 甲 正切線。乙辛為正割線。甲 丙為正矢丁戊為餘弦巳 辛 丙 壬為餘切線乙壬為餘割 線戊巳為餘矢乙丙乙丙○乙乙乙巳皆全數也則乙丙乙丙乙乙乙乙乙則乙則乙丙乙丙乙乙乙乙乙則乙則乙丙乙丙乙乙乙巳皆全數也則乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙乙乙乙乙乙乙巳皆全數也。乙巳皆全數也。乙 辛。壬己乙兩形相似。何者丙己各直角。乙己。丙辛 為平行。乙辛直線割兩平行。即其相對兩内角。必 等既丙辛乙壬乙己兩角等。卽其對邉相似也。 假如丙丁弧。為五十三度二十五分。求其各線。則 檢八線表。得正弦甲丁 九九〇 〇八〇二 其對數 九九〇九 四七一 一三四七 六正切丙辛 三一九七 其對數 一〇一二九 四七〇七 九 若弧 度帯秒數。或以線求弧度之秒數者。按中比例法 求之設為二十三度二十七分三十九秒。求其正 切線之對數則檢二十三度二十七分之正切對 数為 九六三七 與二十三度二十八分之正切對 二六四六 数 九六三七 六一〇六 相減余 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 為較数。乃以六十 三四六〇 三四 秒為一率。較數 為二率。設三十九秒為三率 六〇 六〇 二二 求得四率 四九 與二十三度二十七分之正切對 数 九六三七 二六四六 相加 因二十七分之對數小於二十 八分之對數故相加反是則相 滅得 地得 九六三七 即二十三度二十七分三十九秒 四八九五 九九九八 求其度 之正切對數也。又設餘弦對數。 一四七七 九九九八 分秒。則表中檢近餘弦對數。 一五一九 之度分得 五度一 五度一 十七分 必有此度分之後。故與一 十八分 之余弦 九 九 九八 三九三 相減餘 六 一二 為一率。六十秒為二率。設餘 四 弦對數。與近餘弦對數。相減餘一 為三率求得四 二 二 (二十 二十 率一 率 與近數之度分。相加 ○利 因有近數之後故相 加反是則相減也 得 行 五度一十七 文九九九八 九九九八 即設餘弦對數、 分二十〇秒 一四七七 之度分 秒也。他傚此。右所用八位毎分之對數表也。用十 一位毎秒對數表者。直査檢得秒數。而以六十微 為中比例。漸加密矣。求真數法同。 假以直線三角形。詳相當之理。及似形之比 例。 例。 戊 丙 七冊 如圖。圓内作甲乙径。及甲丙 線。次自圓心丁。作丁戊線。與 甲丙平行。又作丁丙線。各半 徑丁甲丙角與丁丙甲角等 則乙丁戊角。與戊丁丙角。亦 等而乙戊或戊丙弧度也故甲角旁直線至圓周 乙。丙其兩間弧即甲角所對弧而甲角之倍度也 如左圖丙甲丁角之倍度丁丙弧内減乙甲丁角 之倍度丁乙弧。餘乙丙弧。卽乙甲丙角之倍度也。 然則圓内三角形角度者其 所對弧度之半。而甲乙丙三 角形。甲角對乙丙弧。乙角對 甲丙弧丙角對甲乙弧合三 對弧。得全周。故半之一百八 十度。即合三角之度也。 如甲乙丙直線三角形有三邊。求三角者。用和較 法。先自乙角作垂線正立甲丙邊於丁。以甲乙邊 引長之。乙為心。丙為界。作圏。截引長邊于戌。及甲 乙邊于已。甲丙邊于庚次作。 丙戊線。又平分甲丙邊于辛 自辛。作辛壬線。與丙戌平行。 卽士點。平分于甲戌邊。末作 庚巳線。於是乎。戊己庚角。與 此理既 庚丙戊弧之半等 詳前 貝 甲庚巳三角形之已角必與 庚巳戌弧之半等。甲丙戌三角形之丙角亦與庚 己戊弧之半等。故甲丙戌形之丙角與甲巳庚形 之已角等。又兩形。同於甲角。然則兩形相似矣。甲 丙。内減丙庚。餘甲庚。半之與丁辛等。甲乙。内減乙 丙 ○與乙 己等 餘甲巳。半之與乙壬等。甲乙加乙丙。半之 即戌壬也。故以甲丙與甲戊之比同於甲巳與甲 一率甲丙半丙辛 二率甲乙乙丙和半戊壬 庚之比即亦以丙辛與戊壬之比 同於乙壬與丁辛之比也 三率甲乙乙丙較半乙壬 四率丁辛 作垂線。亦同理。而至得甲丁。及丙 丁線。加減相反而已。 如甲乙丙直線三角形。有甲丙。乙丙邊。有夾丙角。 求餘邉餘角者。用切線分外角法。先以乙丙邉。引 ○其丁乙 長之。丙為心。甲為界。作圏。截引長邉于丁。 線者両 邉 及乙丙辺于 相達 和 子 ○其戌乙線 次 次 戊 戊 め 者両辺較 壬 作甲丁。及甲戌 田 線又丙甲邉引 庚 長之。而切圏周 己。作線與甲丁平行。截引長邉于唐辛。又作丙壬 癸。及戊子線皆與甲丁平行。末作丙丑巳。及丙寅 卯線與甲乙平行。截圓周子辰。其丁辰弧與甲乙 丙角等。則辰巳者。甲乙兩角之較半也。又丑寅與 壬癸等。則子戊者。丑寅一倍也。故兩邊和乙丁與 丁甲若兩邉較乙戊與丑寅一倍子戌。然則兩邊 和半與丑丁。若兩邊較半與丑寅。亦若半外角丁 一率甲乙乙丙乾半 二率甲乙乙丙和半 三率半較角正切巳卯 四率半外角正切巳辛 己弧之正切巳辛與半較角己辰 弧之正切已卯。以切線為比例也。 此法雖卷中非所關。以其同類。故 附於此。 正弧三角形論 正弧三角形。必有一直角者。所知之三件。弧角相 正弦餘弦 所成勾股為比例。 對者。用弧角之四線。 正切餘切 而弧角不相對者。則用次形。蓋以弧角之四線所 成勾股比例。不生於本形。而生於次形。而次形者。 乃以本形與象限相減之餘度所成。故用本形之 餘弦餘切。卽用次形之正弦。正切也。其法。可易弧 為角易角為弧邉與角雖不相對可易為相對且 知三角。可以求邉。其理實一以貫之也。 正弘三角形四線勾股比例図解 丁 戊戌 卯 癸 子 如甲乙丙正 弧三角形。 為直角。甲丁。 甲戌冬為象 限。丙癸為半 径。癸巳為甲 丙邊之餘弦 庚癸為乙丙 一率半径 二率甲丙餘弦 三率乙丙餘弦 四率甲乙余強 一率半径 二 二率甲角餘弦 三卒甲乙正切 四率甲丙正切 邉之餘弦。壬癸為甲乙邉之餘弦。 丙己癸勾股形。與庚壬癸勾股形 為相似形。故以丙癸與癸巳之比 同於庚癸與癸壬之比也。此為一 比例○丁癸為半径。卯癸為甲角 丁戊弧之餘弦。甲子為甲乙邉之 正切。甲丑為甲丙邊之正切。子甲 丑。與丁癸卯勾股為相似形。故以 丁癸與癸卯之比。同於子甲與甲 率半径 三 二率甲角正切 三率甲丙正弦 四率乙丙正切 一率半径 四 二率甲角正弦 三率甲乙正弦 四率乙丙正弦 丑之比也。此為二比例。○戊癸為 半径。戊寅為甲角丁戊弧之正切。 丙已為甲丙邊之正弦。丙辰為乙 丙邊之正切。癸戊寅。與己丙辰勾 股為相似形。故以戊癸與戊寅之 比。同於丙巳與丙辰之比也。此為 三比例○丁癸為半径丁卯為甲 角丁戊弧之正弦。乙壬為甲乙邊 之正弦。乙庚為乙丙邊之正弦。丁 卯癸與乙庚壬勾股為相似形。故以丁癸與丁卯 之比。同於乙壬與乙庚之比也此為四比例 正弧三角形用次形比例図解 如甲乙丙形可易乙丁巳次形蓋甲戌○甲丁○丙巳 戊巳○四弧皆象限九十度於甲丁象限弧内○減甲 乙弧餘即次形之乙丁邉於丙已象限弧内減乙 丙弧餘即次形之乙巳邉於戊巳象限弧内減戊 即甲 丁紙 角度 餘即次形之丁已邊於甲戌象限弧内 減甲丙弧餘丙戊弧。即次形之已角度。是次形之 三邊。一角即本形三邊。一角之餘度而用本形之 餘弦餘切。實即用次 次形 形之正弦。正切也又 本 形 次形之丁角為直角 與本形之丙角等。乙 為交角。其度又等。 以本形第三比例變 之。而為五比例則以 一率半径如本二率甲角正切。易乙角正切卽與 本形乙角等。三率甲丙邊正弦。易 一一率半徑一 一率半径 乙丁邊正弦。卽本形甲乙邊餘弦。 五 二率乙角正切 三卒甲乙餘弦 四率乙丙邊正切易丁巳邊正切 一四率甲角餘切 四卒甲角餘切 卽本形甲角餘切也。又以本形第 四比例。變之。而為六比例。則以一 六 一率ハキ径 二率乙角正弦 三率乙丙餘強 四率甲角餘弦 率半径如本。二率甲角正弦。易乙 角正弦。卽與本形乙角等。三率甲 乙邊正弦。易乙巳邊正弦。卽本形 乙丙邊餘弦。四率乙丙邊正弦易 己丁邉正弦卽本形甲角餘弦也。以右六則比例。 則正弧之用已備矣。 斜弧三角形論 斜弧三角形者。三角俱鋭。或三角俱鈍。或兩鋭。一 鈍或兩鈍。一鋭其三邊或俱大或俱小或兩大。一 小或兩小。一大參錯成形。為類甚多。而繁雜警。 葢三角。三邉。各有八線但線與線之比例相當即 可相求。是故或同歩一星或同推一數而所用之 法彼此互異。故約為三法求之。無論角之鋭鈍。邊 大小。雖省繁雜。其法全用八線。加減乗除亦不少。 而未得盡用對數。遂使學者莫知所從。又約以四 正弦正切 線 餘弦餘切 之對數求之其法。先明三比例之理。 其一以對邉對角為比例。其一以垂弧分邉為比 例。其一以半總較為比例。而並視先所知之三件 為斷。其先知之三件。有相對之邉角。或有對所求 之邊角。則用對邉對角比例法。又先知之三件。有 或求角而無對 相對之邉角。而無對所求之邊角。 而無對 角之邉或求邊 勝則用垂弧法。又先知之三件。無相對之邉 邉之角 角 以或有兩邊一角而角在所知兩邉之間 或有兩角一邊而邉在所知兩角之間一 則用垂 弧分邉比例法。又先知之三件。倶邉。或俱角。則用 半總較比例法。明此四法。則斜弧之用已盡矣。 斜弧三角形對邉對角比例圖解 如甲乙丙斜弧三角形。先自乙角作 乙丁垂弧分為兩形。而用正弧第四 比例則甲乙邊正弦因甲角正弦。與 乙丁弧正弦因半徑等。又丙乙邊正 弦因丙角正弦與乙丁弧正弦因半 徑等。然則甲乙邉正弦因甲角正弦與乙丙邊正 弦因丙角正弦亦等。故以甲角正弦 一率甲角正弦 二率乙丙正弦 三率乙角正弦 四率甲丙正弦 與所對乙丙邊正弦之比同於丙角 正弦與所對甲乙邉正弦之比變之 亦同於乙角正弦與所對甲丙邊正 弦之比矣。 斜弧三角形垂弧分邉比例圖解 如甲乙丙斜弧三角形。自乙角作乙丁垂弧分甲 或有 丙邊其有甲乙。乙丙邊。及甲丁弧求丙丁弧。 丙丁 氏 瓢求甲 則乙丙邊與 丁弧 乙戊弘等。 丙 □□□□□ 甲ノ 一率甲乙余強 二率甲丁餘強 三率乙丙餘強 則乙丙乙 戊皆為距 等圖所截 又戊壬與 四率丙丁餘弦 丙壬皆為 距等圏半 径 乙癸子 癸。皆為半径辛癸為 甲乙邉之餘弦。庚癸為甲丁弧之餘弦。壬癸為乙 丙邊之餘弦。巳癸為丙丁弧之餘弦。壬癸巳。與辛 一冊 癸庚勾股為同式形。故以辛癸與庚癸之比同於 壬癸與巳癸之比矣。 斜弧三角形半總較比例図解 如甲乙丙斜弧三角形先知三邊者。則以乙角傍 乙丙乙戌二弧者 乙甲乙丙二邊相加加。得甲戌弧。 乙為心距等図所 截故其 度等 半之戊丑弧為半總弧乙甲乙丙二邊相 減。餘手之得乙丑弧為半較弧。平分甲丙邊得子 丙弧又自乙角作無弧至甲丙邊於丁以其丙丁 弧減子丙弧。餘得子丁弧。為甲丁與丁丙較弧半 □□□□□□ 早 癸為球心。乙 癸○丙癸○丁癸 戌癸子癸丑 奏。皆半径也。 乙丙與乙戊 同度則其正 弦己丙與已 戊亦等也。已 庚線正立于甲丙通弦。而與無弧乙丁相對。又平 分甲戌。申丙。両通弦。於壬辛。其壬辛線。與子丑相 對。又己壬與半較乙丑弧之正切丑寅。半總丑戊 弧之正弦壬戌與其正切五卯庚辛與子丁弧之 正切子辰。子丙弧之正弦辛丙與其正切子己各 此理 羊見 相對。故以丙辛與戊壬○若己壬與庚辛之比。 詳見 前條直線三 角形解中 同於甲丙半邉子丙 一率子丙弧正切 二率半総五戊弧正切 弧之正切子己與半總丑戊弧之 三率半較丑乙弘正切 四率子丁強正切 正切丑卯。若半較乙丑弧之正切 丑寅與丁甲丁丙較半丁子弧之 正切子辰之比矣。 斜弧三角形用法 乙 甲 一率甲角正弦 二率乙丙正弦 三率乙角正弦 四率甲丙正弦 仮如甲乙丙三角形。有甲角 六十 乙 度。 度 角 九十八度一十 乙丙邉 七分一十三秒。 五十 一七五 十一丁 求甲 八度 六 丙邊。則用對邉對角比例。以甲角 六 六 十 十 度 九九三七 正弦対数 為一率乙丙 五三〇六 邉 五十 九九二八 為二率。 正弦対数 四二〇五 八度 乙角 九十八度一十 七分一十三秒 九九 正弦對數 九五 四四 一五 二済三率相加 為三卒求得 内滅一率餘 四 率 九九八六 七十五 為甲丙邊正弦對數。檢表得 慶四十 三三一四 二分〇 一秒 卽甲丙邊之度也。此有對角求對邉之法 皆用四線之對數 也。有對邉求對角之法。反此矣。 不用真數故下不 掲對數 二字 仮如甲乙丙三角形。有甲角 六十 度。 甲乙邉 五十 乙 度。乙 度。 丙辺 五・ 五十 八度 求乙角及甲丙邉先求丙 角。故用對邉對角比例。以乙丙邊〕 五 十 八 十八 度 正弦 九九二八 為一率。甲角 四二〇五 ハ十 六十 四二〇五 度 正弦 一九三七 九九三七 為二率甲乙邊 五三〇六 五十 度. 度 一率乙丙正弦 二率甲角正弦 三率甲乙正弦 四率丙角正弦 正弦 九八八四 九 為三率求得四率一 二五四〇 八 九三三 為丙角正弦。檢表得 五十一 度二十 六四一 八分 十二秒 即丙角之度也次自乙角作 乙丁垂弧。分為兩正弧三角形。乃用 一率半径 二率甲角餘弦 三率甲乙正切 四卒甲丁正切 一〇〇〇〇〇〇 正弧第二比例。以半径 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 為一率。甲角 六十 度 餘弦 九六九八 九七〇〇 為 二率。甲乙邉 五十 五十 正切 度 一〇〇七六 一八六五 九七七五 為三率求得四率 一五六五 為甲丁 三十度四十七 弧之正切。檢表得 分二十三秒 即 甲丁弧之度也。對換之則以半徑一 ○ 一率半径 一率半径 二率丙角餘弦 三率乙丙正切 ○○○○ ○○○○○○○○○○ ○○○ 五十一度二 為一率丙角 十八分一十 二 抄 餘弦 九七九四 為二率。乙丙邊一 五 四三五三 十 四率丙丁正切 八 度 度 正切 一〇二〇四 二一〇八 為三率求得四 率 九九九八 六四六 一ノ為丙丁弧之正切。検表 一率乙丙正弦 二率甲角正弦 三率甲丙正弦 四率乙角正弦 得 行 四十四度五十一 即丙丁弧之度。與 四分三十八秒、 七十五度四十 甲丁弧相加。得 二分○一秒一 即甲 。若作無弧於形外者 丙邉之度也。 相減餘為甲丙邊 又 用對邉對角比例。以乙丙邉 五十 八度 正 弦 弓 九九二八 四二〇五 為一率甲角 六十 度 度 正弦 九九三七 五三〇六 為 七十五度四十 二率。甲丙邊 二分〇一秒 正弦 九九八六 三三一三 為三 率求得四率 九 九九九五 為乙角之正弦。檢表得」 四四一四 十 八度一十七 卽乙角之度也。此作無弧之法也。 分一十三秒、 一百二十二 仮如甲乙丙三角形有乙角 度二十九分。 甲乙邉 二十三度 三十分。 乙丙邊 九十二度 求甲丙 三十七分。 邉及丙角。先自甲角作甲丁垂弧於 甲 形外。補成兩正弧三角形。乃用正弧 第二比例以半径 一〇〇〇〇 ○○○○○○○○○○○ 為一 一率半径 二率乙角餘弦 三率甲乙正切 四率乙丁正切 一率乙丁餘弦 二率甲乙餘弦 三率丙丁餘弦 四率甲丙餘弦 率乙外角 五十七度 三十一分 餘弦 九七三〇 八二 二十三症 為二率甲乙邉 三十分 二十三度 正切 九六 三八 九三六八 三〇 2. 為三率求得四率 三二〇一 為 一九 一十三度〇 乙丁弧之正切。檢表得 八分三十八 秒三十 五微 即乙丁弧之度也。次用垂弧 一十三度○八 分邉比例。以乙丁弧 分三十八秒三 九九八八 九九八八 十五 五餘弦一 徹負引 四七〇四 為一率甲乙邉 二十三度 三十分 餘弦 九九六二 為二率乙 三九七八 二百〇五度四 一百〇五度四 丁與乙丙相加。得丙丁弧 十五分三十八 一率甲丙正弦 二率乙角正弦 三率甲乙正弦 四率丙角正弦 秒三十 五歳 其餘弦 九四三三 九六二五 為三率求 得四率 九四〇七 為甲丙辺之餘弦 八八九九 検表得 一百〇四度四、 一百〇四度四十 九分一十四秒 即甲丙辺 之度也。末用對邉對角比例以甲丙 邉 一百〇四度四十一 九分一十四秒 正弦 九九八五 三〇六〇 為一率乙角 一百二十二一 度二十九分 正弦 九九二六 為二率。甲乙邉。 一〇九六 二十 三度 三十 分 正弦 一九六〇〇 九五四一 為三率求得四率 五〇三三 六九九七 五〇三三 二十〇度二十 為丙角之正弦。檢表得 即丙角之 一分四十一秒一 度也此兩邉夾一角之法也。 六十度三十 仮如甲乙丙三角形。有甲角一 九分一十秒。 乙 百 一 二十二度 二十九分。 甲乙邊 二十三度 三十分。 求丙角 及甲丙邊。乃用次形法。先求丙角將 甲乙丙形。可易為丁已戊次形。葢甲 庚 角度當庚辛弧。而庚辛與戊巳等 巳 與辛戌皆象限故 故本形之甲角。即次形之已戊 庚辛與戊巳等 壬己 邊。乙外角之度當壬癸弧。而壬癸與巳丁等。 與奏 丁皆象限故壬 癸與己丁等 故本形之乙外角即次形之已丁 子戊與 邊丙角之度當子丑弧。而子丑與戊丁等 五丁皆 象限故子丑 與戊丁等 故本形 之丙角。即次形之丁 戌辺是本形之三角 内最濶角 用其外角 即次形之 三邊也又次形丁角 甲 本形 乙 二之度當癸丑弧ノ而癸 丙丑輿 丑與乙丙等 乙癸皆 象限故癸丑 第酉百癸丑 故次形之丁角。即本形之乙丙邊戊 與乙丙等 丙子與甲 外角之度當辛子弧ノ而辛子與甲丙等 辛皆象限 本所近隣町四人 故辛子輿 甲丙等 故次形之戌外角。即本形 戍 之甲丙邊。巳角之度當庚壬弧。而庚 壬與甲乙等。 乙壬與甲寅皆象印 故庚壬與甲乙等 故 次形之已角。卽本形之甲乙邊。是本 内最長邉 形之三邉 即次形之三角 用其餘邉 一率半径 二率己角餘弦 三率戊己正切 四率巳寅正切 也。然則用次形丁戊已三角。有已戊 邉 六十度三十九分 一十秒。即甲角。 丁巳辺 五十七 度三十 一分。即 乙外角 ㊂角 二十三度三十 分。即甲乙邉。 故作垂 弧戊寅於形外。補成兩正弧三角形。 一〇〇 乃用正弧第二比例。以半径 ○○○○ 一率己寅餘弦一 一率己寅余弦 ○ ○○ 二十三度 為一率。己角 九 餘弦 二率戊己余強 三率丁寅餘強 三十分 九 六二三 YY 九七八 六十度三・ 為二率己戌邊 九分一十秒 四率丁戊余強 正切 一〇二五〇 ○六四三 一為三率。求得四率 一〇二一二 四六二一 為己寅弧之正切。檢表 一率丙角正弦 二率甲乙正弦 三率乙角正弦 四率甲丙正弦 得 五十八度二十九分 即己寅弧之 一十三秒三十八微。 度也。次用垂弧分邊比例。以己寅弧 五十八度二十九分 一十三秒三十八微。 餘弦 九七一八 二四四四 六十度三十 為一率戊巳邉 餘弦 九分一十秒 九 六 九〇二 為二率。己寅與丁已。相減。餘得丁寅弧 ○ 度 八五六 五十八分一・ 五十八分一十 其餘弦 三秒三十八微 九九九九九九九 為三率求得四 九三七九 率 九九七 九七九 二十度二 為丁戊邉之餘弦。檢表得 十一分四 十一 秋 即丁戊邉之度亦丙角之度也末用對邉對 二十度二十一 角比例以丙角 分四十一秒 正弦 九五四一 同 五〇四〃 五〇四八二 二十三度 一率甲乙邊 三十分 正弦 九六〇〇 六九九七 為二率乙 角 一百二十二 度二十九分 正弦 九九二六 為三率求得四率 一〇九六 一同九九八五 三〇四五 一百〇四度 為甲丙邊之正弦。檢表得 四十九分一 十七 て即甲丙邊之度也。此兩角夾一邉之法也。 秒 秒 乙 戊 假如甲乙丙三角形。有甲乙邊ニ 二十 三度 三十 分。 六十九度○ 甲丙辺 分一十三秒。 乙丙邊 五十八度 五十七分。 求三角。先自乙角作垂弧。 至甲丙邊於丁。又平分甲丙邊於戊。 レ甲 三十四 而用半總較比例。以甲戊弧 度三十 一率甲戌正切 二率甲乙丙和平甲乙乙丙和平正切 分三十六秒三十 微即甲丙辺折半 正切 九八三七二 九八九小餘 三率甲乙丙差半正切 為一率。甲乙乙丙。兩邉和半四 四十 一度 四率丁戊正切 一十三分 切一十 三十秒 正切 九九四二六〇 五六小餘五〇 為二 一十七度四 率。甲乙。乙丙。兩邉差半 十三分三十 秒 正切 正切 九五〇四 九六〇九九 為三率。求得四率。 六三六〇 四二七小餘 二 五 二十二度○九分四 為丁戊弧之正切檢表得 十四秒三十二微 郎丁戊弧之度也。次用正弧第二比例。以乙丙邊 五十八度 五十七分 正切 一〇二二〇 三六八二 三六八二 即甲 為一率。丙戌弧。 丙邊 折 五十六度四十分 與丁戊弘。相加。得丙丁弧 二十一秒〇二微 半 其 一率乙丙正切 二率丙丁正切 正切 一〇一八二〇六 一七小餘五八一 為二率。半径 一〇〇〇〇 ○○○○○○ 一〇〇〇〇〇 九九 為三率。求得四率 六一 ハ一 三率半径 四率丙角餘弦 六九三五 二 十一 為丙角之餘弦。檢表得 小餘五八 十 三度四十二分四 十五秒一ト 即丙角之度也。末 十五秒一十八微、 一率甲乙正弦 二率丙角正弦 三率甲丙正弦 四率乙角正弦 二十三 用對邉對角比例。以甲乙邉 度三十 分 正弦 一九六〇〇 六九九七 為一率丙角 二十 三度 四十二分四十 五秒一十八微 正弦 一九六〇四二九 九九小餘二八 六十九度○一 為二率。甲丙邊 分一十三秒 正弦 九九七〇二一 二九九七三八一 為三率求得四 ○六小餘八七 〇九小餘一五 一百〇九度四十 為乙角之正弦檢表得 即丙角也此三 一分五十四秒 邉求角之法也。 一百二十度一十 仮如甲乙丙三角形。有甲角 三分四十四秒。 乙 角 一百五十六度一十七 角 分 〃一十四秒四十五微 丙角 一百〇九 求三邉 度四十分。 乃用次形法將甲乙丙形可易為 丁戊巳次形。葢甲角度當庚辛弧 而與丁己等 丁辛與庚巳皆象限 故庚辛與丁己等 故本形之甲角。即次形之丁已邉 乙外角之度當壬癸弧而與丁戊 等 壬丁與癸戌皆象限 故本形之乙外角即次形 故壬癸與丁戊等 丑戊興 之丁戊邉。丙角度當子丑弧而與戊己等 子己皆 象限故子丑 與戊己等 故本形之丙角。即次形之戊已邉又 次形之丁角。卽本形之甲乙邊。次形之戌角即本 形之乙丙邊。次形之 己角即本形之甲丙 邉之餘弧甲寅也是 内最潤 本形之三角 角用其 外 角 即次形之三邊。次 内最狭角 形之三角。 用其外角 即本形之三邉也。然 則用次形丁戊巳三角形。有丁已邉 一百二十度 一十三分四 十四秒。 即甲角 二十三度四十二分四十 戊己邉 ○丁戊辺 五秒一十五微。卽乙外角。 一百〇九度四 十分。即丙角。 故先自戊角。作垂弧 戊 巳 次形 至丁已邉於卯而用半總較比例以 辰 六十度 平分丁巳邉於辰其丁辰弧 ○六分 五十 二秒 正切 一〇二四〇五六 六三小餘一三 為一率 六十六度四十一 丁戊戊巳○兩邊和半 一分二十二秒 三十 一率丁辰正切 八微 二率丁戊戌巳和八十正切 三率一戊戌巳差公半正切 三率一戊戌巳差半 四率卯辰正切 二十 三微 正切 一〇三六五六四 ○八小餘四 為二率 四十二度五十 丁戊○戊己○兩邉差半 八分三十七秒 正切 一九九六九三〇 七一小餅○六 為三率求 得四率。 一〇〇九四三八 一六小餘三四一 為卯辰弧 五十一度一十分三 之正切。檢表得 十八秒三十三微 一率丁戊正切 即卯辰弧之度。以減丁辰弧。餘得丁 二率丁卯正切 三卒半径 四率丁角餘弦 卯弧 八度五十六分一 也。次用正弧 十三秒二十七微 二十三度四十 第二比例。以丁戊辺 二分四十五秒 一十 五微 正切 九六四二六九 為一率丁 二九小餘五五 一率戊己正弦 二率丁角正弦 三率丁已正弦角四 三率丁己正弦 卵弧 八度五十六分一 十三秒二十七微 正切 九一九 六六一 四六小 餘四四 為二率半径 一〇〇〇 ○○○○○○○ 為 四率戊角正弦 三率。求得四率。 九五五三九二 五五三九二 為丁 一六小餘八九 六十九度○一分 角之餘弦。檢表得。 一十三秒○三微 即丁角之度。亦卽本形甲乙邊之度也。末用對邉 一百〇九一 對角比例。以戊巳邊 度四十分 正弦 九九七三 一 八九七一 為 六十九度○一分 一率丁角 一十三秒○三微 正弦 九九七〇二一 ○七小餘二七 一百二十度一十一 為二率丁已邉一 三分四十四秒 正弦 九九三六 五二四三 小餘 九九三二八三 為戊角之 『為三率。求得四率一 二七 七九小餘五四 一百二十一 正弦。檢表得 度◯三分 即戊角之度亦即本形 乙丙邉之度也。此三角求邊之法也。 弧角小成終 新製清蒙氣差表 人之在清蒙氣中猶魚之在水 中未曽目撃之矣然測彼天象 此氣之遮隔以生視高度實高 度之差謂之清蒙氣差凡測量 之術辨此差乃為要務星舎先 生嘗曰近世西洋人毘錬兒所 著新製清蒙氣差表其数最精 密卓越前古因今抄之以附弧 角小成巻末氣差分秒方可謂 得其要領焉盖此表測於華連 歇以多験温器五十度與銓氣 管高零会爾七六而建之即気 候中和之数也但値寒暖濕燥 之変則候両器之升降而加減 其秒数可以測之也其加減之 法亦見于航海書中今略之期 他日復繼之 安政乙卯仲春 紀伊山中信古識 龍 著新製清蒙氣差表其數最精 密卓越前古因今抄之以附弧 角小成巻末氣差分秒方可謂 得其要領焉盖此表測於華連 歇以多験温器五十度与鈴気 管高零會爾七六而建之即氣 候中和之数也但値寒暖湿燥 之変則候両器之升降而加減 其秒数可以測之也其加減之 法亦見于航海書中今略之期 他日復繼之 安政乙卯仲春 紀伊山中信古識 龍 蒙気差 蒙氣差較數 地高度 度分 ○○ 分秒秒 三三四六三一一二〇 一〇 二〇 三一五四三一〇五〇 三〇〇九三九七三 三〇 二八三二一 二八三二一八九八 四〇 二七〇二二二八三六 五〇 七七四 五〇二五三八六 二五三八六七七四 一〇〇 一〇〇二四二一二 二四二一二七一六 一〇一〇一二三〇九六 二三〇九六六六二 二〇二二〇三四 二二〇三四六一五 三〇二一〇一九 二一〇一九五七一 二四〇二〇〇四八 二〇〇四八 五三三 一五〇一九一一五 一九一一五四九三 四九三 二〇〇一八二二二二 一八二二二四五九 一七三六三 二〇一六五三二 一六五三二三九八 三〇一六一三四 一六一三四三七四一 一六一三四 四〇 三五一 四〇一五三六〇 一五三六〇三五一 〇五〇 五〇一五〇〇九 一五〇〇九三二八 三〇〇 三〇〇一四二八一 一四二八一三〇八 一〇一三五七三 一三五七三二八八 二〇一三二八五 一三二八五二七二 三〇一三〇一三 一三〇一三二五七 四〇一二三五六 一二三五六二四三 二一一三二三〇一 五〇一二一一三 四〇〇一一四八三 二一七 四〇〇一一四八三一 一一四八三二一七 二〇五 一〇一一二六六六一 一一二六六二〇五一 二〇一一〇六一 一一〇六一一九四一 三〇 一八四 三〇一〇四六七 一〇四六七一八四一 四・一〇二八三 蒙気差 較数 地高度 分秒 度分 一〇二八三一七四 四〇 四〇一〇二八三 一五〇一〇一〇九 一〇一〇九一六六 五〇 五〇〇九五四三 九五四三一五九 五〇〇 一〇九三八四 一〇 九三八四一五〇 二〇 九二三四一四四 三〇 九〇九〇一三七 四〇八五五三 八五五三一三〇 五〇 八四二四一二四 六〇〇 八二九九一一八 二〇 八一八一一一五 八〇六六一一〇一 三〇 七五五六一〇六 一〇三 七四五〇一〇三一 七三四七九九一 七二四八九五 七〇〇七二四八 七二四八 七〇〇 一〇七一五三 七一五三九〇 二〇七〇六三 七〇六三八六 三〇 三〇六五七七 六五七七八一 四〇六四九六 六四九六七七 四〇 一五〇 五〇六四一九 六四一九七五 六三四四七三 一八〇・ 八〇・六三四四 一〇六二七一 六二七一七一一 二〇 六二〇〇六九 二〇六二〇〇 三〇 六一三一六七 四〇 六〇六四六五 五〇 九〇〇 一〇 五五九九六三 五五三六 五四七四 五四七四五九 二〇五四一五 五四一五 較数 蒙気差 地高度 度分 二〇 分秒 五七 五四一五 五三五八五五 三〇五三五八 五三 五三〇三五三 四〇 四〇五三〇三 五二五〇五二 五〇五二五〇 五〇 〇五〇 一〇〇〇 五一九八五一 一〇〇〇五一九八 五一四七五〇 一〇五一四七 一〇 五〇九七四八一 二〇五〇九七 二〇 五〇四九四六 三〇五〇四九 五〇〇三四四 四〇五〇〇三 四五五九四二 五〇四五五・ 四五一七四一 一一一〇〇四五一七 四四七六四〇一 四四七六 四四三六四〇 三〇 四三九六 三九 四〇 五〇 四三五七 三九 四三一八 三八 三七 四二八〇 四二八〇三七 一〇四二四三 四二四三 三六 四二〇七 三五 二〇四二〇七 三〇一 三〇四一七二 四一七二三四一 四〇一 一三二 四〇四一三八 四一三八三二一 四一三八 五〇 五〇四一〇六 四一〇六三一 一三〇〇 一三〇〇四〇七五 四〇七五三一 一〇四〇四四 四〇四四三〇 二・四〇一四 四〇一四三〇 三〇三五八四 三五八四二九 三五五五二九 五〇 三五二六二八 一四〇〇 一四〇〇三四九八 三四九八 一蒙気差十分較数 一蒙気差 地高度 蒙氣差十 地高度蒙氣差十分較数 一 分秒 一度分秒一 三四九八二五八 三三四三二二八 一六三二〇六 三二〇六二〇二 一一七 一七三〇八五 三〇八五一八二 二五七六一六五 一八二五七六 二四七七一四八 一九二四七七 一二〇 二〇二三八八 二三八八一三七 二三〇六一二三 ■二二 二二三二一一一一一 二一六五一〇五 二一〇二九八 二〇四三九〇 一五八九八三 一五三九七八 一四九二 七三 一二八 二八一四九二 一四九二七三 二九一四四八一 一四四八七ツ 一三一 三〇一四〇六 一四〇六六五 十一 三一一三六七 一三六七六〇 一三二 三二一三三一 一三三一五八 一三三 三三一二九六 一二九六五六一 一三四 三四一二六二 一二六二五三 一三五 三五一二三一 一二三一五〇 三六一二〇一 一二〇一四八 三七一一七二 一一七二四七一 一一四四四三一 三八一一四四四 三九一一一八一 一一一八四二 四〇一〇九三一 一〇九三四〇 四一一〇六九一 一〇六九三八 四二一〇四六 一〇四六一 蒙気差 地高度 地高度蒙氣差十分較數 分秒秒 度分秒 一〇四六三七 四二一〇四六 一〇二四三五 四三一〇二四 一〇〇三三四 四四一〇〇三 一四四 五八二三三 四五五八二 五六二三二 四六 四六五六二 五四三三一 四七五四三 五二四三〇一 五二四 一四八 四八五二四 五〇六 五〇六二九 四九五〇六 一四九 五〇四八九 四八九二八 一五一 四七二二七一 五一四七二 四五五二六 五二四五五 四三九二六一 五三四三九 四二三二五 五四四二三 五五 五六 五七 五八 五九 六〇 二五 四・八 二五 三九三二五 三七八二四 三六四 三五〇二三 三三六二二 三二三二二 六一三二三 六二三一〇 三一〇二一 六二 二三一〇 六三二九七 二九七二一 六四二八四 二八四二〇 六五二七二 二七二二〇 六六二五九 二五九二〇 二四七二〇一 六七二四七 二三五二〇一 六八二三五 六九 六九二二二 二二四二〇一 七〇 蒙気差 十分較数 地高度蒙氣差十分較數 分秒秒 度分秒 二一二二〇一 七〇二一二 二〇〇一九 七一二〇〇 七二一八九 一八九一八一 一七八一八一 七三一七八一 一六七一八 七四一六七 一五六一八 七五一五六 一四五一七 七六一四五 一三五一七 七七一三五 一二四一七 七八一二四 一一三一七 七九一一三 一〇三一七一 八〇一〇三 九二一七 八一九二一 八二一七一 八二八二 八三 八四 八五 八七 八八 八九 九〇 安政二年乙卯夏 紀州若山昌平河岸 発行書林阪木屋大二郎 9521
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