幾何原本 千円百首十六、東京 □□□□ 1 〃 九州帝國大學理學部 内部 一一二十一年 嘉善陳維棋纂 ア=書 何也。此下二篇所論。皆自兩以上多幾何同例相比者也。而 之同例相比者也。諸篇中。獨此篇以虚例相比。絶不及線西 論線論角論図界諸類及諸形之同例相比者也今之向 十九 十九 一発何也。小能度大。以小為大之分。 ◆◆ 大 ” 里2= 以小幾何度大幾何。謂之分。曰幾何之幾何者。非此 小幾何。不能為此大幾何之分也。如一点無分。非幾 何。即不能為線之分也。一線無広狭之分。非廃無之発 何。即不能為面之分也一面無厚薄之分非厚薄之幾一 何即不能為体之分也。曰能度大者。謂小幾何。度大幾 何能盡大之分者也。如甲為乙為丙之分。則甲為乙三 無羸不足也。若戌為丁之一即羸。為二即不足。已為丁之 疋小不盡大。則丁不能為戊巳之分也。以數明之。若四於八 幾何原本五 辛丑重校 大學學學校教育學部 九州帝國大學 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 6652 Therestinteratinteratinteratinteringering □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 幾何原本 巻五 中西算学大成巻六 一幾何原本五 説十九則 界説 嘉善陳維棋纂 前四篇所論。皆独幾何也。此下二篇所論。皆自両以上多幾何同例相比者也。而 本篇則。總説完幾何之同例相比者也。諸篇中。獨此篇以虚例相比不及線西 顕レ諸類也第六篇。則論線論角論図不諸類及諸形之同例相比者也今也。今 一後所用名目。為界説十九 第一界分者。幾何之幾何也。小能度大。以小為大之分。 以小幾何度大幾何。謂之分。曰幾何之幾何者。非此 小幾何。不能為此大幾何之分也。如一点無分。非幾 何。即不能為線之分也。一線無広狭之分。非席無之幾 何。即不能為面之分也。一面無厚薄之分。非厚薄之幾 何即不能為体之分也。曰能度大者。謂小幾何。度大幾 何能盡大之分者也。如甲為乙為丙之分。則甲為乙三 分之一。為丙六分之一。無痛不足也。若戌為丁之一即羸為二郎不足。已為丁之 三即羸。為四郎不足。是小不尽大。則丁不能為戊巳之分也。以數明之。若四於八 幾何原本五 辛丑重校 於十二於十六於二十諸数。皆能尽分。無厳不足也。若四於六於七於九於十於 十八於三十八諸数。或蘇或不足。皆不能尽分者也。本書所論。皆指能尽分者。故 称為分。若不尽分者。当稱幾分幾何之幾如四於六為三分六之二。不得正名為 一分。不稱小度大也。不為大幾何内之小幾何也。 第二界若小幾何能度大者。則大為小之幾倍。 如第一界図。甲與乙。能度丙。則丙為。甲与乙之幾倍。若丁戊不能尽己之分。則己 不為丁戊之幾倍 第三界比例者。兩幾何以幾何相比之理。 両裏何者。或雨数。或雨線或両面或両体。各以同類大小相比。謂之比例。若線与 両或数与線相比。此異類。不為比例又若白線与黑線熟線与冷線。相比雖同類。 不以幾何相比。亦不為比例也 比例之説。在幾何為正用。亦有借用者。如時如音如聲如所如動如称之属。皆以 比例論之。 凡雨幾何相比。以此幾何比他幾何。則此幾何為前率。所比之他幾何為後率。如 以六尺之線比三尺ノ之線。則六尺為前率。三尺為後率也。反用之。以三尺之線。比 六尺定。。則三尺為前率。六尺為後率也。比例為用甚広。故詳論之如左。 凡比例有二種。有大合。有小合。以數可明者。為大合。如二十尺之線比十尺之線 是也。其非数可明者。為小合。如直角方形之両邊與其對角線。可以相比而非數一 可明者是也 如上二種。又有二名其大合者。為有雨度之線。如二十尺比八尺。雨線為大合。則 二尺四尺皆可雨度之者是也。如此之類。凡數之比例。皆大閤也。何者。有数之属。 或無他数可両度者。無有一數不可雨度者。若七比九。無他數可雨度之。以一則 可雨度之也其小合線為無両度之線。如直角方形之両辺。其封角線為小合。 即分至萬分以及無數。終無小線可以盡分能度雨率者是也。此後 小合之比例。至十十一十二諸篇詳之。本篇所論。皆大合也。 此論詳見十一冊 三篇言見十 二篇末題 二十比十八比四十六尺之線比二尺之線是也。 凡大合有両種有等者。如二十。比二十尺之線。比十尺之線是也。有不等者。如 如上等者。為相同之比例其不等者。又有両種。有以大不等。如二十比十是也。有 以小不等。如十比二十是也。大合比例之以大不等者。又有五種一為幾倍大。二 為等帯一分。三為等帯幾分。四為幾倍大帯一分。五為幾倍大帯幾分。 一為幾倍大者。謂大幾何内。有小幾何或二或三或十或八也。如二十與四。是二 十内。為四者五。如三十尺之線。與五尺之線。是三十尺内。為五尺者六。則二十與 四。名為五倍大之比例也。三十尺与五尺。名為六倍大之比例也。倣此為名。可至 無窮也 二為等帯一分者。謂大幾何内。既有小之一。別帯一分。此一分。或元一之半。或三 分之一四分之一。以至無窮者。是也。如三與二。是三内既有二。別帯一。一為二之 半。如十二尺與九尺之線是十二内既有九。別帶三。三為九三分之一。則三與二。 名為等帯半也。十二尺與九尺。名為等帯三分之一也。 三為等帯幾分者。謂大幾何内。既有小之一。別帯幾分。而此幾分。不能合為一盡 分者。是也。如八與五。是八内既有五。別帶三一。毎一各為五之分。而三一不能合 而為五之分也。他如十與八。其十内既有八。別帯二一。雖毎一各為八之分與前 例相似。而二一却能為八四分之一。是為帯一分。屬在第二。不属三也。則八与五。 名為等帯三分也又如二十二与十六即名為等帯六分也。 四為発倍大帯一分者。謂大幾何内。既有小幾何之二之三之四等。別帯一分。此 一分。或元一之半。或三分四分之一。以至無窮者。是也。如九與四。是九内既有二 四。別帶一。一為四四分之一。則九與四。名為二倍大帶四分之一也。 五為幾倍大帯幾分者。謂大幾何内。既有小幾何之二之三之四等。別帶幾分。而 此幾分。不能合為一盡分者。是也。如十一與三。是十一内既有三三。別帶二一。毎 也。 一各為三之分。而二一不能合而為三之分也。則十一与三。名為三倍大帯二分 大合比例之以小不等者。亦有五種。俱與上以大不等五種。相反為名。一為反喪 倍大。二為反等帯一分。三為反等帯幾分。四為反発倍大帯一分。五為反幾倍大 帯幾分 凡比例諸種。如前所設諸数。俱有書法。書法中。有全数。有分数。全数者。如一二三 十百等是也。分数者。如分一以二以三以四等是也。書全数依本数書之不必立 法。書分数必有両数一為命分数一為得分数即如分一以三而取其二。則為三 分之二即三為命分数二為得分数也。分一為十九而取其七。則為十九分之七。 即十九為命分数七為得分数也 書以大小不等各五種之比例。其一幾倍大以全数書之。如二十與四。為五倍大 之比例。即書五是也。若四倍。即書四。六倍即書六也。其反幾倍大。即用分數書之 而以大比例之数為命分之数。以一為得分之数如大為五倍大之比例。則此書 五之一是也若四倍即書四之一。六倍即書六之一也。 其二等帶一分之比例。有兩數。一全數。一分數。其全數恒為一。其分數。則以分率 之数為命分数。恒以一為得分数。如三与二。名為等帯半。即書一。別書二之一也 一其反等帯一分。則全用分数而以大比例之命分數。為此之得分数。以大比例之 命分数加一。為此之命分。如大為等帯二之一。即此書三之二也。又如等帯八 分之一。反書之即書九之八也。又如等帯一千分之一。反書之。即書一千〇〇一 之一千也 其三等帯幾分之比例亦有雨数。一全数。一分数。其全数亦恒為一。其分数。亦以一 分率之數為命分数。以所分之数為得分数。如十与七。名為等帯三分。即書一。別 書七之三也。其反等帯幾分。亦全用分数。而以大比例之命分数為此之得分数 以大比例之命分數。加大之得分數。為此之命分數。如大為等帶七之三。命數七。 得數三七加三為十。即書十之七也。又如等帶二十之三。反書之。二十加三郎書 二十三之二十也 其四幾倍大帶一分之比例。則以幾倍大之數為全数。以分率之數為命分数。恒 以一為得分数如二十二与七。二十二内。既有三七。別帯一。一為七七分之一。名 為三倍大帯七分之一。即以三為全数。七為命分数。一為得分数。書三。別書七之 一也。其反幾倍大帯一分。則以大比例之命分數。為此之得分數。以大之命分数 乗大之倍數加一。為此之命分数。如大為三帯七之一。即以七乗三。得二十一。又 加一。為命分數。書二十二之七也。又如五帯九之一。反書之。九乗五得四十五。加 一。為四十六。即書四十六之九也。 其五幾倍大帯幾分之比例。亦以幾倍大之數為全數。以分率之數為命分數。以 所分之数為得分数。如二十九與八。二十九内。既有三八。別帯五一。名為三倍大 帯五分。即以三為全數。八為命分數。五為得分数。書三別書八之五也。其反幾倍 大帯幾分。則以大比例之命分数一。為此之得分数。以大比例之命分数乗大之倍 數。加大之得分數。為此之命分數。加大為三帯八之五。即以八乗三。得二十四如 五。為二十九。書二十九之八也。又如四帯五之二。即書二十二之五也。 以上大小十種。足盡比例之凡。不得加一減一。 第四界兩比例之理相似。為同理之比例。 両幾何相比。謂之比例。両比例相比。謂之同理之比例。如甲與乙兩幾何之比一 例。偕丙與丁両幾何之比例。其理相似。為同理之比例。又若戌與己両幾何之 一六十一日比例。偕己與庚兩幾何之比例。其理相似。亦同理之比 同十六丁一十一戌 四丁目 例。 九丁十一丁 十一戌 ニテ凡同理之比例。有三種。有数之比例。有量法之比例。有樂一 八丁一己 律之比例。本篇所論。皆量法之比例也。量法比例。又有二 一四二庚種。一為連比例。連比例者。相続不斷。其中率與前後雨率。 中西算学大成巻六幾何原本五 進相為比例。而中率既為前率之後。又為後率之前。如後図。戌与己比。己又興庚 比是也二為斷比例。斷比例者。居中兩率一取不再用。如前図甲自與乙比。丙自 與丁比是也。 一第五界両幾何。倍其身而能相勝者。為有比例之幾何。 一篇二十。 上文言為比例之幾何。必同類。然同類中。亦有無比例者。故此界顯有比例之義一 何也曰倍其身而能相勝者。如三尺之線與八尺之線。三尺之線。三倍其身。即大 於八尺之線。是為有比例之線也。又如直角方形之一邉與其對角線。雖非大合 両辺等三角形其 之比例可以數明。而直角方形之一邊。一倍之即大於對角線。而 辺見 両辺并必大於一 ○是亦有小合比例之線也。又図之径。四倍之即大於同 之即而臣之即大於國之界。則図之界。則図之径與 図之界。当三径七分径 界。亦有小合比例之線也。四 之一弱。別見図形書。 同大小両曲線相合為初月形。別作一直角方形。與之等 一相視。有大有小。亦有比例也。又方形與國。雖自古至今。學 。又曲線與直線。亦有比例。如以 八篇三十三 即曲直両線 一増題。今附。 六圜雖自古至今。學士無數。不能為相等之 形。然両形相視。有大有小。亦不可謂無比 例也。又直線角。與曲線角亦有比例。如上。 図。直角鈍角鋭角。皆有與曲線角等者。若 第一圖。甲乙丙直角。在甲乙乙丙雨直線 内。而其間設有甲乙丁與丙乙戌雨圖分角等。即於甲乙丁角加甲乙戌角。則丁 乙戌曲線角。與甲乙丙直角等矣。依顯壬庚癸曲線角。與己庚辛鈍角等也。又依 顕卯丑辰曲線角與子丑寅鋭角。乃等園分角各減同用之子。丑辰内円小分。 即兩角亦等也。此五者。皆疑無比例。而資有比例者也。他若有窮之線與無窮之 線。雖則同類。責無比例。何者。有窮之線。畢世倍之。不能勝無窮之線。故也。又線與 面。面與體各自為類。亦無比例。何者。畢世倍線。不能及面。畢世倍面。不能及體。故 也。又切圜角與直線鋭角。亦無比例。何者。依三篇十六題所説。畢世倍切邊角。不 能勝至小之鋭角。故也。此後諸篇中。每有倍此幾何。令至勝彼幾何者。故備著其 理以需後論也。 第六界四幾何。若第一與二。偕第三與四。為同理之比例。則第一第三之幾倍。倍 第二第四之幾倍。其相視。或等。或俱為大。或俱為小。恒如是。 兩幾何。易顯其能為比例乎。上第五界所説是也。 十一戌巳一月 兩比例。曷顯其能為同理之比例乎。此所説是也。 〽甲丙丁 其術通大合小合。皆以加倍法求之。如一甲二乙 丁三丁丁 十一丁庚平丁 三丙四丁四幾何。於一甲三丙。任加幾倍。為戌為 己。戌倍甲。己倍丙。其數自相等。次於二乙四丁。任 加幾億為庚為辛。庚倍乙。辛倍丁。其数自相等。而戌興巳。偕貞興辛。相視或等。或 俱太。或俱小如是等。大小累試之恒如是。即知一甲與二乙。偕三丙與四丁。為同 理之比例也 如初試之。甲幾倍之戌。小於乙幾倍之庚。而丙幾倍之已。亦小於丁幾倍之卒。又 試之。倍甲之戊。與倍乙之庚等。而倍丙之己亦與倍丁之卒等。三試之。倍甲之戌。 大於倍乙之庚。而倍丙之己。亦大於倍丁之卒。此之謂或相等。或雖不等而俱為 大俱為小。若累合一差。即元設四幾何。不得為同理之比例。如下第八界所指是 也 下文所論。若百四幾何為同理之比例。即嘗推顕第一第三之幾倍。與第二第四 之幾倍。或等或俱大。或俱小。若許其四幾何。為同理之比例。亦如之。 十八 十一三 卅六 百六十六 卅六の 以數明之。如有四幾何。第一為三。第二為二。第三為六。 第四為四。今以第一之三。第三之六。同加四倍。為十二。 為二十四。次以第二之二。第四之四。。同加七倍。為十四。 為二十八。其倍第一之十二。既小於倍第二之十四。而 倍第三之二十四。亦小於倍第四之二十八也。又以第 一之三第三之六。同加六倍。為十八為三十六。次以第 二之二。第四之四。同加九倍。為十八。為三十六。其倍第一之十八既等於倍第二 之十八。而倍第三之三十六。亦等於倍第四之三十六也。又以第一之三。第三之 六。同加三倍。為九為十八。次以第二之二。第四之四。同加二倍。為四為八。其倍第 一之九。既大於倍第二之四。而倍第三之十八。亦大於倍第四之八也。若爾或倶 大。或俱小。或等。累試之皆合。則三與二偕六與四。得為同理之比例也。 以上論四幾何者。斷比例之法也。其連比例法倣此。但連比例之中率。兩用之。既 一為第二。又為第三。視此異耳。 一第七界同理比例之幾何為相稱之幾何。 甲與乙。若丙與丁。是四幾何為同理之比例。即四幾 何為相稱之幾何。又戌與已。若己與庚。即三幾何亦 相称之幾何。 四 一幾倍。則第一與二之比例。大於第三與四之比例。 第八界四幾何。若第一之幾倍。大於第二之幾倍。而第三之幾倍。不大於第四之 一月戌巳一月 一甲丙丁 丁甲丙丁 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 「庚辛」 卒其甲三倍之戌。大於乙四倍之庚。而丙三倍之己。乃小於丁四倍之卒。即甲與 乙之比例。大於丙與丁也。若第一之幾倍。小於第二之幾倍。而第三之幾倍。乃或 等或大於第四之幾倍。即第一與二之比例。小於第三與四之比例。如是等。大小 此反上第六界。而釈不同理之兩比例。其相視。易 顯為大昌顯為小也。謂第一第三之幾倍。與第二 一第四之幾倍。依上累試之。其間有第一之幾倍。大 於第二之幾倍。而第三之幾倍。乃或等或小於第 四之幾倍。即第一與二之比例。大於第三與四之 比例也。如上図。甲一乙二丙三丁四。甲与丙。各三倍為戊己。乙与丁。各四倍為庚。 相戻者。但有其一不必再試。 以數明之。中設三二四三四幾何。先有第一之倍。大於第一 二之倍。而第三之倍。亦大於第四之倍。後復有第一之倍。 一大於第二之倍。而第三之倍。乃或等或小於第四之倍。即 第一與二之比例。大於第三與四也。若以上図之數反用 之。以第一為二。第二為一。第三為四。第四為三。則第一与 二之比例小於第三興四。 一第九界同理之比例。至少必三率。 十二月一甲甲甲理之比例。必雨比例相比。如甲與乙。若丙與丁。是四率斷 四丁三 九丁十一丙 比例也。若連比例之戌與已。若己與庚。則中率己既為戊之 九丁十一両 三丁 後。又為庚之前。是以三率当四率也。 一十六丁一十一戌 八丁十一巳に 四丁庚 第十界三幾何。為同理之連比例。則第一與第三。為再加之比例。四幾何。為同理 之連比例。則第一與四。為三加之比例。倣此以至無窮。 八十一甲 甲乙丙丁戌五幾何。為同理之連比例。其甲與乙。若乙與丙。乙與丙。若丙與丁。丙 與丁。若丁奥戊。即一甲與三丙。視一甲與二乙。為再加之比 五十四丁目 例。又一甲與四丁。視一甲與二乙。為三加之比例。何者。甲丁 一可之中。而之中。有乙丙両幾何。為同理之比例。如甲與乙故也。又一甲 二十四丁 十六丁文 與五戌。視一甲與二乙。為四加之比例也。若反用之。以戌為 一首。則一戊與三丙為再加。與四乙為三加。與五甲為四加也。 下第六篇。二十題。言此直角方形與彼真角方形。為此形之一邊。與彼形之一邊 中西算学大成 再加之比例。何者。若作三幾何。為同理之達比例。則此直角方形與彼真角方形。 若第一幾何與第三幾何。故也。以數明之。如此直角方形之邊三尺。而彼真角方 形之邊一尺。即此方形與彼方形。若九與一也。夫九與一之間。有三。為同理之比 例。則九三一三幾何之連比例。既有三與一為比例。又以九比三。三比一。為再加 之比例也。則彼直角方形。當為此形九分之一。不止為此形三分之一也。大畧第 第一與 一與二之比例。若線相比。第一與三。若平面相比。第一與四。若體相比也。第 家三乗方。與六。若四乗方與 五。若算 七。若五乗方。倣此以至無窮。 第十一界同理之幾何。前與前相當。後與後相當。 九丁甲 六丁 十二月十一丙 八月 十六月一戌 八月三日巳 四月庚 上文巳解同理之比例。此又解同理之幾何者。蓋一比例之 両幾何。有前後。而同理之兩比例。四幾何。有雨前雨後。故特 解言比例之論。常以前興前相当。後與後相当也。如上甲與 乙。丙與丁。雨比例同理。則甲與丙相當。乙與丁相當也。戊己 己庚両比例同理。則己既為前。又為後。両相当也。如下文有 兩三角形之邊相比。亦常以同理之兩邊相當。不可混也。 上文第六第八界説幾何之幾倍。常以一與三同倍。二與四同倍。則以第一第三 為雨前。第二第四為両後。各同理紋。 第十二界有屬理。更前與前。更後與後。 此下説比例六理。皆後論所需也。 十一月甲 四幾何。甲與乙之比例若丙與丁。今更推甲與丙若乙與丁。 為属理。下言属理皆省曰更 十二月乙 十五月丁 十月丁 一此論未證。證見本篇十六。 此界之理。可施於四率同類之比例。若兩線兩面。或兩面雨數等。不為同類。即不一 得相更也。 第十三界有反理。取後為前取前為後。 九月十一甲 甲與乙之比例。若丙與丁。今反推乙與甲。若丁與内。為反理。 六月乙 証見本篇四之糸。 十二月 八月 世界の野本区 一此界之理。亦可施於異類之比例。 第十四界有合理。合前與後為一。而比其後。 甲乙與乙丙之比例。若丁戌與戊己。今合甲丙為一而比乙 丙。合丁已為一而比戌巳。即推甲丙與乙丙。若丁己與戊己。 是合雨前後率為雨一率。而比両後率也。 証見本篇十八 一第十五界有分理。取前之較。而比其後。 一甲乙與丙乙之比例。若丁戌與己戌。今分推甲乙之 一較甲丙與丙乙。若丁戌之較丁己與己戌。 證見本篇十七。 甲甲 第十六界有転理。以前為前。以前之較為後。 四・六 戌十一丁 一甲乙與丙乙之比例。若丁戌與巳戌。今轉推甲乙與甲丙。若 丁戊與丁己 証見本篇十九。 第十七界有平理。彼此幾何。各自三以上。相為同理之連比例。則此之第一與三。 若彼之第一與三又曰。去其中。取其首尾。 十八月十一日 甲乙丙三幾何。丁戊己三幾何。等數。相為同理之連比例者。 吉田一乙甲與乙若丁與乙若丁與丙若戌與乙也。令平推首甲與尾丙。 同六丁両若丁與尾己 十二寸平理之分。又有二種。又有二種。如後二界。 八月十戌 四丁己 第十八界有平理之序者。此之前與後。若彼之前與後。而此之後與他率。若彼之 後與他率。 十八月十一月 十二月 甲甲與乙。若丁與戊。而後乙與他率丙。若後戊與他率已。是序 此與十七界同重宣 也。今平推甲與甲與古若丁與己也。 六丁両證見本篇二十二。 序義以別後界也 中西算学大成巻六幾何原本五 十二月十一丁 八月戊戌 四月三日 一第十九界有平理之鏑者。此數幾何。彼數幾何。此之前興後。若彼之前與後。而此一 一之後與他率。若彼之他率與其前。 十二月十一月甲 八月二日 四十一丙丙丙若丁與己也。 一甲乙丙數幾何。丁戊己數幾何。其甲與乙。若戌與己。又此之一 レ後乙與他率両若彼之他率丁與前戊。是錯也。今平推甲與 丙若丁與己也。 。十八十九界推法於十七界中。 十二月十一丁 通論之故両題中不再著也 證見本篇二十三。 六月戊戌 四月己 一増。一幾何。有一幾何相與為比例。即此幾何。必有彼幾何。相 與為比例。而兩比例等。一幾何。有一幾何相與為比例。即必一 有彼幾何與此幾何為比例。而兩比例等。此例同理省。 一甲幾何。與乙幾何為比例。即此幾何丙。亦必有彼幾何如丁。 一相與為比例。若甲與乙也。丙幾何。與丁幾何為比例。即必有 彼幾何如戊。與此幾何丙為比例。若丙與丁也。此理推廣無 礙於理有之。不必舉其率也。舉率之理。備見後篇。 論比例凡三十四題 第一題此數幾何。彼數幾何。此之各率。同幾倍於彼之各率。則此之并率。亦幾倍 於彼之并率。 甲乙丙丁并。大於戊己并。亦若干倍。 解曰。如甲乙丙丁此二幾何。大於戊己彼二幾何。各若干倍。題言 論曰。如甲乙與丙丁。既各三倍大於戊與己。即以甲乙三分之。各 與戌等。為甲庚庚辛辛乙。又以丙丁三分之。各與己等。為丙壬壬 癸癸丁。即甲乙與丙丁所分之數等。而甲庚既與戌等。丙壬既與 己等。即於甲庚加丙壬。於戌加己。其甲庚丙壬并。與戊己并必等。 依顯庚辛壬癸并。辛乙癸丁并。與戊己并各等。夫甲乙與丙丁之分。三合於戊巳。 ⑬本篇界 皆等 説二。 則甲乙丙丁并。三倍大於戊己并。 第二題六幾何。其第一倍第二之數。等於第三倍第四之數。而第五倍第二之數。 等於第六倍第四之数。則第一第五并倍第二之数等於第三第六并倍第四之 数 解曰。一甲乙倍二丙之數。如三丁戌倍四己之數。又五乙庚倍二丙之數。如六戊 辛倍四己之數。題言一甲乙五乙庚并倍二丙之數。若三丁戌六戌辛并倍四己 乙上 之數。 論曰甲乙丁戊之倍於丙巳。其數等。則甲乙幾何内。有丙幾一 一何若干。與丁戊幾何内。有己幾何若干。其數亦等。其數亦等。 本篇界 が依 依 説一 顯乙庚内有丙若干。與戌辛内有己若干。亦等。次於甲乙丁 甲甲甲甲甲乙酉乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙丑乙卯乙乙乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙乙乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙 戌両等数率。毎加一等数之乙庚戌辛率。則甲庚丁辛両幾 何内之分數等。而一五弁之甲庚内有二丙。若干。與三六并 之丁辛内有四己若干。亦等。 注曰。若第一第三兩幾何之數。與第二第四兩幾何之數。各等。而第五倍第二 之数。等於第六倍第四之數。或第一倍第二之数。等於第三倍第四之數。而第 戊戌 一五第二兩幾何之數與第六第四兩幾何之 數各等。俱同本論。如上二圖。甲庚為第一第一 五之并率。其倍二丙之數。與丁辛為第三第 甲庚内有丙 六之并率。其倍四己之數等也。 内有己若干 等。故同理。 若干。與丁辛 他若第一第三両幾何之数。第一 丙丁巳甲丙丁巳 五第六兩幾何之數與第二第四兩幾何之 數。各等。此理更明。何者。第一第五労之倍第一 二若第三第六并之倍第四。俱兩倍故。 第三題四幾何。其第一之倍於第二。若第三之倍於第四。次倍第一。又倍第三。其 數等。則第一所倍之與第二。若第三所倍之與第四。 解曰一甲所倍於二乙。若三丙所倍於四丁。次作戊巳雨幾何。同若千倍於甲於 丙。題言以平理推。戊倍乙之數。若己倍丁。 辛庚 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ こと 子癸 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 一論曰。戌與己之倍甲與丙。其數既等。試以戌作若干分各一 與甲等。為戊庚庚庚辛辛壬。次分己亦如之。為癸癸子子 ○本篇界 五。即戌内有甲若干。與己内有丙若干等。 二説 説一 夫戌庚 與甲。己癸與丙既等。而甲之倍乙。與丙之倍。又等。又等。則成 庚倍乙。若己癸倍丁也。依顯庚辛辛壬各所倍於乙。若癸 子子丑各所倍於丁也夫一戊庚之倍二乙既若三己癸 丁 之倍四丁。而五庚辛之倍二乙。亦若六癸子之倍四丁。則 一戊庚五庚辛并之倍二乙若三己癸六癸子并之倍四丁也。 本篇 一〇 二。 又一戌辛之 倍二乙。既若三己子之倍四丁。而五辛壬之倍二乙。亦若六子丑之倍四丁。則一 戌辛五辛壬并之倍二乙。若三己子六子丑井之倍四丁也。辛壬子丑以上。任作 多分皆倣此論 中西草第七戊子 第四題 其糸為 反理 四幾何其第一與二。借第三與四。比例等第一第三同任為若干 倍。第二第四同任為若千倍。則第一所倍与第二所倍。第三所倍與第四所停此 例亦等。 十一壬癸一 一戌巳一月 〽甲酉二 □□□□ 一解曰。甲與乙。偕丙與丁。比例 等。次作戌與己。同任若干倍 於一甲三丙。別作庚與辛。同 任若干倍於二乙四丁。題言 「「「「「「「「「「「」」」「「」」」」」」「」」」」「「」」」「」」」」」」」」」」」」」「」」」」」「」」」」」」」」」「」」」「」」」」」「「」」」「「」」「「」」」」」」「「」」」」「」」」」 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 一甲所倍之戌。與二乙所倍 之庚。偕三丙所倍之已。與四 丁所倍之卒。比例亦等。 論曰。試以戊己両幾何。同任倍之。為壬為癸。別以庚辛。同任倍之。為子為丑。其戌 之倍用。既若己之倍丙。而壬之倍戊。亦若癸之倍已。即壬之倍甲。亦若癸之倍丙 也。本篇依顯子之倍乙。亦若丑之倍丁也。夫甲與乙偕丙與丁之比例既等而壬一 癸所倍於甲丙子丑所倍於乙丁。各等。即三試之。若信甲之壬。小於倍乙之子。則一 倍丙之癸。亦小於倍丁之丑矣。若壬子等。印癸丑亦等矣。若壬大於子。癸亦大於 本篇界 丑矣。 説六 夫戌巳之倍為壬癸也。庚辛之倍為子丑也。不論幾許倍。其等。大小 三試之。恒如是也。則一戊所倍之壬與二庚所倍之子。偕三己所倍之祭與四卒 所倍之丑等。大小皆同類也。而戌與庚偕己與辛之比例必等。本 本篇界 説六 説 一条。凡四幾何。第一與二偕第三第四。比例等。即可反推第二與一。偕第四與三 比例亦等。何者。如上倍甲之壬與倍乙之子。偕倍丙之癸與倍丁之丑等。大小倶 同類。而顯甲與乙。若丙與丁。即可反說。倍乙之子與倍甲之壬。偕倍丁之丑與倍 本篇界 一丙之癸等。大小俱同類。而乙與甲。亦若丁與丙 説六 二条。別有一論。亦本書中所恒用也。曰。若甲與乙偕而與丁。比例等則甲之或二 或三倍。於乙之或二或三倍。偕丙之或二或三倍。於丁之或二或三倍比例俱等。 一倣此以至無窮。 第五題大小両幾何。此全所倍於彼全。若此全截取之分所倍於彼全截取之分 則此全之分餘所倍於彼全之分餘。亦如之。 乙上 雲内子 解曰。甲乙大幾何。丙丁小幾何。甲乙所倍於丙丁。若甲乙之截分 甲戌所倍於丙丁之截分丙己。題言甲戌之分餘戌乙所倍於丙 一己之分餘己丁。亦如其數。 論曰。試作一他幾何為庚丙。令戌乙之倍庚丙。若甲戌之倍丙己 本篇界 世は 説壇 甲申戊戌乙之倍丙巳庚丙其數等即其兩并甲乙之倍 幾何原本五 庚巳。亦若甲戌之倍丙已也。 庚巳。亦若甲戌之倍丙巳也。本篇而甲乙之倍丙丁。元若甲戌之倍丙己。則丙丁 與庚己等也。次每減同用之丙己。即庚丙與己丁亦等。而戌乙之倍己丁。若亦戌 乙之倍。庚丙矣。夫戌乙之倍庚丙。既若甲戌之倍丙己。則戊乙為 甲戌之分餘。所倍於己丁為丙巳之分餘者。亦若甲乙之倍丙丁 也。 丙の や 又論曰。試作一他幾何為庚甲。令庚甲之倍已丁。若甲戌之倍丙 本篇界 説二十四 即其兩并庚戌之倍丙丁。亦若甲戌之倍丙己也。本 本篇 而甲乙之倍丙丁。元若甲戌之倍丙巳。是庚戌與甲乙等矣。次毎 庚し 庚レ 減同用之甲戌。即庚甲與戌乙等也。而庚甲之倍己丁。若甲乙之 倍丙丁也。則戌乙之倍己丁。亦若甲乙之倍丙丁也。 乙」 広し ハ題此兩幾何。各倍於彼兩幾何。其數等。於此兩幾何每減一分。其一分之各 倍於所當彼幾何。其數等。則其分餘或各與彼幾何等或尚各倍 □□□□ 一於彼幾何。其數亦等。 解曰。甲乙丙丁雨幾何。各倍於戊己雨幾何。其數等。每減一甲庚。 丙辛。甲庚丙辛之倍戊巳。其數等。題言分餘庚乙辛丁。或與戌巳 等。或尚各倍於戊巳。其數亦等。 庚 甲斐 第七題 二文 と」 論曰。甲乙全與其分甲庚。既各多倍於戊。則分餘庚乙與戊。其或等。或尚幾倍。必 矣。何者。庚乙與戌。不等不幾倍。其加於甲庚。不成為戌之多倍也。然則庚乙與戌 等。易為平丁与己亦等試作士丙與己等。其一甲庚之倍二戌。既若三丙辛之倍 四己。而五庚乙之等二戌。又若六壬丙之等四己。則第一第五弁之甲乙所倍於 本篇 二 二戊。若第三第六并之壬辛所倍於四己也。一 而甲乙之 二 倍戊。元若丙丁之倍己。即壬辛與丙丁亦等。次每減同用之 丙辛。即壬丙與辛丁必等。是辛丁與己亦等矣。然則庚乙之 倍戊。曷為與辛丁之倍己等。試作壬丙。其倍已。若庚乙之倍 本篇一 而壬辛與丙丁 二一 戊。依前論。甲乙之倍戊。若壬羊之倍己本 二 等。壬丙與辛丁亦等。即是辛丁之倍已。亦若庚乙之倍戊矣。 。猶幾何等。則與彼幾何各為比例。必等。而彼幾何與此相等之兩 幾何。各為比例。亦等。 解曰。甲乙兩幾何等。彼幾何丙。不論等大小於甲乙。題言甲 與丙。偕乙與丙。各為比例。必等。又反上言丙與甲。借丙與乙。 各為比例。亦等。 論曰。試作丁戊両率。任同若干倍於甲乙。即丁與戌等。別作 己任若干倍於丙。其丁戊既等。即丁視己。與戌視已。或等。或大。或小必同類矣。夫 一甲三乙所倍之丁戊。偕當二又當四之丙所倍之已。其等。大小既同類。林 本篇界 説六 則一甲與二丙之比例。若三乙與四丙矣。反説之。當一當三之丙所倍之已。偕二 甲四乙所倍之丁戊。其等。大小既同類。則一丙與二甲之比例。若三丙與四乙矣。 後論與本篇第四題之系。同用及理。如甲與丙。若乙與丙。反推之。丙與甲。亦若丙 與乙也 第八題大小雨幾何。各與他幾何為比例。則大與他之比例。大於小與他之比例。 而他與小之比例大於他與大之比例 癸 解曰。不等雨幾何。甲乙大。丙小。又有他幾何丁。不論等大小 於甲乙於丙。題言甲乙與丁之比例。大於丙與丁之比例。又 反上言丁與丙之比例。大於丁與甲乙之比例。 論曰。試於大幾何甲乙内。分甲戌。與小幾何丙等。而戌乙為一 内」 壬寅 分餘。次以甲戊戌乙作同若干倍之辛庚庚乙乙而庚巳為戊 乙之倍。必令大於丁。辛庚為甲戌之倍。必令大於丁。或等於 丁。如不足。以倍加之也。其庚己辛庚之倍於戌乙甲戌。既等。即辛巳之倍甲乙。若 辛庚之倍甲戌矣。本篇甲戌即丙也。次作一壬癸。為丁之倍。令僅大於卒庚丙倍 不足。三之。又不足。任加之。已大。勿倍也。次於壬癸截取子矣。與丁等。即壬子必不 大於年庚。何者向作壬癸。為丁之倍。元今僅大於卒庚。若壬子大於辛庚者。何必 又倍之為士癸也。故僅大之士癸截去子癸者。必不大於辛庚也。則壬子。或等或 小於辛庚矣。夫庚己既大於丁。而子癸與丁等。即庚巳必大於子癸又辛庚不小 於壬子。 或大。 献。即辛巳亦大於壬癸也。夫辛巳卒庚同若干倍於第一甲乙第三丙 或等 也。而壬癸之倍於當二之丁當四之丁。又同一率也。則第一所倍之率己。大於第 辛庚元小 二所倍之壬癸。而第三所倍之辛庚。不大於第四所倍之壬癸。 是一甲 於壬癸。 本篇界 反説 乙與二丁之比例。大於三丙與四丁矣。 説八 次反上説一丁所倍之。一丁所倍之千異所 則丁 見丁 当一当三丙 大於二丙所倍之卒庚。而三丁所倍之丁所倍之壬癸。不大於四甲乙所倍之 一甲乙四。 二甲乙四。 辛巳 一壬癸必 一壬癸必し 於辛己 小是一丁與二丙之比例。大於三丁與四甲乙矣。 ○本篇界 説八 二支 二支 第九題 兩幾何與一幾何。各為比例而等。則兩幾何必等。一幾何與兩幾何。 各為比例而等。則兩幾何亦等。 丙 先解曰。甲乙兩幾何。各與丙為比例。等。題言甲與乙等。 論曰。如云不然。而甲大於乙。即甲與丙之比例。宜大於乙與丙。本 況本篇 八 何先設兩比例等也。故比例等。則甲與乙等。 後解曰。丙幾何。與甲與乙。各為比例。等。題言甲與乙等。 幾何原本五 論曰。如云不然。而甲大於乙。即而與乙之比例。宜大於丙與甲。本篇何先設両比 例等也。 一支 第十題 一支彼此兩幾何。此幾何與他幾何之比例。大於彼與他之比例。則此幾 何大於彼。又他幾何與彼幾何之比例。大於他與此之比例。則彼幾何小於此。 先解曰。甲乙兩幾何。復有丙幾何。甲與丙之比例。大於乙與丙。題言 甲大於乙。 丙 本篇 論曰。如云不然。甲與乙等。即所為雨比例宜等。本。此上篇何先設甲與丙 七 大也。又不然。若甲小於乙。即乙與丙之比例。宜大於甲與丙。本篇何 先設甲與丙大也。 後解曰。丙與乙之比例。大於丙與甲。題言乙小於甲。 本篇 論曰如云不然。乙與甲等。即所為雨比例宜等。本篇何先設丙與乙大也。又不然 乙大於甲。即丙與甲之比例。宜大於丙與乙。何先設丙與乙大也。 第十一題此兩幾何之比例。與他兩幾何之比例等而彼兩幾何之比例。與他兩 幾何之比例亦等。則彼兩幾何之比例。與此兩幾何之比例。亦等。 解曰。甲乙借丙丁之比例。各與戊巳之比例等。題言甲乙與丙丁之比例。亦等 一論。試於各各前率之甲向戊。同任倍之。為庚辛壬。別於各後率之乙丁巳。同任倍 之。為癸子丑。其一甲與二乙之比例。既若三戊與四己。即三一 試之若倍一甲之庚。小於倍二乙之癸。即倍三戊之壬。亦小 於倍四己之丑矣。若庚癸等。即壬丑亦等。若庚大於癸。即壬 亦大於丑矣。 本篇界 依顯壬之視丑。若辛之視子。其等。大小 説六 亦同類矣。此三前三後率。任作幾許倍。其等。大小皆同類也。 本篇界 説六 則甲與乙之比。若丙與丁也。 十一百七丁 第十二題數幾何。所為。比例皆等。則并前率與并後率之比例。若各前率與各後 率之比例 解曰。甲乙丙丁戊己数幾何。所為比例皆等者。甲與乙。若丙與丁。丙與丁。若戌與 巻一幾何原本五 已也。題言甲丙戌諸前率并。與乙丁已諸後率并之比例。若甲與 乙。丙與丁。戌與己各前各後之比例也。 論曰。試於各前率之甲丙戌。同任倍之為庚辛壬。別於各後率之 乙丁己。同任倍之為癸子丑。即庚辛壬并之倍甲丙戌并。若庚之 倍甲也。癸子丑弁之倍乙丁己井。若癸之倍乙也。本篇夫 夫一甲與 二乙。既若三丙與四丁。又若三戌與四己。則庚之倍一甲。與癸之 倍二乙。或等。或大。或小。偕辛壬之倍三丙戌。與子五之倍四丁己。 等。大小同類也。又各前所倍庚辛壬并。與各後所倍癸子丑并。其 或等或大。或小。亦借各前所自倍。與各後所自倍。其等。大小必同 題也。体 類也 本篇界 本篇界 名見 説六 則一甲與二乙之比例。若三甲丙戌并與四乙丁己 并矣。 第十三週數幾何。第一與二之比例。若第三與四之比例。而第三與四之比例大 於第五與六之比例。則第一與二之比例。亦大於第五與六之比例。 解曰。一甲與二乙之比例。若三丙與四丁。而三丙與四丁之比例。大於五戌與六 已。題言甲與乙之比例。亦大於戊與己 論曰。試以甲丙戌各前率。同任倍之為庚辛壬。別以乙丁己各後 率。同任倍之為癸子丑。其甲與乙。既若丙與丁。即三試之。若倍甲 之庚。大於倍乙之癸。即倍丙之卒。必大於倍丁之子矣。若庚癸等。 即辛子亦等。若庚小於癸。即辛亦小於子矣。 本篇界 次丙與丁。既 説六 大於戌與己。又三試之。即倍丙之辛。大於倍丁之子。而倍戊之壬。 不必大於倍已之丑也。或等或小矣。十二年 本篇界 夫庚癸與辛子。等大 説八 小同類。則壬丑不類於辛子者。亦不類於庚癸也。故甲與乙之比 本篇界 一例。亦大於戊與己。 説八 注曰。若二丙與四丁之比例。或小或等於五戌六己。則一甲與 二乙之比例。亦小亦等於五戌六己。倣此論推顯。 壬戌巳丑 第十四通四幾何。第一興二之比例。若第三與四之比例。而第一幾何大於第三。 一則第二幾何亦大於第四。第一或等或小於第三。則第二亦等亦小於第四。 解曰。甲與乙之比例。若丙與丁。題言甲大於丙。則乙亦大於丁。若 等。亦等。若小。亦小。 一先論曰如甲大於丙。即甲與乙之比例。大於内與乙矣。本篇夫一 丙與二丁之比例。既若三甲與四乙。而三甲與四乙之比例。大於 五丙與六乙。即一丙與二丁之比例。亦大於五丙與六乙。本當是 本篇 本篇 丁幾何小於乙也。此 次論曰。如甲丙等。即甲與乙之比例。若丙與乙。本篇夫甲與乙之 之比例。元若丙與丁。而又若丙與乙。是丙與丁之比例。亦若丙與 一本篇― 本篇 乙也。 則乙與丁等也 九 十一 一後論曰。如甲小於丙。即丙與乙之比例。大於甲興乙矣。本篇夫一 丙與二丁之比例。既若三甲與四乙。而三甲與四乙之比例。小於 五丙與六乙。即一丙與二丁之比例。亦小於五丙與六乙也。体篇 一本篇 十三 是乙小於丁也 十 甲乙丙丁 十丁 第十五題両分之比例。與雨多分并之比例等。 解曰。甲與乙。同任倍之為丙丁。為戊己。題言丙丁與戊己之比例。 辛 庚申 成し 第十六題。 更理 若甲與乙 論曰。丙丁之倍用。既若戊巳之倍乙。即丙丁内有甲若干。與戌已 内有乙若干等。次分丙丁為丙庚庚辛羊丁。各與甲分等。分戊己 丙庚 興甲 為戊壬。壬癸。癸己。各與乙分等。即丙庚與戌壬。若甲與乙也。日 曲甲 本篇 今篇！ 等戊壬與乙等 故見本篇七 十 十一。目 司庚辛與壬癸。辛丁與癸巳。皆若甲與乙也。本々 貝 等甲之丙虞與。等乙之戊壬。定若丙丁全興戌己全。而丙丁全與 本篇 戊己全。若甲與乙矣。 十二 十二 四幾何。為雨比例。等。即更推前興前。後與後。為比例。亦等。 解曰。甲乙丙丁四幾何。甲與乙之比例。若丙與丁。題言更推之。甲 與丙之比例亦若乙與丁。 論曰。試以甲與乙。同任倍之為戌為已。別以丙 「「「「」」「「「「「「」」「」」」「」」」「「」」「「」」」「」」」「「」」「」」」」」」」」」」」」」「」」」」」」」」「」」「「」」」」」「「」」」「「」」「「」」」」」「「」」」「」「「年」 與丁。同任倍之為庚為卒。即戌與己。若甲與乙一 也 本篇 十五 庚與辛。若丙與丁也。夫甲與乙。若丙與 丁。而戌與乙亦若甲與乙。即戌與己。亦若丙與 幾何原本五 丁矣。依顯庚與等。若丙與丁。即戌與巳。亦若庚興卒也。本篇次三試之。若戌大於 成。則己亦大於卒也。若等。亦等。若小。亦小。任作幾許倍。恒如是也。 之戌倍三乙之已。與倍二丙之庚倍四丁之卒。其等。大小。必同類也。而甲與丙若 同次三試之。若戌大於 本篇 十四 則倍一甲 乙與丁矣 第十七題、 分理 相合之兩幾何為比例等。則分之為比例亦等。 寅年 戻し申し丙レ奏し 解曰。相合之兩幾何。其一為甲乙丁乙。其一為丙戌已戌。比 例等者。甲乙與丁乙。若丙戌與己戊也。題言分之為比例亦 等者甲丁與丁乙若丙己與己戊也。 論曰。試以甲丁丁乙。丙己巳戌。同任倍之。為庚辛辛壬。為癸 子子丑即庚士之倍甲乙。若庚辛之倍甲丁也。亦若癸子之 本篇 倍丙己也 一一 lo. 夫癸子之倍丙巳亦若癸丑之倍丙戌。即庚 壬之倍甲乙。亦若癸丑之倍丙戌也。次別以丁乙己戌同任 倍之。為壬寅。為丑卯。其一辛壬之倍二丁乙。既若三子丑之 倍四己戌。而五壬寅之倍二丁乙。亦若六丑卯之倍四己戌。 即辛寅之倍丁乙。亦若子卯之倍己戊也。大 二 二 本篇 二 夫一甲乙與 二丁乙之比例。既若三丙戌與四己戌。而一與三。二與四。各 所倍等。即三試之。若一甲乙所倍之庶士。大於二丁乙所倍之卒寅。即三丙戌所 倍之癸丑。亦大於四己戊所倍之子卯也。若等。亦等。若小。亦小也。 説六 ○本篇界 如庚壬一 小於卒寅。而癸丑小於子卯者。即毎減一同用之卒壬。子丑。其所存庚辛亦小於 千貢。而癸子亦小於五卯矣。依顯庚壬等辛寅。而癸丑等子卯者。即庚辛等壬寅。 而癸子等丑卯矣。庚士大於卒寅。而癸丑大於子卯老。即庚辛大於壬寅。而癸子 大於丑卯矣。夫庚辛為甲丁之倍。癸子為丙巳之倍。壬寅為丁乙之倍。丑卯為已 戌之倍。而甲丁丙己之所倍。視丁乙己戌之所倍。其等。大小皆同類。則甲丁與丁 乙。若丙己與己戊也。 第十八題ス 寅二 本篇界 説六 一雨幾何。分之為比例。等。則合之為比例。亦等。 解曰。甲丁丁乙。與丙己巳戌。雨分幾何。其比例等者。甲丁與丁乙。 若丙己與己戌也。題言合之為比例亦等者。甲乙與丁乙。若丙戌 庚申乙丙乙癸卯乙酉乙亥年 與己戌也。 子子丑 二 本篇 論曰。如前論。以甲丁丁乙。而己己戌。同任倍之。為庚辛。辛壬。為祭 兩次別以丁乙己戌。同任倍之。為壬寅。為丑卯。即庚壬一 之倍甲乙。若癸丑之倍丙戌也。 本篇一 用而辛寅之倍丁乙。若子卯之 倍己戊也。 二一 一本篇 夫一甲丁與二丁乙既若三丙己與四己戊而一 與三。二與四。各所倍等。即三試之。若一甲丁所倍之庚辛。小於二丁乙所倍之壬 寅。即三丙巳所倍之癸子。亦小於四己戌所倍之丑卯也。若等亦等。若大。亦大也。 本篇界 本篇画 御恩如庚辛小於壬寅。而癸子亦小於丑卯。即每加一辛壬子丑。其所并庚午 説六 亦小於辛寅。而癸丑亦小於子卯矣。依顯庚辛等壬寅。而癸子等丑卯。即庚壬等 辛寅。而癸丑等子卯矣。庚辛大於壬寅。而癸子大於丑卯。即庚壬大於辛寅。而癸 丑大於子卯矣。夫一甲乙所倍之庚壬。与二丁乙所倍之辛寅。偕三丙戌所倍之 癸丑。與四己戌所倍之子卯。其等。大小皆同類。則甲乙與丁乙。若丙戌與己戌也。 本篇界 説六 第十九題 其糸為転理 為轉理兩幾何。各截取一分。其所截取之比例。與兩全之比例等。 則分餘之比例。與兩全之比例亦等。 解曰。甲乙丙丁雨幾何。其甲乙全與丙丁全之比例。若截取之甲戌 與丙己。題言分餘戌乙與己丁之比例。亦若甲乙與丙丁。 論曰。甲乙與丙丁。既若甲戌與丙己。試更之甲乙與甲戌若丙丁與 本篇 丙己也 一本篇 十六 次分之。戌乙與甲戌。若己丁與丙己也。 又更之戌 本篇 十七 本篇 夫甲戌與丙巳。元若甲乙與丙巳。元與丙丁。 乙與己丁。若甲戌與丙己也。 十六 則戌乙與乙丁。亦若甲乙與丙丁矣。 一在界説第十六之轉理。如上甲乙與戊乙。若丙丁與己丁。即轉推 て與甲戊。若丙丁與丙巳也。何者。甲乙與戊乙。既若丙丁與己丁。試更之甲乙 一本篇 冊即甲乙全與丙丁全。又若分餘之甲戌與 與丙丁。若截取之戌乙與己丁也。 十六 本篇 丙己矣。体又更之。則甲乙與甲戌。若丙丁與丙己也。以 十六 注曰凡更理。可施於同類之比例。不可施於異類。若轉理。不論同 此轉理也。 已上 異類。皆可用也。依此糸。即轉理亦頼更理為用。似亦不可施於異 丙 丁 甲上 第二十題 類矣。今別作一論。不賴更理以為轉理明轉理可施於異類也。 論曰。甲乙與丙乙。若丁戊與己戌。即轉推甲乙與甲丙。若丁戊與丁 己。何者甲乙與丙乙。既若丁戊與己戌。試分之甲丙與丙乙。若丁已一 與己戊也 本篇 次反之。丙乙與甲丙。若己戌與丁己也。 本篇 次合之 十七 本篇 甲乙與甲丙。若丁戊與丁己也。 四 十八 一二文 二支 支有三幾何。又有三幾何。相為連比例。而第一幾何大於第三。則第 四亦大於第六。第一或等或小於第三。則第四亦等亦小於第六。 先解曰。甲乙丙三幾何。丁戊巳三幾何。其甲與乙之比例。若丁與戌。乙與丙之比 例。若戌與己。而甲大於丙。題言丁亦大於已。 本篇 而甲與乙之比例。若丁 論曰。甲既大於丙。即申與乙之比例。大於丙與乙矣。本爲而甲與乙之比例。若丁 八 幾何原本五 與三。二與四。各所倍等。即三試之。若一甲丁所倍之庚辛。小於二丁乙所倍之壬 寅。即三丙己所倍之癸子。亦小於四乙戌所倍之丑卯也。若等。亦等。若大。亦大也。 一本篇界 如庚辛小於壬寅。而癸子亦小於丑卯。即毎加一辛壬子丑。其所并庚子 説六 亦小於辛寅。而癸丑亦小於子卯矣。依顯庚辛等壬寅。而癸子等丑卯。即庚壬等 享寅。而癸丑等子卯矣。庚辛大於壬寅。而癸子大於丑卯。即庚壬大於辛寅。而癸 丑大於子卯矣。夫一甲乙所停之庚壬。与二丁乙所倍之辛寅。偕三丙戌所倍之 癸丑。與四己戌所倍之子卯。其等。大小皆同類。則甲乙與丁乙。若丙戌與己戊也。 本篇界 説六 其糸為転理 第十九題、 両幾何。各截取一分。其所截取之比例。與兩全之比例等。 則分餘之比例。與兩全之比例亦等。 解曰。甲乙丙丁雨幾何。其甲乙全與丙丁全之比例。若截取之甲戌 與丙己。題言分餘戌乙與己丁之比例。亦若甲乙與丙丁。 論曰。甲乙與丙丁。既若甲戌與丙己。試更之。甲乙與甲戌。若丙丁與 丙己也 本篇 本篇 次分之戌乙與甲戌。若己丁與丙己也。 又更之戌 十六 本篇 十七 乙與己丁。若甲戌與丙己也。 十六 十七 夫甲戌與丙巳。元若甲乙與丙丁。 戌乙與乙丁。亦若甲乙與丙丁矣。 一矣。從此題。可推界説第十六之轉理。如上甲乙與戊乙。若丙丁與己丁。卽轉推一 甲乙與甲戌。若丙丁與丙巳也。何者。甲乙與戌乙。既若丙丁與己丁。試更之甲乙 本篇 即甲乙全與丙丁全與丙丁全。又若分餘之甲戌與 與丙丁。若截取之戌乙與己丁也。 十六 本篇 本篇上 此轉理也 十六 丙己矣。本又更之。則甲乙與甲戌。若丙丁與丙己也。 乙酉十六日申 注曰。凡更理。可施於同類之比例。不可施於異類。若転理。不論同 乙上 異類。皆可用也。依此糸。即轉理亦頼更理為用。似亦不可施於異 丙 巳 類矣。今別作一論。不賴更理以為轉理明轉理可施於異類也。 論曰。甲乙與丙乙。若丁戊與己戌。即轉推甲乙與甲丙。若丁戊與丁 丁 甲上 己。何者甲乙與丙乙。既若丁戊與己戌。試分之。甲丙與丙乙。若丁已一 本篇 與己戊也 本篇 □□ 冊次反之。丙乙與甲丙。若己戌與丁己也。本草 次合之 十七 本篇 四 甲乙與甲丙。若丁戊與丁己也。 十八 第二十題 三支 三支 支有三幾何。又有三幾何。相為連比例。而第一幾何大於第三。則第 四亦大於第六。第一或等或小於第三。則第四亦等亦小於第六。 先解曰。甲乙丙三幾何。丁戊巳三幾何。其甲與乙之比例。若丁與戌。乙與丙之比 例。若戌與己。而甲大於丙。題言丁亦大於已。 本篇 記而甲與乙之比例。若丁 論曰。甲既大於丙。即甲與乙之比例。大於丙與乙矣。本篇而甲與乙之比例。若丁 八 一幾何原本五 十一甲 與戊。即丁與戊之比例。亦大於丙與乙矣。 本篇 又丙與乙之 十三 乙與丙若戊與己反之 比例。若己與戊。 ・則丙與乙若己與戊 即丁與戊之比例大 に丙 於己與戊矣。是丁大於己也 本篇 本篇 本篇 } □□□□□□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 次解曰。若甲丙等。題言丁己亦等。 本篇 十月甲 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 論曰。甲丙既等。即甲與乙之比例。若丙與乙矣。体篇而四 篇布甲甲 而甲與 十 本篇 乙之比例。若丁與戌。即丁與戌之比例。亦若丙與乙矣。 十一 丁 □□□□□□□□ □□□□□□□□ 又丙與乙之比例。若己與戌。版即丁與戌之比例。亦若己與 戊矣。是丁己等也。此 本篇 九 後解曰。若甲小於丙。題言丁亦小於己。 丁 十一丁一甲 □□□□□□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 論曰。甲既小於丙。即甲與乙之比例。小於丙與乙矣。本篇而 甲與乙之比例。若丁與戊即丁與戊之比例。亦小於丙與乙 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ に戌 十一三 矣。又丙與乙之比例。若己與戊。殿即丁與戌之比例。小於已 與戊矣。是丁小於己也。本篇 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 第二十一題 一二十 有三幾何。又有三幾何。相為連比例而錯。以平理推之。若第一 幾何大於第三。則第四亦大於第六。若第一或等或小於第三。則第四亦等亦小 於第六 十一甲 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 解曰。甲乙丙三幾何。丁戊己三幾何。相為連比例不序。不序 一者。甲與乙。若戌與已。乙與丙。若丁與戊也。以平理推之。若甲 大於丙題言丁亦大於己。 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 十一月庚戌 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 論曰。甲既大於丙。即甲與乙之比例。大於丙與乙。本 與乙。若戌與己。即戌與巳之比例。亦大於丙與乙也。又乙與 一丙既若丁與戊反之即丙與乙。亦若戊與丁也。本篇則戌與 本篇 □□□ 而用 則戊與 次解曰。若甲丙等。題言丁已亦等。 已。大於戊與丁也。是丁大於己也。一於己也。大 本篇 二十 四 十一月甲 本篇 論曰。甲丙既等。即甲與乙之比例。若丙與乙。本 十一月三日 而甲與乙。 七 七 十一月 若戌與己。即丙與乙之比例。亦若戌與巳也又乙與丙既若一 十一丁 本篇 篇― 丁與戊反之。即丙與乙。亦若戊與丁也。味 則戌與己。若成 本篇 四 十一月戊戌 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 與丁也是丁己等也 九・ 後解曰。若甲小於丙。題言丁亦小於己。 幾何原本五 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 論曰。甲既小於丙。即甲與乙之比例。小於丙與乙。本篇而甲 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 一與乙若戌與己即戌與己之比例。小於丙於乙也。又乙與丙。 十一日 同既若丁與戌。反之即丙與乙。若戌與丁。牀 本篇 則戊與己小於 四 }} 丁 十一夜 一戊與丁也。是丁小於己也。 本篇 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 有若干幾何。又有若干幾何。其数等。相為連比例。則以平 理推 一一丁甲庚一丁 │三十一丁 丁丙子丁 □寅 解曰。有若干幾何。甲乙丙。又有若干幾何。丁戊己。而 一甲與乙之比例。若丁與戌。乙與丙之比例。若戌與己。一 題言以平理推之。甲與丙之比例若丁與己 一丁半丁 一論曰。試以甲與丁同任倍之。為庚為辛。別以乙與戌一 「一戊癸」「 一同任倍之。為壬為癸。別以丙與己同任倍之。為子為 十三丑十一丁 丑其一甲與二乙。既若三丁與四戊。即倍甲之庚。與 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 倍乙之壬若倍丁之卒。與倍戌之癸也。 乙與二丙。既若三戊與四己。即倍乙之壬。與倍丙之 乙與二丙既若三戌與四乙。即倍乙之壬。與倍丙之 四一 本篇 依顯一 子。若倍戌之癸與倍己之丑也。是庚壬子三幾何卒癸丑三幾何。又相為達比例一 本篇 十九十十日。亦等。若小亦小也則倍一 矣。次三試之。若庚大於子。即卒必大於丑也。 二十 甲之庚。倍三丁之卒。與倍二丙之子。倍四己之丑等。大小皆同類也。是甲與丙若 丁與己也 説六 本篇界 其幾何自三以上。如更有丙與寅。若己與卯。亦依顯甲與寅。若 丁與卯也。何者。上既顯甲與丙若丁與己而今稱丙與寅若己與卯。即以甲丙寅 作三幾何。以丁己卯作又三幾何。相為連比例。依上推論。亦得甲與寅之比例若 丁與卯也自四以上可至無窮依此推顯 第二十三題 平理之錯 若干幾何。又若干幾何。相為連比例。而錯。亦以平理推。 十一日 十一乙年 丙癸亥 寅 十一丁 十一月 丑廿一日 こそ 解曰。甲乙丙若干幾何。丁戊己若干幾何相為連 比例而錯者。甲與乙。若戊與己。乙與丙。若丁與戌 也。題言以平理推之。甲與丙之比例。亦若丁與己。 論曰。試以甲乙丁同任倍之。為庚辛壬。別以丙戌 己同任倍之。為癸子丑。即甲與乙。若所自倍之庚 興辛 本篇 十五 而甲與乙。既若戌與已。即庚與辛。亦若 戊興己 本篇 一同戌與己又若所自倍之子與丑即庚 本篇 興辛亦若子與丑 同國一乙與二丙既若三 丁與四戊。即倍一乙之卒。與倍二丙之癸。若倍三丁之士。與倍四戌之子也。本篇 是庚辛癸三幾何。壬子丑三幾何。又相為連比例而錯矣。次三試之。若庚大於癸。 本篇 本篇二 一即壬亦大於五。若等。亦等。若等。亦小。亦等。亦等。亦等。 十一 十一 則一甲三丁所倍之庚壬。與二丙四 本篇界 己所倍之癸丑等。大小皆同類也。是一甲與二丙。若三丁與四己。 説六 上既有甲與乙。若己與卯。乙與丙。若戌與己。又有丙與寅。若丁與戌亦顯甲與寅 若丁與卯。何者。依上論。先顕甲與丙。若戌與卯。次丙與寅。又若丁與戊。即以甲丙 寅作三幾何。丁戊卯作又三幾何。相為連比例而錯。依上論亦得甲與寅。若丁與 如三以 卯四以上悉依此推顕。 第二十四題凡第一與二幾何之比例。若第三與四幾何之比例。而第五與二之 比例若第六與四。則第一第五弁與二之比例。若第三第六弁與四。 解曰。一甲乙與二丙之比例。若三丁戊與四己。而五乙庚與二丙。若 六戊卒與四己。題言一甲乙五乙庚并與二丙。若三丁戌六戊辛并 與四己。 一論曰。乙庚與丙。既若戊辛與己。反之。丙與乙庚。若己與戊辛也。本 一又甲乙與丙。既若丁戊與己。而丙與乙庚。亦若己與戊辛。平之甲乙 本篇 與乙庚。若丁戊與戌辛也。 本篇二 十二 十二 又合之甲庚金與乙庚。若丁辛全 本篇 興戌辛也。 十八 夫甲庚興乙庚。既若丁享興戌辛。而乙庚與丙乙庚丙。亦若戊辛興乙。平 本篇二 一之甲庚興丙。若丁辛興己矣 十二 第六題言幾倍後増題 注曰。依本題論。可推広第六題之義。作後増題。 不止言倍其義稍廣矣 增題此兩幾何。與彼兩幾何。比例等。於此兩幾何每截取一分。其截取兩幾何。與 彼兩幾何比例等。則分餘兩幾何。與彼兩幾何。比例亦等 解曰如上圖。甲庚丁卒此両幾何。與丙己彼兩幾何。比例等者甲庚與丙。若丁卒一 與己也。題言截取之甲乙與丙。若丁戊與己。則分餘之乙庚與丙亦若戌辛與己 論曰。甲乙與丙。既若丁戌與己。即反之。丙與甲乙。若己與丁戊也。 内既若丁卒與己而丙與甲乙亦若己與丁戊。即平之甲庚與一 記若丁辛與己所與而丙與甲乙亦若己與丁戌。即平之甲庚與甲乙若丁辛與丁 本篇 四 同一 四 本篇二 成也 十二 一又分之。乙庚與甲乙。若戌辛與丁戊也。 本篇 夫乙庚與甲乙庚與甲乙戌 十七 辛與丁戊而甲乙與丙。若丁戌與乙即平之。乙庚與丙若戌年興乙也。 第二十五題四幾何為斷比例。則最大與最小雨幾何并。大於餘兩幾何并。 解曰。甲乙與丙丁之比例若戌與己。甲乙最大。己最小。題言甲乙己并。大於丙丁 十三 本篇二 又甲庚與 戊 論曰。試於甲乙截取甲庚。與戌等。於丙丁截取丙辛。與己等。即甲庚與丙辛之比一 例若戌與己也。亦若甲乙與丙丁也。夫甲乙金與丙丁全既若截取之甲庚與丙 中西尊学大成巻六幾何原本五 本篇 本篇 一辛。即亦若分餘之庚乙與辛丁也。 而甲乙最大必大於丙丁。 十九 即庚乙亦大於辛丁矣。又甲庚與戊。丙辛與己。既等。即於戌加丙 辛於己加甲庚。必等。而又加不等之庚乙辛丁。則甲乙己并。豈不 大於丙丁戊并。 第二十六題第一與二幾何之比例。大於第三與四之比例。反之。則第二與一之 比例小於第四與三之比例。 解曰。一甲與二乙之比例大於三丙與四丁。題言反之。二乙與一 甲之比例小於四丁與三丙。 論曰。試作戌與乙之比例。若丙與丁。即甲與乙之比例。大於戊與 本篇 乙而甲幾何大於戊。 則乙與戊之比例。大於乙與甲也。本篇 十一 反之。則乙與戌之比例。若丁與丙。 本篇一 次而乙與甲之比例。小於丁 四 與丙 第二十七題第一與二之比例。大於第二興四之比例。更之。則第一與三之比 例。亦大於第二與四之比例。 解曰。一甲與二乙之比例。大於三丙與四丁。題言更之。則一甲與 三丙之比例亦大於二乙與四丁。 論曰。試作戌與乙之比例。若丙與丁。即甲與乙之比例。大於戊與一 本篇 乙而甲幾何大於戊 罪則甲與丙之比例。大於戊與丙也。以 本篇 八 十 十 夫戌與乙之比例。既若丙與丁。更之。則戊與丙之比例。亦若乙與 ○本篇 丁 而甲與丙之比例。大於乙與丁矣。 十六 第一項例之比例。大於第三與四之比例。合之比例。則第一第二并與二 之比例。亦大於第三第四并與四之比例。 解曰。一甲乙與二乙丙之比。大於三丁戊與四戌巳。題言合之。則 丙山 甲丙與乙丙之比例。亦大於丁己與戊己。 乙も 戊戌 論。曰試作庚乙與乙丙之比例。若丁戊與戌己。即甲乙與乙丙之一 本篇 比例。大於庚乙與乙丙。而甲乙幾何大於庚乙矣。 十 此二率者。 十一 庚く 丁 每加一乙丙。即甲丙亦大於庚丙。而甲丙與乙丙之比例。大於庚 本篇 丙與乙丙也 八 人 八 夫庚乙與乙丙之比例。既若丁戊與戊己合之 本篇 而甲丙與乙丙 則庚丙與乙丙之比例。亦若丁己與戊己也。 十八 之比例。大於丁己與戊己矣。 第二十九題第一合第二與二之比例。大於第三合第四與四之比例。分之。則第 一與二之比例亦大於第三與四之比例。 丙山 解曰。甲丙與乙丙之比例。大於丁己與戊己。題言分之。則甲乙與 乙丙之比例亦大於丁戊與戊己。 乙 庚く 甲 已上 戊 丁 論曰。試作庚丙與乙丙之比例。若丁己與戊巳。即甲丙與乙丙之 比例。亦大於庚丙與乙丙。而甲丙幾何大於庚丙矣。本篇此一 此二率 十 者。每減一同用之乙丙。即甲乙亦大於庚乙。而甲乙與乙丙之比 む本篇 本篇 例大於庚乙與乙丙也。 八 凞夫庚丙與乙丙之比例既若丁己與 本篇 戊己。分之。則庚乙與乙丙之比例。亦若丁戊與戌巳也。本篇而 而甲 十七 乙與乙丙之比例。大於丁戊與戊己矣。 第三十題第一合第二。與二之比例。大於第三合第四。與四之比例。轉之。則第一 一合第二。與一之比例。小於第三合第四。與三之比例。 解曰。甲丙與乙丙之比例。大於丁己與戊己。題言轉之。則甲丙與甲乙之比例。小 於丁己與丁戊 論曰。甲丙與乙丙之比例。既大於于己與戊巳。分之。即甲乙與乙丙之比例。亦大 丙 戊 於丁戊與戊巳也。 本篇二 十九 又反之乙丙與甲乙之比例小於戊己與 丁戊矣 本篇二 十六 一又合之甲丙與甲乙之比例。亦小於丁己與丁戊也。 本篇二 十八 甲 丁 第三十一題此三幾何。彼三幾何。此第一與二之比例。大於彼第一與二之比例。 此第二與三之比例。大於彼第二與三之比例。如是序者。以 平理推。則此第一與三之比例。亦大於彼第一與三之比例。 解曰。甲乙丙。此三幾何。丁戊己。彼三幾何。而甲與乙之比例 大於丁與戌乙與丙之比例。大於戊與己。如是序者。題言以 平理推。則甲與丙之比例。亦大於丁與己。 論曰。試作庚與丙之比例。若戌與己。即乙與丙之比例。大於 庚與丙。而乙幾何大於庚。体レ偏是甲與小庚之比例。大於甲 一與大乙矣。本篇夫甲與乙之比例。元大於丁與戌。即申與庚 之比例。更大於丁與戊也。次作辛興庚之比例。若丁與戊。即 本篇 一甲與庚之比例。亦大於辛與庚。而甲幾何大於卒。此 雨是大甲與丙之比例大於 十〇 本篇 十〇 一本篇二 小辛與丙矣 則甲與丙 八十 凞夫辛與丙之比例。以平理推之。若丁與己也。一 十二 之比例大於丁與己也。 第三十二題此三幾何。彼三幾何。此第一與二之比例。大於彼第二與三之比例。 此第二與三之比例。大於彼第一與二之比例。如是錯者。以平理推。則此第一與 三之比例。亦大於彼第一レ與三之比例。 解曰。甲乙丙此三幾何。丁戊己彼三幾何。而甲與乙之比例。 大於戊與己。乙與内之比例。大於丁與戊。如是錯者。題言以 平理推則甲與丙之比例亦大於丁與己。 論曰。試作庚與丙之比例。若丁與戌。即乙與丙之比例。大於 一庚與丙。而乙幾何大於庚。此 本篇 十 十 琉球是甲於小庚之比例大於甲 本篇 與大乙矣 并夫甲與乙之比例既大於戌與己。即甲與庚一 八 八 八 之比例。更大於戊於已也。次作辛與庚之比例。若戌與己。即 甲與庚之比例。亦大於辛與庚。而甲幾何大於辛。 本篇 是大 十一 本篇 一甲與丙之比例。大於小辛與丙矣。此 夫辛與丙之比例以 八 平理推之。若丁與己也。 一本篇二 則甲與丙之比例。大於丁與 己也。 第三十三題此全興彼全之比例。大於此全蔵分與彼全截分之比例。則此全分足 一餘與彼全分餘之比例。大於此全與彼全之比例 解曰。甲乙全與丙丁全之比例。大於両截分甲戌與丙己。題言両分 餘戊乙與己丁之比例。大於甲乙與丙丁。 一論曰。甲乙與丙丁之比例。既大於甲戌與丙己。更之。即甲乙與甲戌 之比例。亦大於丙丁與丙己也。大 十七 本篇二 又轉之。甲乙與戊乙之比例 小於丙丁與己丁也。 本篇一 己丁也 十七 本篇 又更之。甲乙與丙丁之比例。小於戊乙與 三十 與己丁。分餘也。則分餘之比例。大於甲乙全與 丙丁全矣。依顕雨全之比例。小於截分。則分餘之比例。小於両全。 弟三十四題三支若干幾何。又有若干幾何。其數等。而此第一與彼第一之比例。 第三十四題 大於此第二與彼第二之比例。此第二與彼第二之比例。大於此第三與彼第三 之比例。以後俱如是。則此并與彼并之比例。大於此未興彼未之比例亦大於此 并減第一與彼并減第一之比例。而小於此第一與彼第一之比例 中西算学大成 一丙 解曰。如甲乙丙三幾何。又有丁戊己三幾何。其甲與丁之比例。大 於乙與戊。乙與戌之比例。大於丙與己。題先言甲乙丙并與丁戊 己并之比例大於丙與己。次言亦大於乙丙并與戊己并。後言小 於甲與丁。 論曰。甲與丁之比例。既大於乙與戌。更之。即甲與乙之比例。大於 丁興戌也 本篇二 十七 本篇二 又合之。甲乙并與乙之比例大於丁戊并與戌 本篇 む本篇二つ 也。 十八 又更之。甲乙并與丁戊并之比例大於乙與戊也。 七 二十 是甲乙全與丁戌金之比例。大於減并乙與減并戊也既爾。即 一減餘甲與減餘丁之比例。大於甲乙全與丁戊全也。 本篇三 依顯 十三 乙與戌之比例。亦大於乙丙全與戊己全。即甲與丁之比例。更大 於乙丙全與戊己全也。又更之。甲與乙丙井之比例。大於丁與戌 本篇二 己并也 十七 本篇二 十七 又合之。甲乙丙全與乙丙并之比例。大於丁戊己 一全興戊己并也。 本篇二 十八 又更之。甲乙丙全與丁戊己全之比例大於乙丙并與戌 己并也 十七 則得次解也。又甲乙丙全與丁戊己全之比例。既大於減并乙丙 與減并戊己。即滅餘甲與減餘丁之比例。大於甲乙丙全與丁戊己全也。本 則得後解也。又乙與戌之比例既大於丙與己。更之。即乙與丙之比例。大於戊卯 十二 本篇三 己也 本篇ニ一 十七 丙并與戊己并之比例。大於丙與己也。 又合之。乙丙金與丙之比例。大於戊己全與己也。 本篇二 十八 本篇二 十八 而甲乙丙并與丁戊己并之比例 十七 既大於乙丙并與戊己并。即更大於末丙與未己也。則得先解也。 又更之乙 若兩率各有四幾何。而丙與巳之比例。亦大於庚與辛。即與前論 同理蓋依上文論乙與戊之比例。大於乙丙庚并與戊己辛并。即 甲與丁之比例更大於乙丙庚并與戊己辛并也更之。即甲與乙 本篇 本篇7 丙庚并之比例大於丁與戊己辛并也。 又合之甲乙丙庚全 十八 與乙丙庚并之比例。大於丁戊己辛全與戌巳辛并也。又更之。甲 乙丙庚八壬與丁戊巳年全之比例。大於乙丙庚并與戊己辛并也。 本篇二 十七 二則得次解也。又甲乙丙庚全與丁戊己辛全之比例。既大 十七 於減并乙丙庚與減并戊巳卒。即滅餘甲與減餘丁之比例。大於 本篇三 甲乙丙庚全與丁戊己辛全也 一則得後解也。又依前論顯 十三 乙丙庚并與戊己辛并之比例既大於庚興辛。而甲乙丙庚金與丁戊己辛全之 比例大於乙丙庚并與戌己辛并。即更大於末庚與末辛也。則得先解也。自五以 上。至於無窮。俱倣此論。可顯全題之旨。 山陰米正元校絵一 海斎諸兆熊覆校 幾何原本 巻六 中西真学大成巻七 嘉善陳維棋纂 一幾何原本六 九六則 界説 第一界凡形。相当之各角等。而各等角旁両線之比例。俱等。為相似之形 丙 甲乙丙寸戊己。雨角形之甲角與丁角等。乙與戌丙與己各 庚は 一等。其甲角旁之甲乙。與甲丙両線之比例若丁角旁之丁戊一 乙 與丁己兩線。而甲乙與乙丙。若丁戊與戌已。甲丙與丙乙。若 丁己與己戌則此両角形為相似之形。依顯凡早邊形皆相 似之形。如庚辛壬癸子丑俱平辺角形。其各角俱等。而各辺 之比例亦等者是也。四邊五邊以上諸形。俱倣此 第二界兩形之各両邊線。互為前後率。相與為比例而等。為互相視之形。 甲乙丙丁戊己庚辛。兩方形其甲乙乙丙邊 寅 與戊己己庚邊。相與為比例等。而彼此互為 前後。如甲乙與戊己。若己庚與乙丙也。則此 兩形為互相視之形。依顯壬癸子丑寅卯兩 角形之壬子與丑寅。若丑卯與壬癸。或壬癸 幾何原本六 辛丑重校 與丑寅。若丑卯與壬子。亦互相視之形也。 第三界理分中末線者。一線両分之。其全與大分之比例。若大分與小分之比例。一 甲乙線兩分之于丙レ而甲乙與大分甲丙之比例若大分甲丙與小分丙 丙 乙。此為理分中末線。其分法。見本篇三十題而與二篇十一題理同名異。 也。 此線為用甚廣。至量體尤所必須。十五篇諸題多頼之古人目為神分線 第四界度各形之高。皆以垂線之互為度 甲 甲乙丙角形。從甲頂。向乙丙底作甲庚垂線。即甲庚為甲乙 丙之高。又丁戊己角形。作丁辛垂線。即丁辛為丁戊己之高。 一若兩形相視。両垂線等。即両形之高。必等。如上両形在両平 行線之内者是也。若以丙已為頂以甲乙丁戊為底。則不等 自餘諸形之度高俱倣此 凡度物高。以頂底為界。以垂線為度。蓋物之定度。止有一。不得有二。自頂至底。垂 線一而已偏線無数也 第五界比例以比例相結者。以多比例之命數。相乘除而結為一比例之命數 此各比例不同理。而相聚為一比例者。則用相結之法。合各比例之命数。求首尾。 十二ノ 六― ア 六倍 十二 十二 一比例之命數也。曷為比例之命數。謂大幾何所 倍於小幾何若干。或小幾何。在大幾何内若干也。 一如大幾何四倍於小。或小幾何。為大四分之一即 各以四為命比例之数也 五篇界 今言以彼多比 説三 例之命數。相乘除。而結為此一比例之命數者。如 二倍 六倍 十二倍之此比例則以彼二倍六倍兩比例相結結 也。二六相乘為十二故也。或以彼三倍四倍兩比一 五倍 例相結也。三四相乗亦十二故也又如三十倍之 此比例則以彼二倍三倍五倍三倍五倍三比例相結也二 五 十五 一乗三為六。六乗五為三十故也 二十 三十 其曰相結者。相結之理。蓋在中率。凡中率為前比 三 例之後。後比例之前。故以二比例合為一比例。則一 中卒為輳合之因。如両引合。此為之勝。如両襟合。此為之紐矣。第五篇第十界言 数幾何為同理之比例。則第一与第三為再加之比例。再加者。以前中二率之命 數。再加為前後二率之命數。亦以中率為紐也。但彼所言者。多比例同理。故止以 第一比例之命數累加之。此題所言。則不同理之多比例不得以第一比例之命 数累加之。故用此乗除相結之理。于不同理之中求其同理別為累加之法。其紐 結之義。頗相類焉。下文仍発明借象之術以需後用也。 五篇言多比例同理者。第一与第三為再加。與第四為三加。與第五為四加。以至 無窮。今此相結之理。亦以三率為始。三率則兩比 三十 例相乘除。而中率為紐也。若四率。則先以前三率 之兩比例。相乘除。而結為一比例。復以此初結之。 比例。與第三比例乘除。相結為一比例也。若五卒。一 百廿 則先以前三率之両比例。乘除相結。復以此再結 之比例。與第三比例。乘除相結。又以三結之比例。 與第四比例。乘除相結。為一比例也。或以第一第 之兩比例。乘除相結。又以此二所結比例。乘除相結。而為一比例也。自六以上。 二第三率之両比例。乘除相結。以第三第四第五 此以至無窮。 一十二乙設三幾何。為二比例。不同理。而合為一比例。則以第一 丁與二。第二與三兩比例相結也。如上図。三幾何。二比例。 一成-己皆以大不等者其甲乙與丙丁。為二倍大丙丁安戊己 為三倍大。則甲乙與戊己為六倍大。二乗三為六也。右以小不等。戊己為第一。甲 甲丁一十一石 乙為第三。三乗二亦六則戊己與甲乙。為反六倍大也。 甲乙與丙丁。既二倍大。試以甲乙二平分之為甲庚庚乙。必各與丙丁等。丙丁與 戊己。既三倍大。而甲庚庚乙。各與丙丁等。即甲庚亦三 倍大干戊己。庚乙亦三倍大於戊巳。而甲乙必六倍大 丙一丁 於戊己 又如上圖。三幾何。二比例。前以大不等。後以小不等者。 戌一月一巳 中率小干前後兩率也。其甲乙與丙丁。為三倍大丙丁一 反二倍大者丙 即甲乙與戊己為等帶帶半。三乘半。得等帶半 與戊已為反二倍大。 丁得戊己之半 也。者以戊已為第一。 也。若以戊已為第一。甲乙為第三。反推之。半乗三。為反等帯半也。 又如上図。三幾何。二比例。前以小不等。後以大不等者。 里十一乙 中率大於前後二率也。其甲乙與丙丁。為反二倍大。甲乙 同十一丁一丁 同丙丁 丙丁丙丁丙丁與戊巳。為等帶三分之一。即甲乙與戊己 戌十一月 之半。 甲乙得戊己 為反等帯半 三分之二 乙何者如甲乙二即丙丁当四 後增。其乘除之法。則以命數三。帶得數一。為四。以半除之。得二。二比三。為反等帶 丙丁四。即戊己當三。是甲乙二戊己當三也。 幾何原本六 半也。若以戌已為第一。甲乙為第三。三比二。為等帯帯半也。 十一十一設四幾何。為三比例不同理。而合為一比例。則以第一與 第二十一二。第二與三第二第三郎三與四三比例相結也。甲乙丙丁 十一十一一四幾何。三比例。先依上論。以甲與乙。乙與丙。乙與丙。相結 十一一為甲與丙之比例。次以甲與丙。丙與丁相結。即得甲與丁 之比例也。如是遞結。可至無窮也。 或用此図。申明本題之旨曰。甲與乙之命數為丁。乙與丙之命數為戌。即甲與丙 甲丁丁 二月 之命數為已。何者。三命數。以一丁。二戊。相乘得三 已。即三比例以一甲與乙。二乙與丙。相乘得三甲 丙丁 與丙。 丁丁 一後増。若多幾何。各帯分而多寡不等者。当用通分 法。如設前比例。為反五倍帶三之二。後比例。為二 戌十一 倍大帶八之一即以前命數三通其五倍。為十五 三十一 得分數從之。為十七。是前比例為三與十七也以 後命數八。通其二倍。為十六二。得分数從之。為十七。是後比例為十七與八也。即首 尾二幾何之比例為三與八得二倍大帶三之二也 曷謂借象之術。如上所說。三幾何二比例者。皆以中率為前比例之後。後比例之一 前。乗除相結。略如連比例之同用一中率也。而不同理。別有二比例異中率者。是レ 不同理之断比例也。無法可以相結。当于其所設幾何之外。別立三幾何。二比例。 而同中率者。乘除相結。作為儀式以彼異中率之四 十六八苗十六六苗十六六苗 三九九三六二八 二九四三六四八 幾何。二比例。依倣求之。即得。故謂之借象術也仮如 所設幾何。十六為首十二為尾。卻云十六與十二之 十二四十八十二二十八十二九十八 十六四廿四十六四廿四十六四廿四 同九五四二十二六卅六 六卅六 比例。若八與三。及二與四之比例。八為前比例之前。 四為後比例之後。三與二為前之後。後之前。此所謂 六五四六十二 二卅六 六五四 十二二十八十二九十八十二一十八 異中率也。欲以此二比例。乘除相結。無法可通矣。用 是別立三幾何。二比例。如其八與三。二與四之比例。 而務令同中率。如三其八。得二十四。為前比例之前。三其三。得九。為前比例之後。 即以九為後比例之前。又求九與何數為比例。若二與四。得十八。為後比例之後。 其二十四與九。若八與三也。九與十八。若二與四也。則十六與十二。若二十四與 十八。倶為等帯半之比例矣。是用借象之術。変異中率為同中率。乘除相結。而合 二比例為一比例也。其三比例以上。亦如上方所説。展轉借象遞結之。詳見本 篇二十三題。算家所用借象金法。雙金法。俱本此 幾何原本六 甲乙線。其上作甲戌丁丙平行方形。不満甲乙線。而丙乙上無形。即作己乙乙線與一 第六界平行方形。不満一線。為形小干線。若形有餘。緑不足。為形大干線。 七丁丙平行。次引戊丁線。遇己乙于己。是為甲戌己乙満甲乙線 平行方形。則甲丁為依甲乙線之有闕平行方形。而丙己平行 方形為甲丁之闕形又甲丙線上。作甲戌己乙平行方形。其甲 乙邊。大干元設甲丙線之較。為丙乙。而甲己形。大于甲丙線上 之甲丁形。則甲已為依甲丙線之帶餘平行方形。而丙已平行 一方形為甲巳之餘形。 論線面之比例凡三十三題一 論線面之比例 第一題等高之三角形。方形。自相與為比例。與其底之比例等。 解曰。甲乙丙丁戊己両角形等高。其底乙丙。戊乙丙庚戌辛両方形等高。其底乙 丙戌巳。題言甲乙丙與丁戊巳之比例丙庚與戌辛之比例皆若乙丙與戊己丙與戊巳 凡形自頂至底作垂線即本形之高故 論曰。試置四形于庚辛子寅雨平行線内印 等高者必在平行線内見本篇界説四冊 於乙子線内。作數底線。各與乙丙等。為乙壬壬癸癸子于己寅線内。作數底線。各 與戊己等。為己丑丑寅次從甲從丁。作甲壬甲癸甲子。丁丑丁寅諸線。其甲乙丙。 ○一篇 甲乙壬甲壬癸甲癸子。四三角形。既等辰。而在平行線内。即等。一篇依願丁戊巳。 丁己丑丁丑寅三三角形。亦等。則子丙底線。大于乙丙若干倍。 而甲子丙角形。大于甲乙丙亦若干倍。依顯戊寅之倍戊己。亦 ☆底線分数與形 廿七若丁戊寅之倍丁戊己 之分数等故 即用三試法。若子丙底。 乙大于戊寅辰。則甲子丙形。亦大干丁戊寅形也若等亦等。若小 丙亦小也 一一 三八目 則一乙丙所倍之子丙。三甲乙丙所倍之甲子丙。 與二戊己所倍之戊寅。四丁戊己所倍之丁戊寅等。大小皆同 庚 養類也而一乙丙底與二戌已底之比例若三甲乙丙與四丁戊 五篇 己矣 六界 又丙庚戌辛。雨方形。各倍大干甲乙丙丁戊己雨角 形 丹波 廿十 一篇三 リ十三 十三 而甲乙丙與丁戊巳之比例既若乙丙與戊己即丙庚與戌辛両方形 五篇 或從壬癸子及丑寅各作直線與庚乙辛 之比例亦若乙丙與戊己丙底矣。 十五、 十五 己平行。即依上論推顯。 増題。凡両角形。両方形。各等底。其相與為比例。若雨形之高之比例。 解曰。甲乙丙與丁戊己兩角形。甲庚乙丙與 丁戊己辛両方形。其底乙丙與戊己等。題言 一戸己王向方那其方乙同身乃己等是言 甲乙丙與丁戊己兩角形之比例甲庚乙丙 與丁戊己辛両方形之比例皆若甲壬與丁 幾何原本六 癸両高 論曰。試作子壬辰線。與乙丙等。作丑癸底線與戊己等。次作甲子丁丑両線。其甲 壬子與甲乙丙両角形等底。又等高。即等。依顯丁癸丑與丁戊己両角形亦等。 五篇 楠今以甲壬丁癸為底 七 三即甲乙丙與于戌巳之比例。若甲壬子與丁癸丑也。此 本篇 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 同而甲乙丙與丁 即甲壬子與丁癸丑兩角形之比例。若甲壬與丁癸兩底也本記修仁 戊巳之比例。亦若甲壬與丁癸矣。又甲乙丙與丁戊己両角形之比例。既以倍大 一故。若甲庚乙丙與丁戊己辛兩方形之比例 同五篇 十五 即兩方形之比例。亦若甲壬與 丁癸両底也 第二題 二支 五篇 若作庚子卒丑兩線。亦依前論推顯 十一 二支三角形。任依一邊作平行線。即此線分兩餘邊以為比例。必等。三角一 形内。有一線分雨邊以為比例。而等。即此線與餘邊為平行。 先解曰。甲乙丙角形内。如作丁戊線。與乙丙平行。題言丁戊分 甲乙。甲丙于丁。于戌。以為比例。必等者。甲丁與丁乙若甲戌與 戊丙也 論曰。試作丁丙戌乙兩線。其丁戊乙丁戊丙雨角形。同以丁戊 為底同在両平行線内即等 一篇 三七 而甲戌丁與丁戊乙兩角形 一之比例。若甲戌丁與丁戊丙矣。 七 五篇 同夫甲戊丁與丁戊乙兩角形。亦在兩平行線 内。 花若干戊點上作一線與甲 乙平行即雨形在其内 下則甲戊丁與丁戊乙兩角形之比例。若甲丁與丁乙 両底也 篇依顯甲戌與戌丙雨底之比例亦若甲戌丁與丁戊丙雨雨角形也。 一両 両 形 亦在両平 行線内故 走甲丁與丁乙兩線之比例甲戌與戊丙兩線之比例皆若甲戊丁與 丁戊乙與 則甲丁與丁乙亦若甲戌與戊丙也。 丁戊乙也或與丁戊丙也 五篇 十一 丁戊丙等 後解曰。甲乙丙角形内。有丁戊線。分甲乙甲丙于丁。于戌以為比例。而等。題言丁 戊與乙丙為平行線 論曰。試作丁丙戌乙兩線其印丁與丁乙兩底之比例若甲戊丁與丁戊乙兩角 在雨平行線内 形也 救見本篇一 而甲丁與丁乙之比例。若甲戌與戌丙即甲戌丁與丁戊乙一 之比例亦若甲戌與戌丙也。 五篇 十一 又甲戌與戌丙兩底之比例。既若甲戌丁。與丁 在両平行線内 戊丙 故見本篇一 五篇 則甲戌丁与丁戊乙之比例亦若甲戌丁與丁戊丙也 十一 而丁戊乙與丁戊丙雨角形等矣。 九 五篇 両角形同以丁戊為底而等則在兩平行 とて馬 線内 一篇三 十九 二支 第三題 二支三角形任以直線分一角為兩平分。而分對角邊為兩分。則兩分之 比例若餘兩邊之比例三角形分角之線。所分對角邊之比例若餘兩邊則所分 角為両平分。 先解曰。甲乙丙角形。以甲丁線分乙甲丙角。為雨平分。題言乙丁與丁丙之比例 幾何原本六 若乙甲與甲丙 論曰。試作乙戊線與甲丁平行。次于丙甲線引長之至戊其甲 乙戌與乙甲丁。為平行線相對之兩内角等。外角丁甲丙與内 角戌亦等 一篇二 今乙甲丁。與丁甲丙又等即甲乙戌角與戌 乙甲丁與丁甲丙又等即甲乙戌角與 十九 一篇 一篇 則戊甲與甲丙之 角亦等也而甲戌與甲乙兩腰亦等矣 六一 六 比例。若乙甲與甲丙也。 五篇 七 扁夫戊甲與甲丙之比例若乙丁與丁丙也未 二 本篇 五篇 甲與甲丙之比例亦若乙丁與丁丙也 則乙 十一 後解曰乙丁與丁丙之比例若乙甲與甲與甲丙乙言甲丁線分乙甲丙角為雨平分。 論曰。依前作乙戌線奥甲丁平行而引丙甲線至戌其乙甲與甲丙之比例。既若 乙丁與丁丙甲丁線又與戊乙邊平行。而乙丁與丁丙之比例。若戊甲與甲丙甲丙午 本 篇 五五 二 二即乙甲與甲丙之比例亦若戊甲與甲丙 十一 卄九日朝是戊甲兩線等矣 九 御修理 五篇 て 則甲乙戊角與戊角亦等也 } 五 一篇 夫甲乙戌與乙甲丁為平行線相對之兩内角 一等而外角丁甲丙與内角戌亦等 十九 一篇二 則乙甲丁。丁甲丙。雨角必等。 第四題凡等角三角形。其在等角旁之各両腰線相與為比例必等。而対等角之 湯為相似之辺 解曰。甲乙丙丁丙戌。雨角脉等角者。甲乙丙與丁丙戌。甲丙乙與丁戊丙乙甲丙乙甲丙乙甲乙丙乙丙與丁丙戌。雨角 與丙丁戊毎相当之各角俱等也。題言甲乙與乙丙之比例若 丁丙與丙戌甲乙與甲丙若丁丙與丁戊甲丙與乙丙與乙丙若丁戊 与丙戊而毎対等角之辺各相似相似者。謂各前各後率。各対 本形之相当等角 論曰試並置両角形。令乙丙丙戌両底為一直線而丁丙戌為 甲乙丙之外角其甲乙丙甲丙乙両角既小干雨直角七 廿七 一篇二 丁戊丙與甲丙乙兩角又等即乙戌雨角。亦小干雨直角而乙 一篇界 甲戌丁丙線引出之必相遇 即作兩線。令遇於已。其丁丙戌外角。與甲乙 説十一 丙内角既等。即丁丙與己乙為平行線 第一篇二 依顯甲丙乙外角與丁戊丙内角 十八 既等。即甲丙與己戌亦平行線。 丙兩線等也。甲丙與己丁兩線等也 一篇二 十八 而甲巳丁丙為平行線方形則甲己與丁 一箱三 十四 三夫乙戊己角形内之甲丙線既與己 七十四 本篇 行即甲乙與等甲巳之丁丙之比例若乙丙 二 戌邊平行。即甲乙與等甲巳之丁丙之比例若乙丙與丙戌也。 二 更之即甲乙 五篇 與乙丙。若丁丙與丙戌也 又乙戊己角形内之丁丙線既與己乙邊平行即 十六 乙丙與丙戌之比例若等己丁之甲丙與丁戊也 五篇 戊與丁戊也 同夜篇 「更之即乙丙與甲丙若丙 二 甲乙與乙丙既若丁丙與丙戌丙乙丙乙丙與甲丙乙丙戌與丁 十六 戊子之即甲乙與甲丙若丁丙與丁戊也 五篇二 十二 一幾何原本六 一一条凡角形内之直線。与一辺平行。而截一分為角形。必与 形相似如上甲乙丙角形作丁戊直線與乙丙平行。而截一分 為甲丁戊角形。必與甲乙丙全形相似。何者。甲丁戌外角。與甲 乙丙内角等甲戌丁外角。亦與甲丙乙内角等。 一篇二 十九 申角又 一同。即兩形相似。而各等角旁兩邊之比例等。体 増題凡角形之内任依一邊。作一平行線于此邊任取一點向對角作直線則所 分両平行線比例等 解曰。甲乙丙角形内。作丁戊線。與乙丙平行。次于乙丙邊。任 取己紙点向甲角作直線分丁戊于戊子戊乙庚巳丙之比 例若丁庚與庚戌。 十一 五篇 十六 一論曰。甲己乙甲庚丁。雨角形既相似。本即甲己與己乙之比 例若甲庚與庚丁也更之即甲乙與甲庚甲庚若乙乙與庚丁也。 一歳依顯甲乙與甲庚若己丙與庚戌也。則乙己興丁庚。亦若己丙與庚戌也。 五篇 一更之。即乙己與己丙。若丁庚與庚戌也。 十六 又論曰甲巳乙。甲庚丁。雨角形。甲巳丙。甲庚戌雨角形。既各相似。即乙己庚甲乙 之比例若丁庚與庚甲也。奉依顯甲己與巳丙。亦若甲庚與庚戌也。平之即乙巳 五篇二 五篇一 與己丙若丁庚與庚戌也。 十二 五篇二 第五題両三角形。其各兩邊之比例等。兩形為等角形。而對各相似邊之角各 等 解曰。甲乙丙。丁戊巳。雨角形。其各兩邊之比例等者。甲乙與乙丙。 若丁戊與戌己而乙丙與甲丙。若戊己與丁己甲丙與甲乙若丁 己與丁戊也題言此両形為等角形。而対各相似辺之角。甲與丁。 乙與戊丙與己各等 論曰。試作己戊庚角與乙角等。作庚己戌角與丙角等。而戌庚已一 一篇 一同一篇 庚雨線遇於庚即庚角與甲角等 同是甲乙丙庚戌巳雨形等 庚雨線遇於庚即庚角與甲角等 三二 三二 牛馬 角矣則甲乙與乙丙之比例若庚戌與戊己也 本篇 一 四 甲乙與乙丙元若丁戊與戌 元若丁戊助 第五篇く 五篇 一。則庚戌朔戌已亦若丁戊與戊巳也。 而丁戊與庚戌雨線必等 五篇 又乙 十一 十一 十一 九 丙與甲丙之比例若戊己與庚己 本篇 四 『而乙丙與甲丙。元若戊己與丁己則戊己 七四 五篇 水下三十四日 而丁己與庚己兩線必等 九 與庚己亦若戊己與丁己也 ○五篇 夫庚戌庚巳雨 十一 腰既與丁戊丁己雨腰各等。戊己同底即丁角與庚角亦等。一 一篇 其余庚戌己與 八 丁戊己庚己戌與丁己戌各相当之角俱等 一篇 同 畢而庚角與甲角既等即丁角與 甲角亦等。丁戊己角與乙角。丁己戌角與丙角。俱等 長田原本六 中西算学大成 第六題両三角形之一角等。而等角旁之各両辺比例等。即雨形為等角形。而対 各相似邊之角各等 解曰。曰甲乙丙丁戊己両角形。其乙與戊両角等。而甲乙與乙丙之 比例。若丁戊與戊己。題言餘角丙與己甲與丁。俱等。 論曰。試作己戌庚角。與乙角等。作庚己戌角。與丙角等而戌庚巳 庚雨線遇於庚。依前論。推顯甲乙丙庚戌己雨形等角。即甲乙與 乙丙之比例若庚戌與戌巳也。 四 四 本篇 明甲乙與乙丙元若丁戊與戊 十五篇 也 己。則庚戌與戊己亦若丁戊與戊己也。 也十 八十一 而丁戊與庚戌雨線 必義万 必等 五篇 夫丁戊庚戌雨邊既等。戊己同邊庚戌巳角與丁戊己角又等。午 ○丁戊己 七丁戊己 角與乙 一篇 角等而已戊庚 冊而庚角既與甲角等。庚乙戌角既 四 即其余各相当之角俱等 亦興乙等故 亦興乙等故 四 與丙角篭即甲角丙角與丁角戊己丁角各等。而甲乙丙丁戊己為等角形矣 第七題両三角形之第一角等。而第二相当角。各両旁之辺比例等。其第三相当 角。或俱小子直角。或俱不小于直角。兩形為等角形為等角対各相似辺之角各等 解曰。甲乙丙丁戊已。兩角形。其一甲角與一丁角等。而第二相當角。如甲丙乙丙乙丙 南之甲丙丙乙雨辺偕丁己戊雨菊之丁己己戊両邊比例等。其第三相当角如 乙與戊戌或俱小于直角。或俱不小于直角。題言両形等角者。謂甲丙乙角與己等 乙角與戊等 門先論乙與戊俱小于直角者曰。如云不然。而甲丙乙大于己。 二篇 令作甲丙庚角與己等。即甲庚丙角宜與戊等。 甲庚丙 卅二 乙與丁戊己為等角形矣即甲丙與丙庚之比例。宜若丁已與 己戊 四 本篇 本篇 而先設甲丙與丙乙若丁己與己戊也是甲丙與 五篇 五篇 丙庚。亦若甲丙與丙乙也。 戌丙戌丙庚亦若甲丙與丙乙也 同同四十一日同所同同同同 五 松戸棚 〇一篇 十一 一禁 九 丙庚乙與丙乙庚兩角角亦等也一 一篇 琉球夫乙既小于直角。即等腰内之丙庚乙亦 五 丙庚甲丙庚乙両角等 小干直角。則較角之丙庚甲必大干直角也。 主両直角見一篇十三 而丙庚甲既 與戊等。則丙庚乙宜大于直角矣。其相等之乙角。何由得小于直角也。 後論乙與戊俱不小于直角者曰。如云不然依先論乙角與丙庚乙角等。即丙庚 乙亦不小干直角夫丙庚乙丙乙庚同為角形内之両角。乃俱不小子直角。一名 一篇 一篇 何也則甲丙乙不得不等于丁己戌也而其餘乙與戊角等矣。 一篇 一篇 卅二 十七 第八題直角三辺形。従直角向対違作一垂線。分本形為両直角三邊形。両形 皆與全形相似。亦自相似。 解曰。甲乙丙直角三邊形。従乙甲丙直角作甲丁重線題言所分甲丁丙甲丁乙。 両三辺形皆与全形相似亦自相似 幾何原本六 論曰。甲乙丙甲丁丙。両形。既各以乙甲丙。甲丁丙。為直角。而丙角 又同即其餘甲乙丙丁甲丙雨角必等。一 一篇 三二 水則甲乙丙甲丁丙丙 形必為等角形而等角旁之各兩邊比例必等。等者謂乙丙與甲 丙若甲丙與丙丁也甲丙與甲乙若丙丁與甲丁也乙丙與甲乙 若甲丙與甲丁也即甲丁丙角形。與甲乙丙全形相似矣。 PR 本篇 本篇」 四 } 同十三十一日番依願甲丁乙角形。 與甲乙丙全形亦相似也何者。丙甲乙甲丁乙両皆直角。而乙角乙角又同。即其餘甲 Q一 一篇 丙乙丁甲乙兩角必等 卅二 卅一冊 甲乙丙甲丁乙兩形必為等角形而等角等角旁之各兩 邊比例必等故也依顯甲丁乙甲丁丙雨雨角形。亦相似也何者両形各與全形相 玉篇 五笠 似即兩形自相似 十一 糸従直角作。垂線即此線為両分対違線比例之中率。而直角南両辺。各為対角 全辺與同方分辺比例之中率。何者。丙丁与丁甲之比例若丁甲與丁乙也故丁 甲為丙丁丁乙丙分邊比例之申率也又乙丙與丙甲之比例若丙甲與丙丁也 故丙甲為乙丙丙丁之申率也乙丙與乙甲之比例若乙甲與乙丁也故乙甲為 乙丙乙丁之中率也 第九題一直線求截所取之分 法曰。甲乙直線求截取三分之一。先従甲任作一甲丙線為丙甲乙角。次從甲向 戊 庚 丙。任作所命分之平度。如甲丁丁戊戌已為三分也。次作己乙直 一線末作丁庚線與己乙平行即甲庚為甲乙三分之一 論曰。甲乙己角形内之丁庚線既與乙己邊平行。即己丁與丁甲 之比例。若乙庚與庚甲也本篇合之己甲與甲丁。若乙甲與庚甲 之比例若乙庚與庚甲也 五篇 五篇 兼而甲丁既為己甲三分之一。即庚甲亦為乙甲三分之一 也十 十八 也 丙 注曰甲乙綿。欲截取十一分之四。先作甲丙線為丙甲乙角。從甲向丙。任平分十 一分至丁。次作丁乙線末從甲取四分。得戌作戊己線與丁乙平行 戊戌 即甲已為十一分甲乙之四何者。依上論丁甲與戊甲之比例若乙 五篇 甲與己甲也反之。甲戌與甲丁。若甲巳與甲乙也。一 四 甲戌為十一 分甲丁之四。則甲己亦十一分甲乙之四矣依此可推不盡分之數 甲 蓋四不為十一之尽分故 第十題一直線求截各分。如所設之截分。 法曰。甲乙線求載各分。如所設甲丙任分之丁戊者謂甲乙所分各分之比例若 甲丁丁戊戌丙也先以甲乙甲丙両線相聯于甲。任作丙甲乙角。次作丙乙線相 聯末從丁從戌作丁己戊庚両線皆與丙乙平行。即分甲乙線于乙于庚若甲丙 幾何原本六 丙は 之分于丁于戌 論曰。甲丁與丁戊之比例。既若甲己與己庚。 二 本篇 即甲己與 一 己庚。亦若甲丁與丁戊也。更作丁卒線與甲乙平行。而分戊 庚于壬。即丁戊與戊丙若丁壬與壬卒也亦若等丁壬之已 一篇 庚仁 庚一 親與等壬辛之庚乙也。 庚。 庚 卅四 與戊丙也 二 二 一本篇 則己庚與庚乙亦若丁戊 從此題作一用法。平分一直線為若干分。如甲乙線求五平分。即從甲任作甲丙 丙 LEL 線為丙甲乙角次從甲向丙。任作五平分。為甲丁丁戊戌己 線為丙甲乙角次從甲向丙丙任作五平分為甲丁丁戊戌己 己庚庚辛。次作辛乙直線相聯末作丁壬戌癸己子庚丑四 線皆與辛乙平行。即壬癸子丑分甲乙為五平分。其理依前 論推顕 又一簡法。如甲乙線求五平分。即從丙任作丙乙線為丙乙線為丙乙 甲角次于乙丙任取一点為丁。作丁戊線與甲乙平行。次從 丁向戊任作五平分為丁己己庚庚辛辛壬壬癸。而丁癸線令小于甲乙次從甲一 過美。作甲子線遇乙丙于而末從子。作子壬子辛子庚子己四線各引長之而分 甲乙子丑子寅于卯于辰為五平分 論曰。丁戊與甲乙既平行。即子壬癸與子丑甲丙角。子癸壬 一篇 與子甲丑兩角各等 而甲子丑同角即甲子丑癸子壬 廿九 両角形相似矣。則子癸與癸壬之比例。若子甲與甲丑也。 本 篇 依顯子壬與壬辛。若子丑與丑寅也。又癸壬與壬辛等。即 千石五篇リニュ 子壬與壬癸。若子壬與壬辛也。 五篇 冊則子丑與丑甲。亦若子 七 七〇 成 乙俱與甲丑等。則甲乙線為五平分 丑與丑寅也而甲丑丑寅兩線等矣 五筥 一〇依顧寅卯卯卯辰 十一 分。而通甲乙為五平分。 又一簡法。如甲乙線求五平分。即從甲從甲從乙。作甲丁乙 丙兩平行線次從乙任作戌。已庚。辛。四平分。次用元度 從甲作壬。癸。子。丑四平分。来作戌丑己子庚癸辛壬四 線相聯即分甲乙于己于辰于卯于寅為五平分 論曰。辛庚與壬癸。既平行相等。即辛壬與庚癸亦平行。一 一篇 卅三 依顯己子戌丑俱平行。而申丑既為四平分則甲 已亦四平分。本題依顯乙辛既為四平分。則乙寅亦四平 又用法。先作一器丙丁戊己為平行続任平分為若干格。毎作平行線相聯今欲 一幾何原本六 甲一 壬 癸亥 子 分甲乙為五平分。即規取甲乙之度以一角抵戊丙線 而四而一角抵広卒。如不在庚辛者。即漸移之令至也。 至壬。即戌壬之分為甲乙之分矣。 論曰。庚癸與子卒。既平行相等。即癸子庚辛。亦平行相 く。 一篇 卅三 而丙丁戊己内諸線俱平行相等。戊庚為五平 本 丙子戊子乙子戌壬之度。即自 分。即戌壬亦五平分矣 一戌至壬諸格。分甲乙為五平分也。如戌丙線上取丑点 寅 而甲乙度抵庚辛之外若丑寅。即從庚辛線引長之為 庚寅。而癸子諸線俱引長。之其丑寅仍為五平分。如前論。若所欲分之線極小。則 製器宜密命板稱 増題。有直線求兩分之。而兩分之比例若所設両線之比例 法曰。甲乙線。求両分之而両分之比例若所設丙與丁。先從甲 丁 任作甲戌線。而為甲角次截取甲己與丙等。己庚與丁等。次作 庚乙線聯之。末作己卒線與庚乙平行。即分甲乙子卒。而甲辛 代與辛乙之比例。若丙與丁。説見本篇二 又増題。両直線各三分之各互為両前両後率。比例等即両中率与与前両後率 乙 巳辛 戊 庚 甲 丙 各為比例亦等 解曰。甲乙丙丁雨線各三分之于戊于己于庚于辛。各互 為雨前雨後率比例等者甲戌與戌乙若丙庚與庚丁甲 己與己乙若丙辛與辛丁也。題言中率戊己庚辛各與其 前後率為比例亦等者。甲戌與戊己若丙庚與與與庚辛。己乙 與戊己若辛丁與庚辛也 論曰甲戌與戌乙之比例既若丙庚與庚丁。即合之。甲乙與戊乙。若丙丁與庚丁 也。而甲己與己。乙既若丙辛與辛丁。即合之甲乙與己乙若丙丁與辛丁也又及 之己乙與甲乙若辛丁與丙丁也夫己乙與甲乙與甲乙與丙丁與丙丁。而甲乙與戊 乙又若丙丁與庚丁。即平之己乙與戊乙亦若辛丁與庚丁也 廿二 五篇 又転。之戊乙 與戊己若庚丁與庚辛也又分之己己乙與戊己若辛丁與庚辛也此後解也又甲 戊與戊乙。乙既若丙庚與庚丁。而戌乙與戌乙又若庚丁與庚辛。即平之甲戌與戌 己若丙庚與庚辛也此前解也 又簡論曰如後図聯甲于丙。作乙甲丁角。次作丁乙辛己庚戌三線相聯。其甲戌一 與戊乙之比例既若丙庚與庚與庚下。即庚戌與丁乙平行 九本篇 二 冊甲己與己乙既若丙 本篇 一辛與辛丁。即辛巳與丁乙平行。 二 二 二一 同一篇 一篇 是甲戌與戊己。 而庚戌與辛己亦平行。 三十 幾何原本六 若丙庚與庚辛也。己乙與戊己亦若辛丁與庚辛也本 本篇 二 第十一題両直線求別作一線相與為連比例 法曰甲乙甲丙兩線求別作一線相與為連比例者。合兩線任作 戊 甲角而甲乙與甲丙之比例若甲丙與他線也先于甲乙引長之 為乙丁。與甲丙等。次作丙乙線相聯。次從丁作丁戊線與丙乙平 如以甲丙為 行来于甲丙引長之遇于戊即丙戌為所求線 前率倣此略 論曰。甲丁戊角形内之丙乙線既與戊丁邊平行。即甲乙與乙丁 之比例。若甲丙與丙戌也。 □ 本篇 二 而乙丁甲丙元等。即甲乙與甲丙。若甲丙與丙戌 一五篇 せん □□ 世七 注曰。別有一法。以甲乙乙丙雨線列作甲乙丙直角。次以甲丙線 聯之而甲乙引長之。末從丙作丙丁。為甲丙之垂線遇引長線于 丁即乙丁為所求線 論曰。甲丙丁角形之甲丙丁。既為直角。而從直角至甲丁底。有丙 乙垂線即丙乙為甲乙乙丁比例之中率 本篇八 之糸 則甲乙與乙丙。若乙丙與乙丁 也既從一二得三郎從二三求四。以上至于無窮。俱倣此 第十二題三直線求別作一線相與為斷比例 戊は 法曰甲乙乙丙甲丁。三直線求別作一綿相與為朝。相與為斷比例春謂甲 丁與他線之比例。若甲乙與乙丙也。先以甲乙乙丙作直線為甲。 丙。次以甲丁線合甲丙。任作甲角。次作。丁乙線相聯。次從丙作丙 戌。線與丁乙平行。末自甲丁引長之。遇丙戊于戊即丁戊為所求 線 論曰。甲丙戌角形内之丁乙線。既與丙戌邊平行。即甲丁與丁戊之比外若甲乙 本篇 二月 與乙丙 二 二 第十三題兩直線求別作一線為連比例之中率 一司法曰。甲乙乙丙直線求別作一線為中率春謂甲乙與他線之 之比例若他線與乙丙也。先以両線作一直線為甲丙次以甲丙丙 平分于戊次以戌為心。甲丙為界。作甲丁丙半國。末從乙至圜界 作乙丁垂線即乙丁為甲乙乙丙之中率 論曰。試從丁作丁甲丁丙兩線即甲丁丙為直角。 三篇 二篇百 卅一 而直角所 下乙丁垂線兩分對邉線甲丙。其甲乙與乙丁。若乙丁與乙丙也 之糸 本篇八 則乙丁 為甲乙乙丙之中率 注曰。依此題可推凡半国内之乖。皆為為両分径線之中率線如甲乙丙半図其 乙丁為甲丁丁丙之申率己戌為甲戊戌丙之申率。辛庚為甲庚 庚丙之中率也何者。半国之内従垂線作角皆為直角。 三篇 故依 卅一 前論推顯各為中率也 增題一直線。有他直線。大于元線二倍以上。求分他線為兩分。而 以元線為中率。 法曰。甲乙線。大于甲丙二倍以上求両分甲乙。而以甲丙為申率。先以甲乙甲丙 聯為丙甲乙直角。而雨平分甲乙于丁。次以丁為心。甲乙為界。作 甲戌乙半団。次從丙作丙戌線。與甲乙平行。而遇半囲界于戌未 従戌作戊己垂線而分甲乙于己即戌巳為甲巳巳巳乙兩分之中 一 論曰。試作戊甲戊乙両線依本題論即戊乙為甲乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙丙線依本題論 一篇 則丙甲卯甲乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙卯卯乙乙乙乙卯卯乙乙乙乙乙乙乙乙卯卯卯卯卯甲乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙 而甲丙戌巳為平行方形即丙甲與戊己等 二支 卅四 第十四題 題二十五兩平行方形等。一角又等即等角菊之兩邊。為互相視之邊。雨平 行方形之一角等。而等角旁兩邊。為互相視之邊即兩形等。 先解曰。甲乙丙辛。乙戌巳庚雨平行方形等。甲乙丙戌乙庚両角又等題言此雨 角各兩南之両邊。為互相視之邊者。甲乙與乙庚之比例。若戌乙與乙丙也。 乙 論曰。試以両等角相聯于乙。令甲乙乙庚為一直線。其甲乙 ○一篇十 丙與戊乙庚既等角。即戊乙乙丙亦一直線一 次從卒 五増題 丙己庚各引長之遇於丁。其辛乙乙己両平行方形既等。即 五篇 辛乙與乙丁兩形之比例。若乙己與乙丁也。 七 而辛乙与 廿七日 乙丁俱在丙平行線之内。等高。即辛乙與乙丁兩形之比例。 本 依顯乙己與乙丁兩形。亦若其底 一若其底甲乙與乙庚也 篇 戊乙與乙丙也。則甲乙與乙庚。亦若戌乙與乙丙也。 後解曰。甲乙丙戌乙庚。等角雨南之各両邊。為互相視之邊者。甲乙與乙庚。若戊 乙與乙丙也。題言辛乙乙己兩平行方形等。 論曰。依上論。以両等角相聯。其甲乙与乙庚之比例。既若戊乙與乙丙。而甲乙與一 同本篇 同同十乙乙丙丙戌乙丙丙戌乙丙丙辰之比 乙庚両底之比例。若平行等高之辛乙与乙丁両形。 例。若平行等高之乙己與乙丁両形。則辛乙與乙丁。若乙己與乙丁矣。而辛乙乙 九 己両形安得不等 五篇 九 第十五題 二支 相等兩三角形之一角等。即等角旁之各兩邊互相視。兩三角形 之一角等。而等角氛之各兩邊互相視。即兩三角形等。 先解曰甲乙丙乙丁戊。雨角形等。雨乙角又等。題言等角氛之各兩邊互相視者 謂甲乙與乙戌之比例若丁乙與乙丙也 論曰。試以両等角相聯于乙。令甲乙乙戌為一直線。其甲乙丙丁 一篇十 次作丙戊線相聯。其 乙戊既等角即丁乙乙丙亦一直線一 五増題 甲乙丙乙丁戊。雨角形既等。即甲乙丙與乙丙戌之比例。若乙丁 五篇 戊與乙丙戌也 夫甲乙丙與己丙戌兩等高形之比例若其 七 底甲乙與乙戌也。而乙丁戌與乙丙戌丙等高形亦若其底丁乙 與乙丙也。則甲乙與乙戌若丁乙與乙丙。 後解曰。雨乙角等。而乙南各兩邊甲乙與乙戌之比例。若丁乙與乙丙。題言甲乙 丙乙丁戊雨角形等 論曰。依前列兩形令等角氛兩邊各為一直線。其甲乙與乙戌之比例。既若丁乙 與乙丙。而甲乙與乙戌丙底又若其上甲乙丙乙丙戌丙等高角形。丁乙與乙丙 両底又若其上乙丁戊乙丙戌両等高角形。則甲乙丙與乙丙戌之比例若乙丁 第十六題 戊與乙丙戌矣。而甲乙丙與乙丁戊豈不相等。 二支 四直線為斷比例。即首尾兩線矩内直角形。與中 五篇 五篇 題二支四直線為断比例。即首尾両線矩内直角形。與中両線矩内直角 形等。首尾兩線與中兩線兩矩内直角形等即四線為斷比例。 先解曰。甲乙己庚戊己乙丙四直線。為斷比例者。謂甲乙與己庚若戌己與乙丙 也。而甲乙丙丁為甲乙乙丙首尾雨線矩内直角形。戊巳 庚辛為戊己己庚中兩線矩内直角形題言甲丙戌庚丙 形等。 論曰。兩形之乙與已。既等為直角。而甲乙與己庚之比例。 若戊已與乙丙。是乙己等角氛之各兩邊互相視。而甲丙 本篇 一戌庚両直角形必等 十四 後解曰。甲丙戌庚雨直角形等。題言四線之比例等者。謂 甲乙與己庚若戊己與乙丙也。 庚 論曰。甲丙戌庚兩形之乙與己。既等為直角。 即等角旁之各兩邊互相視。而甲乙與己庚 之比例。若戊己與乙丙也。 本篇 十四 則四線為断 比例矣注曰。若平行斜方形而等角。亦同 此論。如上図。以上二題。即算家句股法。三 数算法所頼也 第十七題ニ主三直線為連比例。即首尾両線矩内直角形。與中線上直角方形 等。首尾線矩内直角形。与中線上直角方形等即三線為連比例。 一同同十三郎 □□□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 雨 乙 「 先解曰。甲乙戌巳乙丙三線為連比例者。甲乙與戊巳 若戊己與乙丙也。而甲乙丙丁為甲乙乙丙首尾線矩 内直角形。戊己庚辛為戊已上直角方形。題言甲丙戌。 庚雨形等 一論曰。試作己庚線。與戊己等。即甲乙丙己庚戌己為 比例等。等者。謂甲乙與戊己若己庚與乙丙也。則戊己 即戌已上 與甲乙乙丙首尾線矩内 己庚矩内直角形 直角方形 本篇 之甲丙形等矣 十六 後解曰。甲丙直角形。與戊庚直角方形等。題言甲乙與戊己之比例若戊己與乙 両 □□□□□□□□ 論曰。甲丙戌庚。既皆直角形。即甲乙與戊己 本篇 而已庚與乙 之比例若己庚與乙丙也 十六 十六 丙。亦若等已庚之戊己與乙丙。 五篇― 則甲乙 七 七 與戊己若戊己與乙丙矣。 甲 注曰。若平行斜方形而等角。亦同此論。如上。 図 系。凡直線上直角方形。與他兩線所作矩内真角形等即此線為他両線之中率。 何者。依上後論。甲乙乙丙矩内直角形。與戊已上直角方形等。即可推甲乙與戊 己若戊己與乙丙。而戌己為甲乙乙丙之中率也。 第十八題直線上。求作直線形。與所設直線形相似而體勢等。 法曰。如甲乙線上。求作直線形。與所設丙丁戊乙庚形相似而体勢等。先于設形 任従一角。向各対角各作直線。而分本形為若干角形。如上設形。則従已向丙向 丁。作両直線。而分為丙丁己丁巳戌丙己庚三三角形也。次干 壬 元線上作乙甲壬甲乙壬雨角。與丁丙巳丙丁巳雨角各等。其 葵 甲壬乙壬両線遇于壬。即甲壬乙與丙己丁雨角亦等。而甲壬 同同同同同同同同同同組組男子壬卯甲子 一篇 乙與丙己丁兩形為等角形矣 次作乙壬辛壬乙辛両角。 卅二 与丁己戊己丁戊両角各等。其壬辛乙卒両線過于卒。即乙卒 一日壬與丁戊己両角亦等。而乙壬辛与丁己戌雨形為等角形矣。 末依上作甲壬癸與丙己庚亦為等角形。即甲乙辛壬癸與丙丁戊己庚雨形等 角。則相似而體勢等。凡設多角形。俱倣此。 論曰壬甲乙角與己丙丁角既等。而壬甲癸角與己丙庚角又等。即乙甲癸全角 與丁丙庚全角等。依顚甲乙辛與丙丁戊雨全角亦等。而其餘各全角俱等。則甲 一幾何原本六 乙辛壬癸與丙丁戊己庚為等角形矣。又甲乙與乙壬之比例既若丙丁與丁也。 本篇 平之即甲乙與乙辛亦若丙丁與丁戊也。 而乙壬與乙辛亦若丁己與丁戊 四 四 五篇 両形等角即等角南 五七扁 冊則甲乙辛丙丁戊及辛戌角南各兩邊之比例亦等也 廿二 各兩邊之比例等見 本篇 四 又辛壬與壬乙之比例。既若戊己與己丁。而壬乙與一 両丁 壬甲。亦若己丁與己丙。壬甲與壬癸。亦若己丙與己庚。平 中 五篇 則辛壬癸戌 之。即辛壬與壬癸。亦若戊己與己庚也。 廿二 こ わ 庚 戌 己庚兩角等南各兩邊之比例等也依顯餘角俱如是。則 兩形為等角形。而各等角南各兩邊之比例俱等。是両形 相似而體勢等 戌 注曰。凡線上形相當之各角等。即形相似而體勢等。如上。 甲乙丙丁戊己兩角形。其乙丙戌巳線上之乙角丙角與 戊角己角相当相等者。是也若両形在乙丙丁戊両線上。則雖相似而體勢不等。 又如上甲丙戌庚両直角形。其甲丁与丁丙之比例。若戌卒与卒庚。而餘邊之比 例俱等。亦形相似而體勢等。若甲丙壬庚兩直角形。雖角封比例等。而在丁丙庚一 辛線上。不相當則體勢不等。 増。作本題別有一簡法。如設甲乙丙丁戊己直線形。求于庚線上作直線形。與相 似而體勢等。先于甲角旁之甲乙甲巳兩線。任引。 出之為甲辛甲丑次從甲向各角各角各任作直線為 甲壬甲癸甲子。次于甲乙線上截取甲辛與庚線 等。末從卒作辛壬線。與乙丙平行作壬癸與丙丁。 癸子與丁戊子丑與戊己。各平行。即所求。 庚庚 論曰。兩形之甲角既同。甲乙丙甲乙戌丙角。與甲 辛壬甲丑子。雨角。各等。 一篇 丙乙丙乙卯丙乙卯丙乙卯丙乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙乙乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙未乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙乙乙卯乙卯乙卯乙卯乙卯乙乙乙 廿九 癸。雨全角亦等。依顯丙丁戊己。與壬癸子。癸子。癸子丑各全角各等。則甲乙丙丁 角與甲壬辛甲壬癸。兩角各等。即乙丙丁。與辛壬 戊己與甲辛壬癸子丑雨直線形為等角形矣。又甲辛壬。甲壬癸。甲癸子。甲子丑 四三角形。與甲乙丙甲丙丁。甲丁戌甲戌甲戌巳四三角形。各相似。 本篇四 之糸 即甲乙與 乙丙之比例。若甲辛與辛壬也。而乙丙與丙甲。若辛壬與壬甲也丙甲與丙丁。 壬甲與壬癸也平之則乙丙與丙丁。亦若辛壬與壬癸也依顯餘邊俱如是。則兩 形相似而體勢等也。 第十九題相似三角形之比例。為其相似邊再加之比例。 解曰。如甲乙丙丁戊己両角形等角其乙與戊丙與己相當之角各等而甲乙與 幾何原本六 丙乙丙之比例若丁戊與戊己。題言兩形之比例。為乙丙與戊己丙 辺再加之比例 先論曰。若兩角形等。即乙丙與戊己兩邊亦等。而各兩等邊。為相 同之比例。即兩形亦相同之比例。就令作再加之比例。亦未免為 相同之比例。則相等之兩形即可為兩等邊再加之比例矣。 後論曰。若乙丙邊大于戊己邊。即于乙丙線上截取乙庚為連比例之第三率。令 本篇 本篇 乙丙與戊己之比例。若戊己與乙庚也。以 凞次作甲庚直線。其甲乙與乙丙之比 十一 例。若丁戊與戌已。更之。即甲乙與丁戊。若乙丙與戊己也。而乙丙 與戊己。若戊己與乙庚。則甲乙與丁戊。若戊己與乙庚也。夫甲乙 庚與丁戊己兩角形。有乙戌兩等角。而各兩南之兩邊又互相視。 本篇 十五 即兩形等。則甲乙丙形與丁戊己形之比例。若甲乙丙形與 十人 甲乙庚形矣 五巻 七 □□□□ 又甲乙丙與甲乙庚兩等高角形之比例。若乙 戌丙辰與乙庚辰。 本篇 一〇 扁則甲乙丙形與丁戊巳形之比例。亦若乙丙 底與乙庚底也。既乙丙戌己乙庚三線為連比例。則一乙丙與三乙庚之比例。為 一乙丙與二戌已再加之比例矣。是甲乙丙與丁戊乙兩形之比例。為乙丙與戊 已再加之比例也。 □□ 内」 A 系。依本題。可顯凡三直線為連比例即第一線上角形。與第二線上角形 之比例。若第一線與第三線之比例。如上甲乙丙三直線為連比例。其甲 與乙上各有角形。相似而體勢等。則一甲線與三丙線之比例。若甲形與一 乙形也。何者。甲線與丙線之比例。為甲線與乙線再加之比例。而甲形與 乙形之比例。亦甲線與乙線再加之比例。則甲形與乙形之比例。若甲線 與丙線矣。依顯二乙上角形二與三丙上角形。相似而體勢等。則二乙形與 三丙形之比例。若一甲線與三丙線。 第二十題 三支 二十題三支以三角形。分相似之多邊直線形。則分數必等。而相當之各三角 形各相似。其各相当両三角形之比例若雨元形之比例。其元形之比例為両相 似邊再加之比例 先解曰。此甲乙丙丁戊。彼己庚辛壬癸。雨多違直線形。其乙甲戌庚巳癸雨角等。 餘相当之各角俱等。而各等角菊各兩辺之比例。各等。題先言各以角形分之。其 角形之分數必等。而相當之各角形各相似。 論曰。試従乙甲戌庚巳癸両角。向各封角俱作直線。為甲丙甲丁巳辛巳壬。其元一 形既相似。即角数等。而所分角形之数亦等。又乙角既與庚角等。而角南各両邊 之比。例亦等。即甲乙丙與己庚辛兩角形必相似。 本篇 六 乙甲丙與庚巳辛丙角。甲 幾何原本六 丙乙與己辛庚雨角。各等。而各等角南。各兩邊之比例。各等。体 四依顯甲戌丁。己癸壬兩角形亦相似。又甲丙與丙乙之比例。 両元形 既若己辛與辛庚。而丙乙與丙丁。若辛庚與辛壬。 平之 即甲丙與丙丁。若己辛與辛壬也。 相似故 五篇 廿二 又乙丙丁角。既與庚辛 壬角等。而各減一相等之甲丙乙角。己卒庚角。即所存甲丙丁 角與己辛壬角必等。則甲丙丁與己辛壬両角形亦等角形亦 本篇 相似矣 次解曰。題又言各相当角形之比例。若兩元形之比例。 之比例 調曰。甲乙丙己庚辛両角形既相似。即雨形之比例。為甲丙己辛雨相似辺再加 本篇 依顯甲丙丁己辛壬之比例。亦為甲丙巳辛再加之比例。則甲乙丙 十九 五篇 與井後之比例 與己庚辛兩角形之比例。若甲丙丁與己卒壬雨角形之比例。依顯甲丁戊與己 壬癸之比例亦若甲丙丁與己辛壬之比例。則此形中諸角形之比例。若彼形中 諸角形之比例此諸形為為前率。彼諸形為後率。而一前與一後之比例。又若并前 即此一角形與相當彼一角形之比例。若此元形與彼元形 十二 之比例矣 後解曰。題又言両多辺元形之比例。為兩相似辺再加之比例。 論曰甲乙丙與乙庚辛両角形之比例既若甲乙丙丁戊與乙庚辛壬癸雨多邊 形之比例而甲乙丙與己庚辛両形之比例。為甲乙己庚両相似遵再加之比例 本篇 十九 則両元形亦為甲乙己庚再加之比例。 増題。此直線倍大千彼直線則此線上方形與彼線上方形。為四倍大之比例。若 此方形與彼方形為四倍大之比例。則此方形邊與彼方形邊為二倍 甲 大之比例 先解曰甲線倍乙線題言甲上方形。與乙上方形為四倍大之比例。 本篇界 乙{ 論曰。凡直角方形俱相似。 依本題論。則甲方形。與乙方形之比 説一〇一 例為甲線與乙線再加之比例。甲線與乙線既為倍大之比例則兩方 形為四倍大之比例矣。何者。四倍大之比例為二倍大再加之比例若一二四為 連比例故也 甲 後解曰。若甲上方形與乙上方形為四倍大之比例。題言甲邊與乙 邊為二倍大之比例 論曰兩方形四倍大之比例。既為雨邊再加之比例。則甲邊二倍大 于乙辺 画系。依此題。可顯三直線為連比例。如甲乙丙。則第一線上多邊形與 幾何原本六 第二線上相似多邊形之比例。若第一線與第三線之比例 此系與本篇第十九題之系同論 第二十一題両直線形。各與他直線形相似。則自相似 解曰。甲乙丙。丁戊己。雨直線形。各與庚辛壬形相似。題言兩形亦自 相似 論曰甲乙丙形之各角。既與庚辛壬形之各角等。而丁戊己形之各 角。亦與庚辛壬形之各角等。即兩形之各角自相等。船兩形之各角 既等。則甲乙丙形與庚辛壬形各等角菊各邊之比例等。 而丁 戊己形與庚辛壬形各等角南各辺之比例亦等也是甲乙丙形與 丁戊己形各等角菊各辺之比例亦等也各角既等。各辺之比例又等。即雨形定 本篇界 相似矣 説一。 第二十二題二亥四直線為断比例。則両比例線上。各任作自相似之真線形亦 為斷比例。兩比例線。上各任作自相似之直線形。為斷比例。則四直線亦為斷比 例 先解曰甲乙丙丁戊己庚辛四直線。為斷比例者。甲乙與丙丁。若戊己與庚辛也。 今于甲乙丙丁上各任作直線形自相似。如甲乙壬。丙丁癸。于戊己庚辛上各任 作直線形。自相似。如戊己丑子庚辛卯寅。題言四形亦為 一斷比例者。謂甲乙壬與丙丁癸。若戊丑與庚卯也 論曰。試以甲乙丙丁兩線求其連比例之末率線為辰。本 本 篇 次以戊己庚辛両線求其連比例之末率緯為已平之。 酉 庚 申午 五篇 ○夫甲乙壬與丙 即甲乙與辰之比例。若戊己與己也。 廿二〇 本篇十九 篇十九石 丁癸両相似形之比例若甲乙線與辰線 而戌 及廿之系 丑與庚卯兩相似形之比例若戊己線與己線則甲乙王 與丙丁癸之比例亦若戊丑與庚卯矣 五篇 十一 後解曰。如前四形為斷比例題言甲乙丙丁戊己庚辛。四線亦為斷比例。 本篇 論曰。試以甲乙丙丁戊己三線。求其断比例之末率。為午未。 次干午未上 十二 一作直線形。與戊丑相似而體勢等。為午未酉申。以 本篇 十八 同午酉與戊丑相似。即與庚卯 亦相似而甲乙與丙丁之比例。既若戊己與午未。依上論即甲乙壬與丙丁癸丙 形之比例。若戌丑與午酉矣。夫甲乙壬與丙丁癸之比例。元若戌丑與庚卯。則戊 五篇 丑與午酉。亦若戊丑與庚卯也。 而午酉興庚卯等也 五篇 九 九 丙午酉興庚卯既等 十一 又相似而體勢等即兩形必在等線之上而庚辛與午未必等。 見下方 則戊己与 補論 午未之比例若戊己與庚辛也而戊己與午未元若甲乙與丙丁。則甲乙與丙丁 幾何原本六 亦若戊己與庚辛也 部補論曰。庚卯午酉雨直線形。相等相似高體勢等。即在等線之上者。何 也葢庚辛與午未若云不等者。或言庚辛大於午未也則辛卯宜亦大 五篇 於未酉矣 十四 而庚卯形宜亦大于午酉形矣何先設両形等也言小 庚 故此 補論者前此未著而論中無他 論可徴故別作一論以足未備 一又補論曰甲乙丙丁戊己両直線形。相等相似而體勢等。即相似邊如 甲乙與丁戊必等者。何也蓋云不等者。或言申乙大于丁戊也。即令以甲乙丁戊 本篇 本篇 十一、 兩線。求其連比例之末率線為庚戌 十一 其甲乙與丁戌。既若丁戊。既若丁戌與庚而甲乙大 于丁戊即丁戊宜大于庚即甲乙宜更大于庚矣然甲乙與庚之比例若甲乙丙 本篇十九 甲乙既大于庚則甲乙丙宜大干丁戊己何先設兩形 形與丁戊己形 及廿之系 等也是甲乙不能大于丁戊矣言小傚此 丑乙 増論曰。本題別有簡論。今先顯四線之比例等。而甲乙壬與 子戊 同同 卯年 富座 丙丁癸兩形之比例。若戌丑與庚卯兩形者。葢甲乙與丙丁 之比例若戊己與庚辛。而甲乙壬與丙丁癸之比例為甲乙 本篇 戊丑與庚卯之比例亦為戊己與 與丙丁再加之比例 十九 ド十九 庚辛再加之比例是甲乙壬與丙丁癸。若戌丑與庚卯也。 次増論曰今顯四形之比例等而甲乙與丙丁両線之比例若戊已與庚平兩線 者。益甲乙壬與丙丁癸之比例若戌丑與庚卯。而甲乙壬與丙丁癸之比例為甲 乙與丙下。再加之比例若戌丑與庚卯為戊己與庚辛再加之比例 與丙丁之比例若戊己與庚辛矣 本篇 十九 則甲乙 第二十三題等角兩平行方形之比例以両形之各兩邊兩比例相結 解曰。甲丙丙己丙平行方形之乙丙丁。戌丙庚雨角等題言 丙 兩形之比例。以各等角有各兩邊之比例相結者。謂兩比例 之前率在此形。兩比例之後率在彼形。如甲丙與丙巳之比 例以乙丙與丙庚偕丁丙與丙戌相結也或以乙丙與丙戌 偕丁丙與丙庚相結也 論曰。試以両等角相聯于丙。而乙丙丙庚作一。 琉球丙丙乙丙丙庚作一直線其己丙丁角既與戊丙庚角 一篇十 等即戊丙丙丁亦一直線 次于甲丁己庚各引長之遇于卒。次任作一壬 五増 一線次以乙丙丙庚壬三線求其斷比例之末率線為癸。 本篇 十二 末以丁丙丙戌癸三 綿求其斷比例之末率線為子其乙丙與丙庚両底之比例。既若甲丙與丙辛両 夕本篇 丹 詔而乙丙與丙庚亦若壬與癸則甲丙與丙與丙辛。亦若壬與癸也四月 五篇 依顯丙 十一 辛與丙己亦若癸與子也平之即甲丙與丙己若壬與子也 七廿 五篇 衆夫王與子之比 廿二 幾河原本六 本篇界 例元以壬與癸癸與子兩比例相結結。 而壬與癸。癸與子。元若乙丙與丙庚。 説五 丁丙與丙戌則甲丙與丙巳之比例以乙丙與丙與丙庚偕丁丙與丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙戌丙庚丙戌丙卯丙乙乙卯乙乙卯乙乙巳卯丙巳之比則乙丙卯乙丙與丙乙丙卯乙丙丙丙丙 也其以乙丙與丙戌偕丁丙與丙庚相結結。則先以乙丙丙戌為一直線可依上推 県 必本草 本篇 後注曰。此不同理之比例也。雨形不相似。 冊又不相等之形也等角南各兩 本篇 十九 違不互相視 十四 二十一相記之理故必用相視之結之理。必須借家之術。其法假虚形實。所以通比 例之窮也以數明之乙丙六十。丙庚二十。壬三。未得祭一。丁丙四十。丙戌八十。 癸一求得子二。即甲丙之寶二千四百與丙巳之寶一千六百。若壬三與子二 為等帶半之比例也。其曰。壬與癸。癸與子。雨比例相結者。壬三倍大于癸。癸反 反二倍者癸 二倍大干子 得子之半 三乗半得一五。則壬與子為等帶半之比例也其曰 借象者。乙丙與丙庚丁丙與丙戌二比例既不同理。又異中率。故借壬與癸。癸 本篇界 與子同中率而不同理之二比例以為。象以 初作壬卯癸亥若乙丙與丙午丙午丙午丙午丙午丙午丙午丙午丙庚戌庚丙午丙午丙戌丙丙午丙庚戌庚丙午丙戌庚丙午丙庚丙庚丙戌庚丙午丙與丙與丙與丙與丙與丙與丙與丙與丙與丙與丙午丙與丙與丙午丙庚丙午丙午丙午丙午丙庚 説五 次作癸與子。若丁丙與丙戌。 本篇 十二 一則癸為前率之後又為後率之前。是為壬子 首尾両率之枢組。令相象之丙庚丁丙。亦化両率為一率。為乙丙丙戌首尾雨 率之枢。紐因以両比例相結為首尾両率之比例。雖不能使三率為同。理之両 比例而合為一連比例。亦能使兩不同理之比例首尾合而為一比例矣。自三一 本篇界 以上可傚此相借以至無窮也。 説立。 説十五〇 第二十四題平行線方形之兩角線方形。自相似亦與全形相似 解曰。曰。甲乙丙丁平行方形。作甲丙封角。任作戊己庚辛両線 與丁丙乙丙平行。而與對角線交相遇于壬。題言戊庚巳辛両 角線方形。自相似亦与全形相似 代 既各等角 庚乙 一篇廿九可推仍 見本篇四之系。 一南各両辺之比例等也。 一論曰試依一巻廿九題推顯雨角線形等角。又庚甲戌與乙甲 一丁同角而甲戌壬外角。與甲丁丙内角等。甲庚壬外角。與甲乙一 丙内角等戊壬庚外角。與乙己壬内角等。乙己壬外角。又與乙 両丁内角等。則戊広形與甲丙全形等角矣。依顯巳年形亦與全形等角矣今欲 顯雨形與全形相似者。試観甲庚壬與甲乙丙兩角形。甲戌壬與甲丁丙兩角形 即甲乙與乙丙之比例。若甲庚與庚壬。而庚乙雨角 六篇 四丁 四 又乙丙與丙甲之比例。若庚壬與壬甲。丙甲與丙丁 五篇 一之比例。若壬甲與壬戌平之。即乙丙與丙丁。若庚壬與壬戌也。 廿二 一則乙丙丁庚 壬戌両角南各兩辺之比例等也依顯各角菊各両辺之比例皆等。是両角線方 形自相似亦與全形相似。 第二十五題兩直線。形求作他直線形與一形相似。與一形相等。 幾河原本六 一 法曰。甲乙両直線形。求作他直線形。與甲相似。與乙相等。 先于求相似之甲形。任取一邊。如丙丁。于丙丁邊上作平 一篇四 行方形与甲等。為丙戌一 〇次子丁戌辺上作平行方 四。四五 形与乙等。而戌丁庚角。與丁丙己角等。為丁卒。其丙丁庚一 一篇四 ○次作一壬癸線為丙丁丁庚 己戊辛。俱為直線也。 五可推 之申率 本篇一 十三 一輯末于壬癸上作子形。與甲相似而體勢等。太 本 十八十一 篇 八〇即子形与乙等。 論曰。丙丁壬癸丁庚三線既為連比例即依本篇二十題系。可顯一丙丁與三丁 庚之比例若一丙丁上之甲。與二壬癸上之子。雨形相似而體勢等者之比例也。 則丙戌 丙戌與甲等 一〇 丙戊與甲等 與丁辛。若甲與子矣夫丙戌與丁卒。元若甲與乙也。丙戌 則甲與乙之比一 五篇 丁辛与乙等。 例若甲與子也 同而乙形與子形等矣 九。 五篇 十一 十一。 第二十六題平行方形之内減一平行方形其減形與元形相似而体。而体参 角同。則減形必依元形之対角線 解曰。乙丁平行方形之内。滅戊庚平行方形。元形減形。相似而體勢等。又戌甲庚一。 同角題言戊庚形必依乙丁形之対角線 丙 論曰試作甲乙己丙對角兩線若兩 一線為一直線即顯戊庚形。依甲丙対 角線矣如云甲乙巳丙非一直線令 別作元形之對角線而分戊已邊于 辛。即作辛壬線與己庚平行。其乙丁 一戊壬兩平行方形。既同依甲辛丙一 本篇 本篇 直對角線。則宜相似而體勢等矣。 廿四 是乙甲與甲丁之比例宜若戊甲與甲壬 元設形相似 也。夫乙甲與甲丁。元若戊甲與甲庚甲庚。 今若所云。則戊甲與甲與甲庚亦若 五篇 而體勢等。 五篇 戊甲與甲壬矣 十一 同同而甲壬分與甲庚金亦等矣 非可乎若云甲辛丙分己庚 フ十一丁 二十一、 九 于卒。即令作辛壬與己戊平行依前論駁之 九一 弟二十七題凡依直線之有闕平行方形。不満線者。其闕形。與半線上之闕形。相 似而體勢等。則半線上似闕形之有闕依形。必大于此有闕値形。 解曰。甲乙線平分于丙。于半線丙乙上。任作丙丁戊乙平行方形。其封角線乙丁。 次作甲乙戌卒満元線平行方形即甲丁為甲丙半線上之有闕依形。丙戌為丙 本篇界 乙半線上之闕形 此兩形相等。相似體勢又等。題言甲乙線上。凡作有闕 説六 依形不満線者。其闕形與丙戌相似而體勢等。即甲丙半線上之甲丁有闕依形 幾何原本六 必大干此有闕依形。 論曰。試于乙丁對角線上。任取一點為庚。從庚作己庚壬線。 丙 庚癸線與甲乙乙戌各平行。即得甲庚為依甲乙元線之有 関平行方形而癸壬為其関形。此癸壬闕形。既依乙丁對角 線則與丙戌闕形相似而体勢等。 本篇 廿四 廿四 未丙庚庚戌丙午戊雨余方 形既等 一篇 四三 若毎加一癸壬角線方形。即丙壬與癸戌亦等 一篇 同一篇 而丙己與癸戌兩形亦 也又丙壬與丙己。俱在兩平行線内。底等。即兩形等。 三六 等。若毎加一丙庚形。是甲庚平行方形。与子丑磬折形亦等也。丙戌平行方形。函 子丑磬折形之外。尚有庚丁形。則丙戌形必大干子丑聲折形。而等丙戌之甲丁 名。丙戊甲丁。同在両平行線 形。 必大干等等磬折形之甲庚形矣依顯凡依乙丁對角 井内又等底故見一篇三六、 線作形。與丙戌相似者。其有闕依形。俱小子甲丁也。為其必有庚丁之較故也 又論甲丁必大於甲庚曰。巳丁丁壬雨平行方形。同在兩平行線内。又底等即雨 形等 一篇 廿一日 卅六 丁壬之分。則丁壬大于庚戌較餘一庚丁形。其大干丙庚亦 庚戌丙庚丙餘方形 如之 等故。見一巻四三。 即等丁壬之己丁形。其大干丙庚亦較餘一庚丁形也 次毎加一丙己形則甲丁必大干甲庚矣 又解曰。若庚點在丙戌形外。即引乙丁封角線至庚。従庚作辛丑線。與癸戌平行。 次引甲癸線至卒。引乙戌線至丑。而與辛丑線遇于卒。于丑。 末作庚己線與卒甲平行。即得甲庚為依甲乙元線之有闕 〇両形同依乙 平行方形。又得己丑與丙戌相似而體勢等者。 庚対角線故。 見本篇 廿四 冊為其闕形也。題言甲丁形。亦大于甲庚形。 論曰。試于丙丁線引出之至子。即辛子子丑兩線等。 一篇 卅四 而 而 一篇 辛丁丁丑両形亦等 『其丁丑己丁両餘方形既等。即己 同卅六 卅六 丁與辛丁亦等。夫辛丁大于辛壬。既較餘一庚丁形。則己丁之大干辛壬。亦較餘 一庚丁形也。此両率者。毎加一甲壬平行方形。則甲丁太子甲庚者。亦較餘一庚 丁形矣依顯凡乙丁封角緯。引出丙戌形外。依而作形。與丙戌相似者。其有闕依 形俱小于甲丁也為其必有庚丁之較故也 第二十八題一直線求作依線之有闕平行方形。與所設直線形等。而其闕形與 所設平行方形相似。其所設直線形。不大于半線上所作平行方形。與所設平行 方形相似者。 法曰。甲乙線。求作依線之有闕平行方形。與所設直線形丙等。而其闕形與所設 平行方形丁相似先以甲乙線両平分子戊戌次于戌乙半線上作戊己庚乙平行 ○本篇 『次作甲辛庚乙満元線平行方形。若甲己平行方 方形。與丁相似而體勢等。 十八 幾何原本六 芋 形與丙等者 本篇 題言甲 琉球卽得所求矣。若甲己大于丙者晴 廿五 不可作見 廿五 巳小助 即等甲巳之戌庚亦大于丙也則尋戊庚之大 本篇廿七 両直線形不等相減之 于丙幾何。假令其較為壬 較法見一篇四五増 即作奏 子丑寅平行方形與壬等。又與戊庚形相似而體勢等 本 篇 廿 則戊庚平行方形。与丙直線形及癸丑平行方形并等。 五 而戊庚必大于癸丑矣夫戌庚與癸丑既相似即戊己與 己庚両辺之比例。若寅癸與癸子也。而戌庚既大于癸丑。 即戌己己庚雨邊亦大干寅癸癸子也。次截取己巳己卯。 與癸子癸寅等。而作己巳辰卯平行方形。必與癸丑形相等相似而体勢等矣。又 卯己形既與戌庚相似而體勢等。必同依乙己對角線也 本篇 次于巳辰線引出 廿六 抵甲乙元線子卯辰雨界各引出作午未線即甲辰為依甲乙線之有闕平行方 日 形與丙等。而其闕形乙辰與戊庚相似 次に 本篇 即亦與丁相似 廿四 篇 一篇 論曰。辰庚與辰戊兩餘方形既等。 四三 毎加一乙辰角線方形即乙巳與戊午亦 四三 戊午戊未同在平行線内 等而與等戊午之戌未亦等。 又底等故見一篇卅六 乙己與戊未既等。又毎加 一戊辰方形。即甲辰平行方形。與申酉磬折形亦等矣。夫申酉磬折形為戊庚形 之分。而戌庚與丙及癸丑等。戌庚所載去之卯巳又與癸丑等。則申酉磬折形與 丙等也。而甲辰亦與丙等也。 第二十九題一直縁求作依線之帶餘平行方形。與所設直線形等。而其餘形與 所設平行方形相似。 辛 圧 法曰。甲乙線求作依線之帶餘平行方形。與所設直線 形丙等而其餘形與所設平行方形丁相似先以甲乙 線両平分于戌次于戊乙半線上作戌巳庚乙平行方 本篇 形與丁相似而體勢等 次別作一平行方形與丙 十八 十 及戊庚井等為辛。為辛。 二篇 十四 次別作一平行方形。與字等又 本篇 與丁相似而體勢等。為壬癸子丑。 其丑癸亥年癸亥 廿五 癸壬癸酉邊之比例若戊已與己 若等或小即丑 庚也。而五壬與壬癸兩線必大于戊己與己庚也。 次干己戊引之 癸未乙未戌庚 至卯與壬丑等。于己庚引之至寅。與壬癸等。而作細 至寅與壬癸等。而作卯寅平行方形即卯寅與丑癸丑癸。 本篇 同依辰巳對角線而等。 廿六 又與戊庚相似而體勢等矣。次干甲乙引之至巳庚 乙引之至午。于午卯引之至。未作甲未線與己卯平行即得甲辰帶餘平行方 本篇 形依甲乙線與丙等。而巳午為其餘形與戊庚相似而體勢等。以 廿四 即與丁相似 廿四 而體勢等 幾何原本六 内一 〇一篇 一篇川 一篇 論曰。甲卯戊午兩形既等。 則甲卯與乙寅 戊午與乙寅兩餘方形又等。 四三 卅六 余等矣。而毎加一卯巳形。則甲辰平行方形。與戊辰庚磬折形亦等矣。夫戊辰 磬折形元與丙等。 一毎減一戊庚即磬折形與丙等曰 第三十題一直線。求作理分中末線。 ○丑癸即卯寅與丙及戊戌庚午庚午庚午庚午庚午庚戌亥刻 即甲辰亦與丙等 法曰。甲乙線求理分中未先于元線作甲乙丙丁直角方形。次依 乙丁甲邊作丁己帶餘平行方形與甲丙直角方形等而甲已為其 本篇 惟直角方形 一餘形又與甲丙形相似 即甲己亦直角方形矣 恒與直角方 廿九 庚形相 庚レ形相 似 則戊己線分甲乙于卒。為理分中末線也。 本篇界 説三 論曰丁己與甲丙兩形既等。毎減一甲戊形。即所存甲己辛丙両形亦等矣此両 片両皆直同 形之甲辛巳。戌辛乙両角既等。 九両皆直 即兩角南之各兩邊線為互相視之線也 角故 本篇 十四 而等戊辛之甲乙線與等辛巳之甲辛綿其為比例。若甲辛与辛乙也。是甲 辛乙線為理分中末也 又論曰。甲乙甲辛。辛乙凡三線。而第一第三矩内之辛丙直角形與第二 本篇 甲辛上直角方形等即三線為連比例 本篇 から 而甲乙與甲辛若甲辛與辛 十七 内 乙矣。 乙又法曰甲乙線求分于丙而甲乙偕丙乙矩内直角形與甲丙上直角方 形等 心二篇 二絃 十一 附即甲乙之分于丙。為理分中末線蓋甲乙甲丙丙乙三線為連比例故。 本篇 廿七 第三十一題三邊直角形之対直角辺上一形。與直角南辺上兩。形。若相似而体 勢等則一形與兩形并等 壬 解曰。甲乙丙三邊直角形。乙甲丙為直角。于乙丙上任作直 線形為乙丙丁戊次于甲乙甲丙上亦作甲乙巳庚甲丙壬 本篇 《題言乙丁形與乙庚 一辛兩形。與乙丁形。相似而體勢等。此 十八 丙辛雨形并等 論曰。試從甲作甲癸。為乙丙之垂線。依本篇第八題之系即 乙丙與丙甲兩邊之比例。若丙甲與丙癸兩邊。則一乙丙邊。與三丙癸邊之比例 本篇十九或「 若一乙丙上之乙丁形與二甲丙上之丙辛形也 二十之系 反之。則丙癸與乙 二十之孫 内兩邊之比例。若丙辛與乙丁兩形也。依顯乙癸 依顯乙癸與乙丙兩邊之比例若乙庚與 乙丙乙甲乙癸三邊為連 乙丁両形也 比例故見本篇八之系 與四乙丁。而五乙癸與二乙丙之比例。亦若六乙庚與四乙丁。則一丙癸五乙癸 并與二乙丙之比例。若三丙辛六乙庚并與四乙丁也。既一丙癸五乙癸并與二 夫一丙癸與二乙丙之比例既若三丙辛 乙丙等則三丙辛六乙庚井與四乙丁亦等。 五篇 廿四 幾何原本六 又論曰。甲乙丙與癸甲丙。雨角形既相似。而甲乙丙角形。其乙丙與丙甲之比例 本篇 若癸甲丙角形之丙甲與丙癸。 即乙丙與丙甲兩邊相似。則癸甲丙與甲乙 八 丙兩角形之比例。為丙甲與乙丙再加之比例。 本篇 十九 而丙辛與乙丁兩形之比例 本篇十 則癸甲丙與甲乙丙兩角形之比例若丙 亦為丙甲與乙丙再加之比例、 九二十 辛与乙丁両形也 五篇 十一 冊依顯癸乙甲與甲乙丙兩角形之比例若乙庚與乙丁兩 形也是一甲癸丙與二甲乙丙之比例。若三丙辛與四乙丁也而五癸乙甲與二 甲乙丙之比例若六乙庚與四乙丁也即一甲癸丙五癸乙甲并與二甲乙丙之 五篇 比例若三丙辛六乙庚并與四乙丁也。 既一甲癸丙五癸乙甲并與二甲乙 廿四 丙等。則三丙辛六乙庚并與四乙丁亦等。 又論曰。一甲丙上直角方形與二乙丙上直角方形之比例。若三丙半形與四乙 此雨率之比例皆甲丙與乙丙午 丁形 又五甲乙上直角方形与二乙丙上直角方 一九二十九月年二月十九二十一 形之比例若六乙庚形與四乙丁形即一甲丙上五甲乙上両直角方形并與二 乙丙上直角方形之比例。若三丙辛六乙庚雨形并與四乙丁形。 五篇 既甲丙甲乙上兩直角方形并與乙丙上直角方形等。 一篇 廿四 則丙辛乙庚両形并與乙丁形等 四七 増題角形之一邊上一形。與餘兩邊上兩形相似而體勢等者其 一形與兩形并等。則餘兩邊内角必直角。 解曰。甲乙丙角形于乙丙上任作一直線形。與甲乙甲丙上雨形相似而體勢等 其一形與兩形并等。題言乙甲丙必直角。 論曰。試作甲丁為甲丙之垂線與甲乙等。次作丁丙線其丙甲丁既直角。即于丁 丙上作一形與乙丙上形相似其丁丙上形與丁甲甲丙上相似。而體勢等之兩 本 形并等矣。本又甲丁與甲乙等。其上両形亦等。即丁丙上形。與甲乙甲丙上雨形 井亦等。而乙丙上形元與甲乙甲丙上兩形并等。則丁丙乙丙上兩形亦等。而丁 本篇廿 丙與乙丙兩線亦等 夫甲丙丁角形之甲丁。與甲乙丙角形之甲乙等。甲 二補論 丙同辺其底乙丙丁丙又等。即丁甲丙與乙甲丙雨角必等丁甲丙既直角。則乙 甲丙亦直角 第三十二題兩三角形。此形之兩邊。與彼形之兩邊相似而平置兩形。成一外角一 若各相似之各両辺各平行。則其餘各一邊相聯為一直線 解曰。甲乙丙丁丙戌雨角形。其甲乙甲丙邊與丁丙丁戊邊相似者。 謂甲乙與甲丙之比例若丁丙與丁戊也。試平置兩形。令相切。成一 甲丙丁外角而甲乙與丁丙甲丙與丁戊各相似之兩邊各平行題 言乙丙丙戌為一直線 一幾河原本六 論曰甲乙與丁丙既平行。即甲角與内相對之甲丙丁等。 一篇 廿九 依顯丁角亦與内 相対之甲丙丁等。則甲丁両角等。而甲乙丙與丁丙戌雨角形之甲丁両角南各 同本筥 本篇 兩邊比例又等。即兩形為等角形。而乙角與丁丙戌角必等。 六 次干乙角加甲 角于丁丙戌角加等甲之甲丙丁角。即乙甲両角并。與甲丙丁。丁丙戌雨角井之 甲丙戌角等次毎加一甲丙乙角。即甲乙丙形之内三角并。與甲丙乙甲丙戌丙戌丙 一篇一篇― 廿一 則甲丙乙甲丙戌并亦等兩直角 角井等。夫甲乙丙形之内三角。等兩直角。 卅二 一篇 而乙戊為一直線 十四 第三十三題 三丈 寅 皆若所乗両国分之比例而両分円形之比例亦若所乗両円分之比例 解曰甲乙丙戌己庚両円等。其心為丁。為事。為辛。両円各 任割一円分。為乙丙為已庚。其乗円角之在心者。為 乙丁丙巳辛庚。在界者。為乙甲丙。己戊庚。題先言乙 丙與己庚雨図分之比例若乙丁丙與己辛庚雨角 次言乙甲丙與己戌庚雨角之比例若乙丙與己庚 両円分後言乙丁丁丙両腰偕乙丙円分内乙丁丙分圏形。與己辛辛庚雨腰偕 両図分後言乙丁丁丙兩腰偕乙丙園分内乙丁丙分園形與己 己庚図分内己辛庚分図形之比例亦若乙丙與己庚両図分 光論曰。試作乙丙己庚両線次作丙壬合図線與乙丙等。作庚癸癸子雨合圖俗 三篇 四篇 四代昼 各與己庚等 一〇 其丙壬既與乙丙等。即乙丙與丙壬兩國分亦等 而乙丁 一。 十八 丙與丙丁壬雨角亦等。 三篇 廿七 冊依顯己庚庚癸癸子三円分。己辛庚庚辛癸。癸辛子。 三角俱等則乙丙壬園分倍乙丙円分之數如在心乙丁壬角或乙丁壬内。地倍 乙丁丙角之数而己庚癸子図分倍己庚園分之数如在心己辛子角或已卒子 内地倍己辛庚角之数何者。乙丁壬。己辛子。雨角。或両地内之分數與乙丙壬己 庚癸子。両円分内之分数。各等故也然則乙丁壬角與地。若等。丁己辛子角與也。 即乙丙壬園分。必等于己庚癸子円分矣。者大亦大若小亦小矣是一乙丙所倍 之乙丙壬。三乙丁丙所倍之乙丁壬。偕二己庚所倍之己庚癸子。四己辛庚所倍 之己辛子等大小皆同類也則一乙丙與二己庚之比例若三乙丁丙與四己辛 庚也 説六 説六 五篇界 三篇 次論曰。乙丁丙角倍大干乙甲丙角。而己辛庚角。亦倍大干己戌庚角。一 即乙 二十目 二十 二切断て 五篇 五篇 丁丙與己卒庚雨角之比例若乙甲丙與己戌庚雨角矣 則乙甲丙與己戌 廿五 庚在界乘圜之兩角。亦若乙丙與己庚兩國分也。 五五 十 一廿五 若作甲壬戌癸丑戌癸未戌亥刻 用地当角説 用先論推顕 三篇廿増題 後論曰。試于乙丙園分内。作乙丑丙角。次于丙壬円分内。作丙寅壬角。此雨角所 幾何原本六 乘之乙甲壬丙與丙乙甲壬兩圓分既等 二篇 廿七 十七 即兩角亦等。而乙丑丙與丙寅壬 乙乙丙與丙壬雨合図 兩圜小分亦相似。亦相等。 同次毎加一相等之乙丁丙丙丁壬。 線等故見三篇廿四日 角形。即乙丁丙。丙丁壬。兩分圜形等。 一篇 一篇 四 扁則乙丁壬分園形倍乙丁丙分図形之 数如乙丙壬園分倍乙丙園分之歎依顯己辛子分図形倍己卒庚分円形之数 亦如己庚癸子図分倍乙庚円分之数然則乙丙壬園分。若等于己庚癸子円分 者。即乙丁壬分円形。亦等于己辛子分園形矣。若大亦大若小亦小矣。 五篇界 説六 是 乙丙壬園分之倍一乙丙園分。乙丁壬分図形之倍三乙丁丙分円形。偕乙庚癸 子圏分之倍二己庚園分。己辛子分図形之倍四己辛庚分円形等。大小皆同類 也則一乙丙円分與二乙庚圓分之比例。若三乙丁丙分円形與四己辛庚分図 五篇界 形也 説六 説六 一系在圜心兩角之比例皆若兩分図形。 二系。在円心角與四直角之比例。若図心角所率圏分與全圜界。四直角與在圜 心角之比例若全圜界與圜心角所乘之圍分。 気丁先生言欧凡里得六巻中。多研察有比例之線竟不及有比例之面。故因其 義類増益數題。用補闕如左云。竇復增一題。竊弁于首仍以題旨。從先生舊題隨 類附。以廣其用。俱稱今者。以別先生舊増也。 今増題図與図為其径與径再加之比例 丑 解曰。甲乙丙。丁戊乙兩円。其径甲丙。丁己。題言 甲乙丙與丁戊巳為甲丙與丁巳再加之比例 論曰。如云不然當言甲乙丙円。與小子丁戊己 癸 鶏 之庚辛壬園或大干丁戊巳之癸子丑円為甲 五篇界説 丙與丁己再加之比例也 著言庚辛 二十増 壬是者。試置庚辛壬園于丁戊己圜内為同心。 兄 次于外圜内作丁亥戊未己申酉戌多違切形 四篇十 其多違為偶數又等。而全不至内圜也。 六補題 乾 次于甲乙丙園内作甲午乙寅丙卯辰巳多邊 四篇十六 其両国内両径上有丁亥戌未己與甲 切形。與丁戌已園内切形相似 補題可推 本篇 午乙寅丙相似之兩多邊形則為兩相似邊再加之比例也 而甲丙與丁己 一十 兩綿。為兩形之相似邊。據如彼論。即甲午乙寅丙與丁亥戌未已兩形。甲乙丙與 庚辛壬雨円。同為甲丙與丁巳雨線再加之比例也甲乙丙半円。大干甲午乙寅 丙形。将庚辛壬半図。亦大干丁亥戌未己形乎。則分大于全乎。若言癸子丑是都 亦如前論。甲午乙寅丙與丁亥戌未己雨形。甲乙丙與癸子丑丙円。同為甲丙與 丁己両線再加之比例也。反之即癸子丑與甲乙丙兩國之比例為丁己與甲丙 両径再加之比例也試設他圜乾兌離令癸子丑與甲乙丙之比例若丁戊己與 乾兌離 五篇界 説増 則丁戊巳與乾兌離兩國亦宜為丁己與甲丙兩徑再加之比例 也癸子丑既大于丁戊己即甲乙丙亦大干乾兌離而丁戊己與小于甲乙丙之 前已駁有両国其第一與他 乾兌離兩圜能為丁己與甲丙兩徑再加之比例乎。 図之小干第二者不得為元 図両径再 一輯夫甲乙丙不得與圍之大子丁戊己者。小於丁戊己者為甲丙與丁己 加之比例 再加之比例。則止有元兩図為其元兩径再加之比例。 一系。全国与全国半円半闘。相当分与相当分任相与為比例。皆等。葢諸比例。 皆兩径再加之比例故 二系。三辺直角形対直角辺為径所作円。与余両辺為徑所作両図并等。年図與 兩半圜井等。圜分與相似兩國分并等。 本篇卅 一可推 三系。三線為連比例以為徑所作三円。亦為連比例推此可求各図之相與為比 本篇十九二 例者又可以圜求各図之相與為比例者。 十之系可推 一増題直線形求減所命分。其所減所存各作形與所設形相似而体勢等。 曰。如甲直線形。求滅三分之一。其所減所存。各作形。與所設乙形相似而體熱 ○作丙丁形。與甲等。與乙相似而體勢等。 本篇 次任于其一邊如丙戌上作丙 廿五 甲 庚 己戌半円次分丙戌為三平分。而取其一庚戌次從庚作 己庚為丙戌之垂線 本篇 正泉本蘆 九 次作己丙己戊兩線末于己丙 己戌上作己辛己壬兩形各與丙丁相似而體勢等。 本篇 十八 即所求。 三篇 論曰丙己戌角形。既員半図為直角。 即ち町丙丁直線形 卅一 本篇 與己辛己壬相似之兩形并等。 同而干等甲之丙丁形 卅一 滅己壬。存己卒。兩形各與丙丁相似而體勢等。則與乙相一 似而體勢等。今欲顯己壬為丙丁三分之一者。試観丙庚 己丙己戊兩角形既相似 八 本篇 八 即丙庚與庚巳之比例若丙己與己戊也 本篇 本篇 四 夫 イ八一 丙庚庚巳庚戌三線為連比例即丙庚與庚戌為丙庚與庚巳再加之比例。 本篇 □□□□□□□□ 本篇十 兼而已卒與己壬雨形亦為丙己與己戌兩相似邊再加之比例本 八之 即丙庚 両比例為両同理 九二十 同川戸部両同 與庚戌兩線之比例若。已卒與己戌兩形也。 合之則丙戌與庚 比例之再加故 戊之比例若等已卒己壬兩形并之丙丁與己壬矣。丙戌三 倍于庚戌則丙丁亦三倍于己壬而己壬為等甲之丙丁三 分之一 若直線形求減之。不論所減所存何形。其法更易。如甲形。求 篇 一 一篇 滅三分之一先作乙丙平行線形。與甲等。 同同次分乙丁為三平分而取其一戊 四一 丁。未從戌作己戌線與丙丁平行。即戌丙形為等甲之乙丙形三分之。一本 本篇 一、 今附。若干大圜求減所設小圜。則以図径当形辺。餘法同前。如 上図 方初月形者謂作直 又今附依此法。可方一初月形 角方形與初月形等 如甲乙丙 丁図其界上有附図四分之一之乙壬丙戌初月形。而求作一 直角方形。與初月形等。先従乙丙作甲乙丙丁内切圜直角方形 三篇 三篇 六 次用方形 法四平分之即其一為所求方形。与初月形等。何者甲乙丙半円。與甲乙乙丙上 本増題 其上には。其後自補等。即其上両線自相等。前年園亦 両半円井等 之今附 自相等。而庚乙壬丙分圜形為大半図之半。即與乙己丙戌小 半円等。此両率者。各減一同用之乙己丙壬円小分。其所存乙 壬丙戌初月形。與庚乙丙角形等。而庚巳丙辛直角方形。與庚 乙丙角形亦等。則與乙壬丙戌初月形亦等。依顯甲乙丙丁直 角方形。與大図界上四初月形并等。 二増題両直線形求別作一直線形為連比例。 法曰。甲與乙丙丁雨直線形。求別作一直線形為連比例。先作一戊己庚直線形 與甲等與乙丙丁相似而體勢等 本篇 廿五 次以両形相似之各一邊 如戊己乙丙為前中率線。而求其連比例之末率線為辛千。 本篇 十一 本篇 一末。于辛壬上作辛壬癸形。與兩形相似而體勢等。 十八 191 即所求 即所求 論曰戊己乙丙辛壬三線既為連比例即其上三形相似而體勢 本篇 等者亦為連比例。 廿二 今附有兩國求別作一國為連比例則以図徑當形邊。依上法作之。 三増題。三直線形。求別作一直線形為斷比例。 法曰。一甲。二乙丙丁戌三己庚辛。三直線形。求別作一直 線形為斷比例先作壬癸子丑形。與甲等與乙丁相似而 體勢等 本篇 廿五 次以三形之任各一邊如壬癸乙丙己庚為 本篇 三率求其斷比例之末率線為寅卯 末干寅卯上作 十二 本篇 寅卯辰形與己庚辛相似而體勢等。 即所求 十八 論曰。四線既為斷比例。即其線上形相似。而體勢等者。亦 本篇 為断比例 廿二 今琳。有三円。求別作一円為斷比例。亦以図径當形邊。依上法作之 四増題両直線形。求別作一形為連比例之中率。 幾何原本六 甲 十八日 法曰。甲與乙丙丁両直線形。求別作一形為連比例之中率。 一先作戊己庚直線形與甲等與乙丙丁相似而體勢等 本篇 廿五 本篇 次求戊巳乙丙両直線連比例之中率為辛壬 末干辛 十三 同三軒本 本篇 壬上作卒壬癸形與戊己乙丙上形相似而體勢等。林 □□ 十八一 所求。 論曰戊巳年壬乙丙三線既為連比例。即各線上戊己庚辛壬癸。乙丙丁三形亦 為連比例 本篇 廿二 又法曰。甲乙両直線形求別作一形為連比例。之中率先作丁丙己戊平行線形。 一篇 任直斜角與甲等ス 四五 次作庚戌壬辛平行線形與乙等與丁己形相似而體勢 本篇 寺本筥 等 甘五 次置兩平。行線形以戊角相聯。而丁戊戌壬為一直線即庚戌戌巳亦一 直線 一篇千 五増 十末從兩形引長各邊。成丙子辛癸平行線形。即兩餘方形。俱為丁已 甲 A 庚壬雨形之中卒 論曰。丁己庚壬兩形。既相似而體勢等。即丁戊與己戊之比 例。若戊壬與戊庚也。更之即丁戌與戊壬。若己戌與戊庚也。 夫丁戊與戊壬兩線之比例亦若丁己與戊癸兩形。己戌與 戊庚兩線之比例。又若戌癸與庚壬雨形。則戊癸為丁己庚 壬之中卒矣 又論曰。丁己庚士両形。既相似而體勢等即同依丙辛封角線 早本芦 本篇 廿六 丙子戊戌戌 両餘方形自相等則丁己與戌癸両形之比例若子戊與庶壬両形何者此両比 例皆若丁戊與戊壬也。則子戊戌癸。皆丁己庚壬之中卒也。 今附若両国。求作一円為連比例之中率。亦以図径当形辺。依上前法作之。 五増題。一直線形。求分作両直線形。俱與所設形相似而體勢等。其比例若所謂 両幾何之比例 等。 法曰。甲直線形。求分作両直線形。俱與所設了形相似而體勢等。其比例若所設一 両幾何如已線與丙線之比例。先作戌己庚辛直線形。與甲等。與丁相似而體勢一 本篇 廿五 次任用其一邊。如戊辛。兩分之于壬令戊壬戊壬與壬 分法先以乙丙丙線聯為一直線 卒之比例若乙與丙也。 次畿戊壬與壬卒若乙與丙見本 □□ 十二月次子戊子戊卒上作戌癸辛未年 垂線次作戌癸癸辛線相聯。末于戌癸癸卒上作戌丑子 本篇 一癸。癸卯寅辛両形。與戌庚形俱相似而體勢等。 即此 八月此 十八 兩形并與甲等。又各與丁相似而體勢等。其比例又若乙 與丙 幾何原本六 三篇 角三筥 一論曰戊癸辛既員半図為直角 冊即戊子癸寅兩形并。與等戊庚之甲等。 本篇 三十一 卅一 同同同同同同同同 又戊壬與壬癸之比例若戊癸與與癸辛。 戊壬壬癸壬辛三線為連 故見本篇四 比例即戊壬與壬卒。為戊壬與壬癸再加之比例。此 之系 本篇八 篇ハ三 而戊子與癸寅雨形。亦 為戌癸與癸辛両相似辺再加之比例 本篇 二十 十一月十一年之比例亦若戊子與 両比例為両同理 癸寅也 比例之再加故 夫戌壬與壬與壬辛。元若乙與丙也。則戊子與癸寅亦若乙 與丙也 今附若一円。未分作両円。其比例。若所設両幾何。亦以円径当形邊。竹上法作之。 六増題。一直線形求分作両直線形。俱與所設形相似而體勢等。其兩分形両相 似辺之比例。若所設両幾何之比例。 庚 法曰甲直線形求分作両直線形。俱與所設丁形相似而 體勢等。其兩分形兩相似邊之比例。若所設兩幾何。如乙 線與丙線之比例先以乙與丙兩線求其連比例之末率 本篇 為戊 十 十一 一次作己庚辛直線形與甲等。與丁相似而體勢 等。次任用其一邊如已辛。兩分之于壬。令己壬與壬卒之 比例若乙與戊也 一本篇 次干己辛線上作己癸辛半図次 従壬作癸壬。為已卒之垂線次作己癸癸辛両線相聯末。 于己癸癸辛上作己子癸。癸丑年。兩形俱與丁相似而體勢等。即此兩形并與等 甲之己庚辛等。而巳癸癸辛両相似邊之比例。若乙與丙。 三篇 論曰。己癸辛既員半図為直角。 一即己子癸癸丑辛両形并。與等己庚辛之甲 本篇 卅一 基本 等 等卅 丹卅一 ○俱在直角両 卅一 一又己壬與壬癸之比例。若 卅一 一又己壬與壬癸之比例。若己癸與癸與癸辛。 故。見本篇四 己壬壬癸壬辛三 一線為連比例。即己壬與壬辛。為己壬與壬癸。再加之比例 之比例。既若己子癸癸丑辛両形相似邊之己癸與癸辛。而乙與戌元若己壬與一 壬辛。乙與戌元為乙與丙再加之比例。則己癸癸辛之比例。若乙與丙。 今附。若一円。求分作両円。其両円径之比例。若所設両幾何。倣此。 七増題。両直線形。求并作一直線形。與所設形相似而體勢等。 法曰。甲乙両直線形求并作一形。與所設丙形相似而體勢等。先作戊丁乙形。與 本篇八 之系 夫己壬與壬癸 甲 甲等。作己庚辛形與乙等。又各與丙相似而體勢等。 廿五 廿五 次置両形。令相似之戌已己已卒両邊。聯為直角。次作戊卒 線相聯末依戌辛線作戌辛壬。與丙相似而體勢等。即與 本篇 本篇 本篇 上両形并等 卅一文 如所求。 一女所求 壬 二篇 一又法曰。作一平行方形。與甲乙兩形并等。 四五 壬角形。與平行方形等。又與丙相似而體勢等。即所求。 次作戊辛 幾何原本六 今附。若兩國。求并作一國。亦以圜徑當形邊。依上法作之。 八増題。図内雨合線。交而相分。其所分之線。彼此互相視。 解曰。甲乙丙丁圍内。有甲丙乙丁兩合線。交而相分于戊。題言 所分之甲戊戌丙乙戊戌丁為互相視之線者。謂甲戌與戊丁。 若乙戊與戌丙也。又甲戌與乙戌。若戊丁與戌丙也。 八三篇 論曰。甲戌偕戌丙與乙戌偕戊丁。兩矩内直角形等。 即等 卅五 本篇 角南之兩邊為互相視之邊 十四 丸增題。國外任取一點。從點出兩直線。皆割圜至規内。其兩全線與兩規外線。彼 此互相視。若従点作一切図線。則切図線為各割円全線与其規外線之各申率。 解曰。甲乙丙丁圜外。任取戊點。從戌作戊丁戊丙兩割圜至 規内之線。遇図界于甲于乙。題言戊丙戌乙戊丁戊甲互相 視者。謂戊丙與戊丁。若戊甲與戌乙也又戌丙與戊甲。若戊 丁與戊乙也 論曰。試從戌作戊己線。切図于己。即戌丙偕戊乙矩内直角 三篇 三篇 又戌丁偕戊甲矩内直角形。與戊已上直角方形 形。與戊已上直角方形等 卅六 亦等。即戌丙偕戊乙與戊丁偕戊甲。兩矩内直角形自相等。而等角菊之兩邊。為 本篇 同同同同同同 一篇 三篇 方形等 卅六 本篇 十四 十四 又戌丙階戊乙戊丁偕戊甲。兩矩内直角形。各與戊已上直角 此一。即戌巳戌乙三線。為連比例。戌丁戊己戊甲三線。亦為連比例 本篇 而戊已為各全線。與其規外線之各中率。 十七 十増点兩直線相遇作角。従兩線之各一界。互下垂線。而每方為雨線。一自界至 一相遇處。一自界至垂線。則各相対之兩線。皆彼此互相視。 甲乙與丁乙。若乙丙與乙戌也。 解曰。甲乙丙乙兩線。相遇于乙。作甲乙丙角。從甲作丙乙之垂 線從丙作甲乙之垂線。若甲乙丙為鈍角。即如前圖。兩垂線當 至甲乙丙乙之各引出線上。為甲丁為丙戌。其甲戌丙丁。交而 相分于乙也。若甲乙丙為鋭角。即如後図。甲丁丙戌雨垂線。當 在甲乙丙乙之内。交而相分于已也。題言兩圖之甲乙乙戌丙 乙乙丁。皆彼此互相視者。謂甲乙與乙丙。若丁乙與乙戊也。又 論曰。甲乙丁角形之甲乙丁。甲丁乙丙角。與丙乙戌角形之丙乙戌丙戌丙戌丙丙角。 〇両為直角両干前図為 各等 各等 交角于後図為同角故同 琉即兩形為等角形為等角形而甲乙與丁乙。若乙丙與乙戊也。 本篇 本篇 & 更之則甲乙與乙丙。若丁乙與乙戌也。 四〇 又論曰。依前図。可推後図之甲丁丙戌。交而相分于已。其甲乙己丁丙己巳戊。亦一 幾何原本六 彼此互相視。蓋甲己戌丙巳丁。既為等角形。即甲己與己戊。若丙己與己丁也。第一 四更之。則甲己與丙己。若己戌與己丁也。 十一増題。平行線形内。両直線與兩邊平行相交。而分元形為四平行線形。此四 形。任相与為比例。皆等。 解曰。甲乙丙丁平行線形内。作戌巳庚辛両線。與甲丁丁丙各早行。 而交于壬。題言所分之戌庚庚巳乙壬壬丙四形。任相與為比例皆 甲斐氏 等 本篇 論曰。戊壬與壬己両線之比例。既若戊庚與庚巳雨形。本篇又若乙 壬與壬丙兩形。即戌庚與庚己。亦若乙壬與壬丙也。 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 五篇 調依顯乙壬 十二 與戊庚。亦若壬丙與庚己也。 十二増題。凡四邊形之対角両線。交而相分。其所分四三角形。任相與為比例皆 丙 等。 解曰。甲乙丙丁四邊形之甲丙乙丁兩對角線。交相分于戊。題 言所分甲戊丁。乙戌丙。甲戌乙。丁戊丙。四三角形。任相與為比一 例皆等 一論曰。甲戌與戌丙両線之比例。若甲戌丁與丁戊丙雨角形。又 本篇 一若甲戊乙與乙戊丙兩角形。 ■即甲戊丁與丁戊丙兩角形。亦若甲戊乙與乙 一一一 戌丙也。依顯甲戌乙與甲戌丁。亦若乙戌丙與丁戊丙也。 十三増題。三角形。任于一邊任取一點從點求作一線。分本形為雨形。其兩形之 比例若所設兩幾何之比例 線所分兩形之比例。若戌與己 先法曰。甲乙丙角形。任于一邊如乙丙上。任取一點為丁。求從一 丁作一線。分本形為両形。其兩形之比例。若所設両幾何。如戊。一 線與己線之比例。先以乙丙線。兩分之于庚。令乙庚與庚丙之 比例若戊與已 本篇 十〇 并其庚與丁若同點。即作丁甲線。則乙丁與 一丁丙兩線之比例。若乙丁甲與丁丙甲兩角形也。本。 戊 次法曰。若庚在丁丙之内。亦作丁甲線。次從庚作庚辛線。與丁甲平行。次作丁辛 線相聯。即丁卒線分本形為兩形。其比例。若戊與己者。謂乙丁 辛甲無法四邊形。與丁丙辛角形之比例。若乙庚與庚丙也。亦 若戊與己也 一篇 論曰。試作庚甲線。即辛庚甲。庚辛丁兩角形等。 次毎加一 卅七 丙庚辛角形。即丙庚甲。丙辛丁。雨角形亦等。則甲乙丙全形與 幾何原本六 丙庚甲角形之比例。若甲乙丙與丙辛丁也。 五篇 扁分之。則乙庚甲角形與丙庚甲 五篇 乙庚甲與丙庚甲 與丙辛丁角形也 十七 角形之比例。若乙丁卒甲無法四邊形。與丙辛丁角形也。廿 本篇 備則乙丁辛甲無法四邊形與丙辛丁角形 両角形之比例。既若乙庚與庚丙 一 一 之比例。亦若乙庚與庚丙也。則亦若戊與己也。 後法曰。若庚在乙丁之内。亦作甲丁線。次從庚作庚辛線。與丁甲 平行。次作丁卒線相聯。即丁辛線分本形為両形。其比例若戌與 己者。謂乙丁辛角形與丁丙甲辛無法四邊形之比例若乙庚與 庚庚庚丙也亦若戊與己也。 ○一篇 論曰。試作庚甲線。如前。推顯卒庚甲。庚辛丁。兩角形等。冊。 卅七 次毎 加一乙庚辛角形。即乙庚甲與乙辛丁雨角形亦等。則甲乙丙全形與乙庚甲角 形之比例若甲乙丙與乙辛丁也 七 五篇 氣分之則丙庚甲角形與乙庚甲角形之比 五篇 例。若丁丙甲辛無法四邊形與乙辛丁角形也。 反之則乙庚甲角形與丙庚 十七 甲角形之比例若乙辛丁角形與丁丙甲辛無法四邊形也乙庚甲與丙庚甲之 本篇 則乙丁辛角形與丁丙甲辛無法四邊形之比例亦 比例既若乙庚與庚丙。 若乙庚與庚丙也。則亦若戌與已也。 系。凡角形。任于一邊。任取一點。從點求滅命分之一。如前法。作多倍大之比例。即 得。其所作倍数。母少于命分之一。如来減四分之一。即作三倍大之比例。減五分 之一即作四倍大之比例也。則全形與所減分之比例。其倍數若命分之數也。 十四増題。一直線形。求別作一直線形。相似而體勢等。其小大之比例。如所設両 幾何之比例。 法曰。甲直線形。未別作直線形。相似而體勢等。其甲形與所作形小大之比例。若 所設兩幾何。如乙與丙兩線之比例。先以乙丙及任用甲 本篇 之一邊如丁戊三線。求其斷比例之末率。為己。 次来 乙丙 壬 庚 本篇 十二 丁戊及巳之中率線。為庚辛。 末從庚辛上作壬直線 十三 形。與甲相似而體勢等。即甲與壬之比例。若乙與丙。 論曰。丁戊庚辛巳三線為連比例。即一丁戊與三己之比 本篇十九 例。若相似而體勢等之甲與壬。 二十之系 若先設大甲。求作小王。若乙與丙。其法同。如上圖。 用此法。可依此直線形。加作兩倍大。三倍四五倍大。以至無 窮之他形。亦可依此直線形。滅作二分之一。三分四五分之 一。以至無窮之他形。其此形與他形。皆相似而體勢等。 有用法。作直角方形平行線形及各形之相加相減者。如甲乙 丙丁直角方形。求別作五倍大之他形。先以甲乙線引長之。以甲乙為度。截取五 分至戌。令乙至戌。五倍大干甲乙也次以甲戌丙平分于己次以已為心。甲戌為 界。作甲庚戌半図。其乙丙線直行遇図界于庚。即乙庚為所求方形之一辺也。末 作乙庚辛巳直角方形。即五倍大手甲丙。何者。乙庚既為戊乙 本篇十 乙甲之中率線は 三之系 即一戊乙與三乙甲之比例若二庚乙 本篇二 戊乙既 上直角方形。與三甲乙上直角方形之比例也。 十之系 五倍于乙甲。則乙辛亦五倍于甲丙。若戌乙為乙甲之六倍。則 庚下 乙辛亦甲丙之六倍若戊乙為乙甲三分之。則乙辛亦甲丙 三分之一。相加相減。倣此以至無窮。如甲乙丙丁平行直角形。 求別作二倍大之他形。相似而体勢等。先以甲乙線引長之。以 甲乙為度。截取二分至戌。令乙至戌二倍大于甲乙也。次以甲 戊両平分于己次以已為心。甲戌為界作甲庚戌半図其丙乙 線直行遇圜界于庚。即乙庚為所求直角形之一邊也。次于甲 茂線上截取甲辛。與乙庚等。從卒作辛壬線。與乙丙平行。次作甲丙對角線。引長一 之。与辛壬線遇于壬。末作丁発癸壬。成甲辛壬癸平行直角形。即二倍大于甲丙。 本篇十 又相似而體勢等。何者戌乙乙庚乙甲三線既為連比例。 三之糸 如前論。一戊乙 三之系ゟ 與三乙甲之比例。若二等乙庚之甲辛上平行直角形甲壬。與三甲乙上平行直 本篇二 本篇二 角形甲丙也 戌乙既二倍于甲乙。則甲壬亦二倍于甲丙。用此法。凡甲乙 十之糸 上不論何等形與乙庚上形相似而體勢等者。其乙庚上形。皆二倍大干甲乙上 形相加相加相減俱倣此以至無窮。 今附。若用前法作園。則乙庚径上図亦二倍大子甲乙径上図。相加相減。傚此以一 至無窮。 以上用法。與本増題同。但此用法。隨作隨得中率綿。不費尋求。致為簡易耳。 十五増題。諸三角形。求作内切直角方形。 戊戌 法曰。如甲乙丙鋭角形。求作内切直角方形。先從甲角作甲 丁。為乙丙之垂線。次以甲丁線兩分子戌。令甲戌與戌丁之 本篇一 比例。若甲丁與乙丙。 之増題 末從戊作己庚線。與乙丙平行。 從己從庚作己卒庚壬兩線ノ皆與戊丁平行。即得己壬形如 如第二 一所求若直角鈍角形。則從直角鈍角作垂線。餘法同。 三図是 一論曰。己戌庚線。既與乙丙平行。即乙丁與丁丙。若己戊與戊 本篇四 合之。即乙丙與丁丙。若己庚與戌庚也。又丁丙 庚也 之増題、 甲丁丙與甲戌庚為等〻 與甲丁。若戊庚與甲戌。 平之即乙丙 角形故見本篇四之系 與甲丁。若己庚與甲戌也。又甲丁與乙丙。若甲戌與戌丁。平之即乙丙與乙丙若 己庚與戊丁也。乙丙與乙丙同線。必等。即己庚與戊丁必等。而己庚與辛壬又等。 一篇 卅四 四十四戊丁與己辛庚壬亦等則己庚壬壬辛辛巳四邊俱等。又戊丁辛既直角。 一篇 其餘亦皆直角。而己壬為直角方形。 即己辛丁亦直角。 廿九 又法曰。若直角三邊形。求依乙角作内切直角方形。則以垂 線甲乙兩分于丁。令甲丁與丁乙之比例若甲乙與乙丙午 十次從丁作丁戊直線。與乙丙平行。從戌作戊巳直線。與甲 乙平行。即得丁己形。如所求。 乙甲乙丙甲丁戊為等角 一論曰。乙丙與甲乙。既若丁戊與甲丁。 而甲乙與乙丙。又者 形故見本篇四之系 甲丁與丁乙。平之。即乙丙與乙丙。若丁戊與丁乙也乙丙與乙丙。同線必等。即丁 戊與丁乙必等。而丁己為直角方形。 今附。如上三邊直角形。依乙角作内切直角方形。其方形邊必為甲丁己丙兩分 一餘邊之中率。何者。甲丁與丁戌若戌已與己丙故。此 本篇四 之義 長洲朱祖保校絵 一具同楽猩元校 中西算学大成巻八 一幾何原本七 界説 二十二則 一嘉善陳維棋 第一界一者。天地万物無不出乎一。 第二界数者。以衆一合之而成。 第三界分者。數之數。小能度大。以小為大之一分。 第四界諸分者。小数度大数。而有奇零不尽。以小為大之幾分。 第五界若小數能度大者。則大為小之幾倍。 一第六界偶數者。可平分為二。 第七界奇数者。不可平分為三。 第八界偶之偶數者以偶分之仍得偶。 第九界奇之偶數者。以偶分之而得奇。 第十界奇之奇数者。以奇分之仍得奇。 第十一界數根者。惟一能度。而他數不能度。 第十二界無等數之數者。兩數無數能度。 第十三界可約數者。有他數能度。 幾何原本七 辛丑重校 第十四界有等数之数者。両数有数能度。 第十五界乘數者。數有若干倍。卽若干為乘數。 第十六界面數者。兩數相乘所得。原兩數爲其邊。 第十七界體數者。三數相乘所得。原三數為其邊。 第十八界平方數者。兩等數相乘所得。 第十九界立方數者。三等數相乘所得。 第二十界四數。若第一與第二。偕第三與第四。為同理之比例。則第一第三之幾 一倍。偕第二與第四之幾倍。其相視或等或俱為大。或俱為小臣如是。 第二十一界相似面数及体数者。面数体数諸相当辺同比 第二十二界全數者。諸分之合數。 一凡四十一題 論有比例無比例之理 第一題雨不等數輾転転相減。餘一而止則為雨無等数之數 解曰。如甲乙丙丁。雨不等數輾轉以小減大。末至於一。減餘諸數。皆一 一能度。題言甲乙丙丁為雨無等數之數。可度者。惟一而已。 論曰。如甲乙丙丁非無等數之數。而有他數可度。若成哉以丙丁累減 甲乙。餘甲乙。小於丙丁。以甲乙累減丙丁。餘丙庚。小於甲乙。以丙庚累 丁丙所以亦度餘数丙康惟丙庚。慶己辛所以戌亦度已辛。惟戌度全数亡甲。所 本篇界 以亦度餘數甲辛。即一於理不合也。 滅甲己餘甲辛。即一也故若謂氏數度。丙丁。而丙丁度已乙乙乙戌亦度己乙乙乙戌亦 度全數甲乙所以亦度餘數甲己惟甲己度丁庚丁庚卯戊戌亦度丁庚戌度全数 説三 是以甲乙丙丁無數可度而甲乙丙 丁為無等数之数也。 第二題兩數非無等數求其最大等數 庚 法曰甲乙丙丁雨数非無等数丙丁為小。求最大等数設丙丁度甲乙 亦可自度即為甲乙丙丁之最大等數因他數大於丙丁。不能度丙丁。 故丙丁為最大等数理自明也。設丙丁不能度甲乙則輾轉以小減大 必有減餘數可度雨數而減餘非為一若餘一則甲乙丙丁為無等數 之數而與所設之題相反矣。故最後減餘數必為等數必為等設丙丁度甲 乙餘甲戌。小於丙丁以甲戌度丙丁。餘丙巳。小於甲戌以丙巳度甲戌 恰尽夫丙已既度甲戌甲戌度丁巳則丙己亦度丁巳惟丙己亦自度。 甲 所以度金数丙丁惟丙丁度乙戌所以丙己亦度乙戌惟丙己亦度戊 凧。所以度乙甲。又丙己亦度丙丁。本所以丙己度甲乙丙丁。則丙己為甲乙丙丁一 之等数亦為最大等数也若云丙己非甲乙丙丁之最大等數而有大於丙巳之一 數庚。可度甲乙丙丁。夫庚既度丙丁。而丙丁度乙戌則庚亦度乙戌。惟庚戌乙戌 乙甲故亦度餘數甲戌惟甲戌度丁巳所以庚亦度丁己惟庚度全數丁丙則亦 度餘數丙已乃以大度小無是理也。是以可度甲乙丙丁之數無大於丙己者所 以丙巳為甲乙丙丁之最大等數 。凡數可度兩數亦可度兩數之最大等數 第三題三數非無等數求其最大等數 法曰甲乙丙三數非無等數求最大等數以丁為甲乙之最大之數而 一丁或度丙或不度丙或不度丙若丁度甲乙甲乙甲乙甲甲乙丙三數故丁 用ひ而下度為甲乙丙之等數且亦為最大等數。若云丁非甲乙丙之最大等數而 大於丁之戌謂可度甲乙丙則戊度甲乙丙亦必度甲乙及甲乙之最大等數本 二題 糸 糸 是惟丁為甲乙之最大等數故戌戌戌丁丁乃以大度小理所不能是以可度甲乙 篇 丙之數無大於丁。則丁為甲乙丙之最大等數 若丁不度丙則丙丁非無等數之數。蓋甲乙丙既非無等數之數則必 有数可度。可度甲乙丙。即可度甲乙及甲乙最大等數丁。 本篇二 題糸 惟亦 度丙。故有數可度丁丙。而丁丙必非無等數之數設戌為丙丁最大等 用ひ而一度百數戌既度丁。而丁度甲乙則戊亦度甲乙惟戊度丙。故兼度甲乙丙而 為甲乙丙之等數且亦為最大等數若云戊非甲乙丙之最大等數而以大於戊 之已謂可度甲乙丙夫已既度甲乙丙亦度甲乙及甲乙最大等数惟甲乙之最一 大等數為丁。所以已度丁。而已亦度丙。則亦度丙丁及丙丁之最大等數惟戌為 丙丁之最大等數故已當度戌乃以大度小。所不能也。故數若大於。戊即不能度 甲乙丙則戊為甲乙丙最大等數 一系。凡數可度三數必可度此三數之最大等數 二系依法任若干数俱可求得最大等數 第四題凡小數。或為大数之一分或為幾分。 一丙解曰両數一為甲一為乙丙小於甲。題言乙丙或為甲之一分或為甲之一分或為甲之一分或為甲 之幾分。 甲乙論曰甲與乙丙或無等數或非無等數設為無等數。則分乙丙為若干 本篇界 設甲與乙丙非無等 一一各為甲之一分。故乙丙内之全分為甲之幾分。 説一二 則乙丙戌度甲。或不度甲度甲。則乙丙為甲之一分。不度。甲則以丁為甲與乙丙一 本篇 之最大等數 分乙丙為乙戌戊巳己丙諸數俱等於丁因丁度甲 二 一 二 則丁為甲之一分。惟丁等於乙戊戌巳己丙各數所以乙戌戌巳己丙 甲乙丁 各數俱爲甲之一分則乙丙為甲之幾分是以凡小數或為大數之一 分。或為幾分。 第五題小數為大數之一分。若他小數高他大數之一分。則雨小數和為両大數 和之一分亦如之 丙 記解曰甲為乙丙之一分。若丁為戊己之一分。題言甲丁之和為乙丙戌 辛巳和之一分。若甲為乙丙之一分。 助ひ下戌論曰丁為戊巳之一分。既若甲為乙丙之一分。則乙丙中有若干甲戌。 己申布若干丁。分乙丙為乙庚庚丙。俱與甲數等。分戊已為戊辛辛己俱興丁數 等。則乙庚庚丙若干分。若戌辛辛己若干分因乙庚與甲等戊幸與丁等。故乙庚 戌辛和與甲丁和等。又庚丙與甲等。辛巳與丁等。庚丙辛巳和。必興甲丁和等理 同故乙丙中有若干等甲數乙丙戊己和中有若干等甲丁和験所以乙丙申之 幾冊。與乙丙戊己和中之幾甲丁和相等。是以甲為乙丙之一分。若甲丁和為乙 丙戊己和之一分。 第六題小数為大数之幾分。若他小数為他大数之幾分則両小数和為雨大数 乙ハ戊 一和之幾分亦如之 一一 四ツ辛 一解曰。甲乙為丙之幾分。若丁戌為己之幾分。題言甲乙丁戊和。為丙己 甲丙子己和之幾分若甲乙為丙之幾分 論曰。甲乙為丙之幾分。既若丁戌為巳之幾分。則甲乙中有丙若干分之幾若丁 戌中有己若千分之幾。甲乙中甲庚庚乙為丙之幾分丁戊中丁辛辛戌為己之 幾分。即甲庚庚乙若干分。必與丁辛辛戌若干分等。而甲庚為丙之一分。既若丁 辛為己之一分則甲庚為丙之一分。必若甲庚丁辛和為丙己和之一分。又庚乙 為丙之一分。亦若庚乙辛戌和為丙己和之一分。是以甲乙為丙之幾分。若甲乙 丁戊和為丙己和之幾分 第七題彼此両數。此全数為彼全数之一分若此蔵取数為彼取数之一分則 此餘數為彼餘數之一分。亦如之。 丁解曰。甲乙為丙丁之一分。若哉數甲戌為截數丙巳之一分。題言餘數 巳戌乙為餘數巳丁之一分。若甲乙為丙丁之一分。 論曰。甲戌為丙巳之一分。若戊乙為丙庚之一分。戌乙為丙庚之一分 戊丙 順明既若甲戌為丙巳之一分。則甲乙為虞巳之一分。若甲戌為丙巳之一 本 甲庚八刀 本篇 か本□ 五 惟甲乙為丙丁之一分。若甲戌為丙巳之一分。本本故甲乙為 問 故甲乙為丙 丁之一分。若甲乙為庚巳之一分則甲乙為庚巳之一分亦亦即為丙丁之一分是 庚己與丙丁相等。載取公數丙己餘庚丙。與餘己丁等。又戌乙為虞丙之一分。既一 若甲戌為丙己之一分。而鹿丙與己丁等。則戊乙為己丁之一分。若甲戌為丙己 中西算学大成 中西算学大成入巻八 之一分。。惟甲戌為丙巳之一分。若甲乙為丙丁之一分。体故餘數戌乙為餘數已 レ丁之一分。亦若全數甲乙為金數丙丁之一分也。 第八題彼此両数此全数為彼全数之幾分。若此裁取敷為彼截取数之幾分。則 此餘數為彼餘數之幾分。亦如之。 解曰。甲乙為丙丁之幾分。分。若截數甲戌為哉數丙已之幾。分。題言餘數 戊乙為餘數巳丁之幾分。若全數甲乙為全數丙丁之幾分。 論曰。設庚阜與甲乙相等。則庚辛為丙丁之幾分。若甲戌為丙巳之幾 分。分庚卒為庚子子卒。即丙丁之幾分。亦分甲戌為甲丑丑戌。即丙巳 一之幾分。則庚子子辛若干分。興甲丑丑戌若干分等。庚子為丙丁之一 分既若甲丑為丙巳之一分而丙丁大於丙巳則庚子亦大於甲丑設 庚庚庚庚庚庚庚庚庚寅為丙巳之一分若庚子為内丁之一分則余數 本篇 又子辛為丙 一寅子為餘數己丁之一分。亦若全数庚子為全數丙丁之一分本席 丁之一分既若丑戌為丙巳之一分。而丙丁大於丙巳故子年必大於丑戌設子 卯與丑戌相等。則子辛為丙丁之一分。若子卯為丙巳之一分。故餘數卯草為餘 數己丁之一分亦若全數于卒為全數丙丁之一分。惟餘數寅子為餘數已丁之 故寅子卯卒和為丁己之幾分若全數 一分若全数庚子為全数丙丁之一分論 庚年為全數丙丁之幾分惟寅子卯辛卯卒和與戌乙等。而庚辛與甲乙等。故餘数 戊乙為。餘數己丁之幾分。若全數甲乙為全數丙丁之幾分。 第九題第一數為第二數之一分。若弟三數為第四數之一分。則第一數為第三 一數之一分或幾分。若第二數為第四數之一分或幾分。 解曰。甲為乙丙之一分。若丁為戊巳之一分。甲小於丁。題言甲為丁之一 一分或幾分。若乙丙為戊己之一分或幾分 辛論曰。丁為戊己之一分。既若甲為乙丙之一分。則乙丙申有若干甲。若戊 一は。已中有若干丁。分乙丙為若干甲。如乙庚庚丙。分戊已為若干丁。如戊辛 甲乙丁戌辛巳。則乙庚庚丙若干分。與戌辛辛己若干分等。夫乙ノ庚庚丙諸數既倶 相等戊辛辛己諸数。亦俱相等。而此乙庚庚丙諸分。與戊辛辛己諸分又相等則 庚丙為辛巳之一分。或幾分。若乙庚為戌辛之一分或幾分。故乙庚為戌辛之或 本篇 元惟乙庚與甲相等而戊辛與 一分或幾分。若乙丙為戊己之或一分或幾分。 五六 丁相等。故甲為丁之或一分或幾分。若乙丙為戊己之或一分或幾分也 第十題第一數為第二數之幾分。若第三數為第四數之幾分。則第二數為第四 一数之幾分或一分。若第一數為第三數之幾分或一分 解曰。甲乙為丙之幾分。若丁戌為己之幾分。題言甲乙為丁戊之幾分。或一分。若 中西算学大成 一丙為己之幾分或一分。 乙 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 與・・ 與: 庚為丁卒之幾分或一分 論曰。甲乙為丙之幾分。既若丁戌為己之幾分。則甲乙中有丙之若干 分。若丁戊中有己之若干分分甲乙為丙之若干分。如甲庚庚。乙分丁 戌為巳之若干分。如丁卒卒。則甲庚庚乙若干分与丁辛早戌若干 事與為丙之一分既若丁卒為已之一分。而丙為已之幾分或一分若甲 本篇 則庚乙為辛戌之幾分或一分。若丙為已之幾分 九 本篇 五六 或一分。故甲乙為丁戊之幾分或一分。若甲庚為丁辛之幾分或一分五六二百 為己之義分或一分。若甲庚為丁字之幾分或一分。故甲乙為丁戊之幾分。或一 惟丙 一分。亦若丙為已之幾分。或一分也。 第十一題大小雨數。此全數與彼全數。比。若此哉數與後載載數比。則此餘。興後 餘數比亦如之 戊戌 一斛曰全數甲乙與全數丙丁氏。若載數甲戌與截數丙已比。題言餘數 戊乙與餘數己丁比若全數甲乙與全數甲乙與全數丙丁比 乙論曰。甲乙與丙丁比既若甲戌與丙已地。則甲戌為丙巳之幾分或一 本篇界 故餘數戊乙為餘數巳丁之 説二十一 説二十十 一分。若甲乙為丙丁之幾分或一分 一甲丙幾分或一分若甲乙為丙丁之幾分或一分」 本岱 本篇 七八 《題：《題：《題：《題：《題：《題：《題：《題：《題：《題：《題：《題：《題：《題：《題：《題：《題：《題：《題：書：《題：《題：《題：《題：《題：《題： 本篇界 若甲乙與丙丁比也。 説二十 第十二題若干同比例數一前數與一後數比若諸前數和與諸後數和比 解曰。甲乙丙丁諸同比例數甲與乙比若丙與丁比題言甲與乙比若 甲丙和興乙丁和比 論曰甲與乙比既若丙與丁比則甲為乙之幾分或一分。若丙為丁之 丙丁 本篇界 本篇界に 幾分或一分 明故甲丙和為乙丁和之幾分或一分。若甲為乙之 説二十 本篇界 一 甲乙幾分或一分。 本篇 或甲與乙比若甲丙和與乙丁和比也 五六 説二十 第十三題四數成正比例。則亦成屬比例。 解曰。甲乙丙丁四比例數甲與乙比若丙與丁比題言屬理甲與丙 比若乙與丁比 論曰甲與乙比。既若丙與丁比則甲為乙之幾分或一分。若丙為一 丙丁 本篇界 本篇界 一之幾分或一分。 故屬理甲為丙之幾分或一分。若乙為丁之 説二十、 誠二十 一本篇 本篇九 本篇界 九是以甲與丙比若乙與丁比也。 甲乙幾八刀、或一分、 與十 説二十 ノ與十六 説二十 第十四題彼此諸數兩兩比例同。則以平理推之。比例亦同。 解曰此諸數甲乙丙。彼諸數丁戊己。彼此若干數等。甲與乙比若丁與戌比乙與 丙比若戊與己比題言依平理甲與丙比若丁與己比 幾リ何原本七 丁戊己 論曰甲與乙比既若丁與戌比則屬理甲與丁比若乙與戌比本篇又 乙與丙比若茂與己比則屬理乙與戌比。若丙與己比惟乙與戌比若 甲與丁比故甲與丁比若丙興己比是以屬理甲與丙比若丁與己比 也。 甲乙丙也 第十五題一度第二數。若第三數度第四數。則依属理一度第三數若第二數度 第四数 一解曰。甲為一。度第二數巳丙。若第三數丁。度第四數戊己。題言属理甲一 一度丁。若乙丙度戊巳 丁戊 甲・ 戊 丙 一女 庚 論曰。甲度乙丙。既若丁度戊己則戊己中有若干丁。若乙丙中有若干 一分乙丙為乙庚。庚辛。年丙。若干一。又分戊己為戊子。子丑。丑己若干 乙丁乙庚庚辛辛丙若干分與戊子子丑且己若干分等乙真鹿卒卒辛 諸一既俱等。戊子子丑丑丑己諸數亦俱等。而乙庚庚辛辛丙諸分。與戊子子丑丑 己諸分等。則乙庚一與戊子數比。亦康卒一與子丑數比亦若年丙一與丑己數 本篇 二十九歳一與戊子數比若 十二 比惟一前卒與一後率比若諸前率興諸後率比 乙丙與戊己比。惟乙庚一等甲一戊子數等丁數故甲與丁比若乙丙與戊己比 本篇界 是以甲度丁數。若乙丙度戊己也。 説二十 第十六題二數互乗生二數所生二數必等。 解曰甲乙二數甲乗乙生丙數乙乘甲生丁數廻言丙丁必等。 論。曰。甲乗乙既生丙則乙度丙得若干。與甲中之若干一等 本篇界 扁界以 説十五 レス 戊乙丁 一為戊而度甲得若干。與乙度丙得若干等。故屬理以戊度乙得若干 甲丙與甲度丙得若干等 本篇 十五 又乙乗甲既生丁。則甲度丁得若干。與乙中 之若干一等。戌一度乙亦與乙中之若干一等。故戌度乙若甲度丁。惟戌度。乙亦 若甲度丙子。本故甲度丙與度丁等。是以丙與丁等。 第十七題數乘二數。所生二數之比若原二數之比 心解曰甲乘乙丙二數生丁戌二數題言乙丙之比若戊之比 本篇界 一心論曰。甲乘乙既生丁。則乙度丁得若干。與甲中之若干一等。夥 ソン 説十五以 説十五 己甲丙戌已為一而度甲得若干與甲中之若干一等。是甲申右若干乙若丁中 本篇界 又己與甲乙若丙與戌比 有若干乙故己與甲比若乙與丁比。 説二十 乙丁理同是以乙與丁比若丙與戌比而屬理乙與丙比若丁與戊戌 本篇 十三 第十八題二數各乘一數所生二數之比若原二數之比 解曰甲乙二數各乘丙生丁戊二 數題言甲與乙比若丁與戌比 幾何原本七 同四十一日甲乗丙生丁。丙乗甲亦生丁 本篇 乙乗丙生戌丙乗乙亦生戊是 十六、 十六 丙乘甲乙二數生丁戊二數所以甲與乙比若丁與戊戌 本篇 十七 戊 甲 丁 第十九題四比例數第一第四乗得數。必等於第二第三乗得數又若有四數第 一第四乗得數等於第二第三乗得數。則此四數為比例數 一解曰甲乙丙丁四比例數甲與乙比若丙與丁比戌為甲丁 乗得数已為乙丙乗得数題言戊與己等 論。曰甲来丙。設生庚。甲来丙既生虜。而東丁生戊。則甲乗丙 丁二数生庚戌二數。故丙與丁比若庚與戌比丙與丁比又 甲乙丙丁戊巳庚甲與乙比 本篇 十七 調故甲與乙比亦若庚與戌比又甲乘丙既生 本篇 庚而乙来丙生已。是甲乙二数乗丙。生庚巳二数故甲與乙比若虞與己比体真 惟甲與乙比若庚與戌比故庶與戌比若虞與己比。夫虞與或比若虞與己比則 戊興己相等 又解曰。戌與己相等。則甲與乙比。必若丙與丁比 論曰甲来丙丁既生庚戌則丙與丁地若庚與與戌比惟戊與己相等故虞與戊地 若虞與己比惟庶與戌比。若丙與丁比是以丙與丁比若眞典已比。而虞興己由 若甲與乙比 本篇 本篇 則甲與乙比若丙與丁比。 十八 第二十題三比例數首與未來乘。得數等於中數自乘。又三數若首與来得數。等 於中數自乘則此三數為比例數。 解曰。甲乙丙三比例數甲與乙比。若乙與丙比。題言甲丙来得數等於 乙自乗数 一甲乙丁丙丁乗得數 一論曰。設置丁與乙等。則甲與乙比若丁與丙比。故甲丙乗得數等於乙 一本篇 惟乙丁相等。故乙丁乘得數。與乙自乘之數等。是以甲 十九 與丙乘得數等於乙自乘之數。 又解曰甲丙乗得數等於乙自乘數則甲與乙比必若乙與丙比 論曰。甲丙乘得數。既等於乙自乘數。則亦等於乙丁乘得數。故甲與乙比。若丁與 丙比 本篇 而乙與丁相等是以甲與乙比若乙與丙比 十九 第二十一題同比最小数可度諸同比數。前率度前率。後卒度後率。但等。 解曰。丙丁戊己両數為甲乙之最小同比數。題言甲申有若干丙丁。若乙中有若 干戊己 幾何原本七 丁巳 論曰。如此丙丁必非甲之幾分。設以丙丁為甲之幾分。則戊己為乙之 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 本篇界 丁巳 是丙丁中有甲内分之幾若戊己中 幾分。若丙丁為甲之幾分。 與守 説二十 有乙内分之幾丙丁為甲内分之幾。如丙庚庚寅庚庚丁戊巳為乙内分之幾 甲乙丙戌如戌享辛巳則丙庚庚丁若干分與戌辛辛巳若干分等。丙庚庚丁諸 數既相等。戌年辛巳諸數亦相等而丙庚庚、丁若干分與戌辛辛巳若干分等則 丙庚與戌辛比若庚丁與辛巳比而一前數與一後數比若諸前數與諸後數比 本篇 十二 一則丙庚戌年與丙丁戊巳同比而丙庚戌辛小於丙丁戊己理所不能因丙 丁戊己為同比最小數故也是故丙丁非甲之幾分必為甲之一分而戊已為乙 之一分若丙丁為甲之一分故丙丁度甲等於戊巳度乙也 第二十二期此若干數與彼若干數交錯両兩同比例以平理推之比例亦同 解曰甲乙丙三數丁戊己三數交錯比例同甲與乙比。若戌與己比乙 與丙比若丁與戌比題言依平理甲與丙比若丁與己比 本篇 ○戊記論曰甲與乙比既若戌與巳比則甲巳乗得數與乙戌乘得數等 十九 甲乙丙乙與丙比歳若丁與戌比則丙丁乘得數與乙戌来得數等而甲己乘 得数与乙戌乗得数等帰是甲乙乗得数與丙丁乗得数等故甲興丙比若丁與 巳比 本篇 十九 第二十三題無等數之數為同比最小數 乙丁 解曰甲乙兩無等數題言甲乙為同比最小數 一 論曰。若甲乙非同比最小數。則甲乙之同比最小數必小於甲乙。設為 戌丙丁。夫同比之最小数可度各同比數前率度前率度前。後率度後率。俱等 本篇二 十一 篇二則丙度甲得若干若丁度乙得若干。而甲中有若干丙。若戌中有若干一。 故丁度乙等戊申若干一。又丙度甲。亦等戊中若干一則戊度甲等丙申若干一。 戌度乙等丁申若干一。是戊度甲乙両無等數之數。理所不能。故甲乙同比之數 無小於甲乙者是以甲乙為同比最小數 第二十四題同比最小数為無等數之數 解曰。甲乙為同比最小數。題言甲乙無等數。 乙一戊 論曰。如甲乙非無等數則有數可度。設為丙。丙度甲得若丁。若 干一丙度乙得若干。若戊申若干一。夫丙既以丁中若干一度甲。以戊 両丁中若干一度乙。則丙乗丁得甲。乗戌得乙丙乗丁戊雨數既得甲乙両 數則丁與戊比若甲與乙比 本篇 十七 况故丁戊與甲乙同比。而丁戊小於甲乙必無是 理是以可度甲乙之数無大於一者。而甲乙無等數 第二十五題大小兩數無等數。有他數可度一數。則他數與餘一數無等數 解曰甲乙兩數無等數丙可度甲。題言乙丙無等數 論曰。如乙丙非無等數。則有數可。設為丁。丁既度丙。而丙度甲。則丁 一亦度甲。惟丁亦度乙。是丁度甲乙兩無等數之數理所不能。 本篇界 説十二 日本 甲乙丙丁以無數可度乙丙而乙丙無等數 第二十六題大小兩數與他數俱興等數。則兩數相乘數與他數仍無等數 解曰。甲乙兩數與丙俱無等數甲乘乙生丁。題言丙丁無等數。 論曰。如丙丁非無等数則有数可度。設為戊丙甲既無等数而戊可度 本篇二 ・二一 惟戌度丁得若干。若已中有若干一。則己度 丙則戊甲無等数 十五 甲両丁戊己丁得若干。若戌中有若干一故代乗己生丁。甲乗乙亦生丁是戌乙乗 本篇 本篇 是戊與甲比 得數與甲乙乗得數等夫一四両率相乘與二三兩率相乘等本 十九 若乙與己比惟甲戌無等數即為同比最小數十 本篇二 一同比最小数可度諸同比 十三 数前卒度前率。後率度後卒等 本篇二 十一 是戌度乙。戌亦度丙。是戌度乙丙雨無等 一數之數理所不能是以無數可度丙丁而丙丁無等無等數 第二十七題大小両數無等数。則一数自乗所得。與餘一數仍無等數。 ひ。解曰。甲乙兩數無等數。甲自乘得丙。題言乙丙無等數 申丙丁論曰。設丁與甲相等。甲乙既無等數。而甲與丁等。則丁與乙無等數夫 一甲丁兩數與乙俱無等數則甲丁乘得數與乙仍無等數等數ナ 本篇二 十六 惟丙為甲丁乗 得数故丙乙等無數 第二十八期此両数彼両数両両俱無等数。則此両数相乗。彼両数相乗両得数 亦無等數 一一一 ・一 一 ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …… 解曰。甲乙兩數。與丙丁両數。皆無等數。甲乙相乗生。丙丁相乘生己。 題言戊己亦無等数 乙:T. て:丁: 一 ・一一 …… 勿論曰。甲乙與丙俱無等數。則甲乙乗得數。與丙仍無等數。 一本篇 廿六 …………………………………………………………………………………………………………… 惟甲乗 甲戌丙巳乙得戊故戌與丙無等數又戌與丁亦無等數理同。故丙丁 本篇二 惟己為丙丁乘得數。故戊己無等數 等數是以丙丁乗得數與戊無等數 十六 第二十九題両数無等数各自乗所得両数仍無等數各再乗所得両数。亦無等 一数三乗以上俱同。 解曰。甲乙両數無等數。甲自乗得丙。甲乗丙得戌。乙自乗得丁。乙乗丁 得己題言丙丁戊己俱無等数 論曰。甲乙既無等數而甲自乘得丙。則丙乙無等無等數。上 本篇二 十七 夫丙乙既 乙無等數而乙自來得丁。則丙丁無等數。又甲與乙既無等數而乙自乘 丁丙戌得丁。則甲丁無等數甲丙與乙丁既各無等數則甲乗丙乙乘丁所得 幾河原本七 本篇二 雨数無等数 惟甲乗丙得戌乙乗丁得己是以戊己無等數 十八 第三十題兩數無等數其和與兩本數各無等數又兩數和與兩本數各無等數 則両本数無等数 丙 解曰。甲乙乙丙二數無等數。相加得甲丙。題言甲丙與甲乙乙丙。俱無 甲 等数 1 一論曰如甲丙甲乙非無等數則有數可度設為丁。丁既度甲丙甲乙則 丁 可度餘數乙丙惟亦度甲乙是丁度甲乙乙丙雨無等數之數無是理也故無數 可度甲乙甲丙是以甲乙甲丙無等數則甲丙與甲乙乙丙俱無等數 又解曰甲丙甲乙無等數。題言甲乙乙丙亦無等數。 論曰。如甲乙乙丙非無等數。則有數可度。設為丁。丁既度甲乙乙丙。則亦度和數 申丙惟亦度甲乙是丁度甲丙甲乙両無等數之數無是理也是以無數可度甲 乙乙丙而甲乙乙丙無等數 第三十一題數根與不度之數無等數 解曰。甲為數根乙為不度之數。題言甲乙無等數 一論曰如甲乙非無等数則有数可度設為丙而丙非一 本篇界 説十一 丙既度 丙乙而甲不度乙則丙與甲不等若丙度乙甲是度數根甲面與甲不等 理所不能是以無數可度甲乙丙甲乙無等數 第三十二題兩數相東所得數有數根可度則此數根亦可度両本數之一 解曰甲乙兩數相乘得丙而數根丁度丙題言丁或度甲或度甲或度。乙 本篇 論曰如丁為數根而不度甲。則甲丁無等數 丁度丙得若干 三十 } 丁戌與戊中之若干一等丁度丙既得戊中之若干一則丁乗戊生 而甲乗乙亦生丙故丁戊乗得数與甲乙乗得數等是以丁與甲比若乙與戌比 本篇 十九 甲丁為無等数之数即同比最小數 本篇二 同比最小數可度諸同比數前 十三 一率度前率後率度後率等と 本篇三 是以丁度乙。如丁不度乙則度甲其理同也。 十一 丁武度甲或度乙 第三十三題可約數。必有數根可度。 解曰。甲為可約數題言必有必有數根度甲。 本篇界 設為乙若乙為数。則題 論曰。甲既為可約數。則必有數可度。 説十三 甲乙丙理自明如乙為可約數亦有數可度誤為丙丙既辰乙而乙度甲丙亦 度甲若両為数根則題理亦明若丙為可約数又有数可度如此逃推至未必有 數為數根可度前數亦可亦可度甲。如無數根可度甲。則有無窮之數可度甲。但後數一 本篇界 介故至未必有數為數根。可度前數亦可度甲。是以 一遞小於前數理所不能。 説二 幾何原本七 可約之數。必有数根可度。 本篇界 設乙為度甲最小之數。則乙為數根。 又論曰。甲既為可約數必有數可度 説十三 若云非數根而為可約之數。則有數可度。設為丙。小干乙。乙丙乙辰乙丙乙度。則 丙亦度甲。惟乙為度甲最小之數而丙小于乙。理所不能。是以乙非可約數而為 数根也 第三十四題凡數或為數根或為數根可度之數一 解曰甲為數題言甲或為數根或為數根可度之歎 論曰。如甲為數根。題理自明。如為可約之數。則有數根可度。 本篇三 是以凡數或 十三 為数根或為数根可度之数 第三十五題有若干數。求同比最小數 法曰甲乙丙若干數求同比最小數。甲乙丙或無等數或有等數若 四本篇二 無等数即為同比最小数 本篇二 若有等數則以丁為甲乙丙最大 十三 一等數丁度甲乙丙各數得若干。若戊己庚三數各有若干一本二 本篇 三 故 三 乙己子 寛戊己庚各数度甲乙丙各數所得者。各與丁中之若干一等。故戌 己庚各乘丁生甲乙丙則戊己庚為甲乙丙同比數 本篇 十八 亦為最小 午丁數若云戊己庚非甲乙丙同比最小數別有甲乙丙同比數小千戌 己庚。設為辛子丑年度甲。與子丑度乙丙各相等。」 本篇二 一辛度甲得若干。若寅中 十一 有若干一。子丑度乙丙得若干。各與寅中之若干一等。辛度甲既得寅中若干一 則寅度甲得草中若干一。推之寅度乙丙。得子丑中各若干一故寅兼度甲乙丙。 又享度甲。既得寅中若干一。則享東寅得甲。而戌東丁得甲。本是戌来丁。享来寅 三篇 思惟戌大于卒。故寅亦大干丁。而度甲乙 兩數相等故戊興辛比若寅興丁比 十九 丙。理所不能因丁為甲乙丙之最大等數故也。故甲乙丙同比數。無有小干戊己 庚者。是以戌己庚為甲乙丙之同比最小數。 第三十六題有両数求其所度最小數 法曰甲乙兩數求其所度最小數。甲乙或無等數等數。或有等數。設無 等數。則以丙為甲乙乗得數乙乘甲得丙則甲乙度丙丙丙丙丙丙丙丙丙丙丙丙丙丙丙丙丙丙 本篇 乙所度最小數 若云非最小別有數小於丙。而甲乙可度。設設。設 十六 甲丙丁戌為丁甲度丁得若干。與戊申之若干一等乙度丁得若干。與己中 之若干一等。故甲乗代生丁乙乗已亦生丁。而甲戌相乗。乙己相乗両得数等。則 本篇二 甲與乙比若己與戊比。 本篇 十九 十九日 一甲乙無等數亦為同比最小数。 惟同比最小 十二 本篇二 十二 一數度他同比數前率度前率後率度後率等此 故後率乙度後率戊甲乗乙 十一 戊戌既生丙丁。則乙與戊比若丙與丁比 本篇 十一 『惟乙度戊戌。故丙度丁。而以大度小。理 レナ八 十八 幾何原本七 所不能故無數小干丙。可為甲乙両無等數所度。而内為甲乙所度最小数 設甲乙有等數則以己戊為甲乙同比最小數未 本篇三 十五 令甲戊相 乗與乙己相乘二得數等。甲戌乗得數為丙則乙己乘得數亦為 乙戊 一丙所以甲乙度丙而丙為甲乙所度最小數若云非最小別有數 甲巳丙丁庚小子丙為甲乙所慶設為丁。則甲度丁得者干。與庚中之若干一 等乙度丁得若干。與辛中之若干一等故甲来庚生丁。乙乗阜亦生丁。是甲乗庚 乙乗辛。雨得數等。則甲與乙比。若辛與庚比。 本篇 十九 同十九十日 『惟甲興乙比。若己與戊戌故已 與戌比若辛興庚比而己戊為甲乙同比最小數最小數度他同比数前率度又可 本篇二 卒後率度後率相等 故戊度庚又甲度丙丁既得戌庚則戊庚則戌與比若丙 十一 本篇界 與丁比 本篇 本篇 然以大度小理所不能是以小干丙之 惟戊戌庚故丙度丁 十七 説二十 數甲乙不能度而丙為甲乙所度最小數 第三十七題両数度他数。則両数所度最小数亦度他数。 解曰。甲乙兩數度他數丙丁。甲乙所度最小數為戊。題言戊亦度丙丁。 乙己 論曰若云戌不慶丙丁。以戊累減丙丁。盡丁已餘丙巳。小於戊。夫甲乙 甲丙戌既度戌。丙戌庚丁巳則甲乙亦度丁巳而甲乙又度全數丙丁。是以亦 度餘數丙巳。而謂丙巳小于戊必無是理故戊戌度丙丁。 一第三十八題有三數。求其所度最小數。 ○本篇二 本篇三 十六 法曰。甲乙丙三數求其所度最小數。以丁為甲乙所度最小數。 而丙或度丁。或不度丁。設度丁。因甲乙亦度丁。故丁為甲乙丙所度之 十六 數亦為最小數。若云非最小。別有小干丁之數為甲乙丙所度設為戊 甲乙丙度戊戌即甲乙度戊甲乙所度最小數亦度戊戌 十七 本篇三 而甲乙所 度最小數為丁。丁度戊。是以大度。理所不能故甲乙丙所度之數無 小于丁者。而丁為甲乙丙所度最小數 本篇三 一設丙不度丁。則以戊為丙丁所度最小數 本篇三 十六 甲乙既度丁。而丁 度戊。則甲乙亦度戊。而丙本度戊戌戌為甲乙丙所度亦為最小数 若云非最小別有己小于戌為甲乙丙所度甲乙丙既度已即甲乙 本篇二 一而丁為甲乙所渡最小数則 十七両 一度己甲乙所度最小數亦度已上 十七 丁度己。惟丙亦度已。即丁丙度巳。丁丙所度最小數亦度已。而戌為丁丙戌為丁丙所最 小数。則戌度已乃以大度小無是理也。是以甲乙丙所度之数無小于戌者而戊 為甲乙丙所度最小数 第三十九題本數度他數。則他數之一分。以本數為母 解曰。乙度甲。題言甲之一分以乙為母 幾何原本七 論曰。設一為丁。丙中有若干丁。若甲中有若干乙。乃乙度甲。得両中 之若干一丁度丙。亦得丙中之若干一。則丁度丙卯。與乙度甲相等屬 本篇 問故丙為甲之一分。若丁為乙之一分。 十五 甲乙丙丁理丁度乙與丙度甲相等 惟丁為乙之一分。命乙為母故丙為甲之一分。命乙為母是以甲申有若干丙分 其母為乙 甲乙 第四十題數有若干分。其分之母數。可度本數。 解曰。甲有若干乙其母為丙。題言丙可度略。 論曰。乙既為甲之一分。其母為丙。丁一為丙之一分。其母亦為丙則 知丁乙為甲之一分。若丁為丙之一分是以丁度丙。若乙度甲。屬理丁度 本篇 乙若丙度甲 故丙度え 十五 第四十一題任設諸分求有此諸分之最小數 ………………………………………………………………………………………………………… 十戊巳 三十三十四丁 甲乙丙庚辛 法曰。任設甲乙丙諸分。求有甲乙丙諸分之最小歎以丁戊一 一諸数。為甲乙丙之諸母。以庚為丁戊巳所度最小 十九 戊己既度庚。則庚之諸分。以丁戊己為諸冊 請分以丁戊己諸数為母故庚有甲乙丙之諸分亦為最小数若云非最小更右 小于虞之。年有此甲乙丙諸分。夫卒既有甲乙丙諸分。則甲乙丙之諸母可度事 本篇三 本篇三 十八 十八 惟甲乙丙 一 丁 本篇 四十一 四十 爾惟此諸分之母為丁戊已是丁戌已可度卒。而卒小於庚。理所不能。則必無小 于庚之數而有甲乙丙諸分者。 一同同同同同同 江斎李錫恩校
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