幾何原本第2-3巻之首・第2-3巻

幾何原本二二 19819972219681991992200 九州帝國大學理 6619 物理學教室 66640 大學學學校教育學部九州帝國大學理學大學工科大學大學校金同断 272年/0月2日數學物理學教室これはその月二日国キヨト幾一細井泰西利瑪寶口譯呉淞徐光版筆受 5 及5一及5== 遊逆。川蔵 *** 和一〇一一部3州学111 学2=九理2 第一男凡直角形之兩邊函一直角者爲直角形之矩線如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此兩邊卽知戊巳直角形大小之度今別作戌線已線與甲乙乙丙各等亦卽知甲乙丙丁直角形大小之度則戊偕巳雨線為直角形之矩線 1.1..2 第21. 158416 六細井幾何原本第二巻之首一泰西利瑪寶口譯同同同同同同同同同所同界説二則第一界凡直角形之兩邊函一直角者爲直角形之矩線如甲乙偕乙丙函甲乙丙直角得此兩邊卽知直角形大小之度今別作戌線己線與甲乙乙丙各等亦卽知甲乙丙丁直角形大小之度則戊偕己雨線爲直角形之矩線 6619 物理學教室 6619 理學部州帝國大學理學』 6619 九州帝國大學理學大學大科工學校 □□□□□□□□ 10月ニク日 2年/0月ニ學物理學教室學物理學教室全此例與算法通如上圖一邊得三一邊得四相乘得十二則三偕四兩邊爲十二之矩數凡直角諸形之内四角皆直故不必更言四邊及平行線、止名為直角形。省文也。凡直角諸形不必全舉四角止舉對角二字卽指全形如甲乙丙丁直角形止舉甲丙或乙丁亦省文也第二界諸方形有對角線者其兩餘方形任偕一角線方形爲聲折形甲乙丙丁方形任直斜角作甲丙對角線從庚點作戊辛甲ド丁甲一己関丑戊癸亥戊己辛壬兩線與方形邊平行面分本形爲四壬方形其辛己庚乙両形為餘方形辛戊己壬内乙二卷界兩形爲角線方形雨餘方形任借一説三六壬角線方形為馨折形如辛己庚乙兩餘方形一角線大形爲聲折形如辛己庚乙兩傍方形偕己壬角線方形同在癸子丑園界内者是葵子丑馨折形也用辛戌角線方形、倣此・幾河原本第二巻本篇論線計十四題幾何原本第二卷十泰西利瑪売口譯呉淞徐光敗筆受同同呉淞徐光版筆受第一題兩直線任以一線任分爲若干分其兩元線矩内直角形一與不分線偕諸分線矩内諸直角形并等解曰甲與乙丙兩線如以乙丙三分之爲乙丁丁戊戊丙題言甲偕乙丙矩線内直角形與甲偕乙丁甲借丁戊甲偕戊丙三矩線内直角形并等・論曰試作乙己直角形在乙丙偕等甲之己丙矩線内作法、于乙界作庚乙、丙界作己丙、兩垂線、俱」次於丁戊與甲等爲平行次作庚己直線與乙丙平行一一卷兩點作辛丁壬戊雨垂線與庚乙己丙平行兩點作辛丁壬戊雨垂線與庚乙己丙平行卅其辛丁與庚乙壬戌與己丙既平行則辛丁與壬戌亦平行。一巻而辛丁壬戌與己丙等卽亦與甲等如此則乙辛卅四直角形在甲偕乙丁矩線内丁壬直角形在甲偕丁戊矩線内戊己直角形在甲借戌丙矩線内并之則三矩一内直角形與甲偕乙丙兩元線矩内直角形等能者謂其上能爲注曰、二卷前十題皆言線之能也。直角形也、如十尺線。其上能爲百其説與算數最近故九卷之十四題同尺方形之類、俱以數明此十題之理今未及詳因題意難顯畧用數明之如本題、設兩數、當兩線。爲六、爲十.以十任三分之為五為三為二六乘十為六十之一大實與六乘五爲三十及六乘三爲十八六乘二爲十二之三小實并等第二題一直線任兩分之其元線上直角方形與元線偕兩分線兩矩内直角形并等、解曰甲乙線任兩分於丙題言甲乙上直角方形與甲乙偕甲丙甲乙偕丙乙丙卯矩線内直角形井等。・論曰試於甲乙線上作甲丁直角方形從丙一點作己丙垂線與甲戌乙丁平行一卷其甲形一卷、則甲己直角形在甲乙戊與甲乙既等。卅四甲丙矩線内乙丁與甲乙既等則丙丁直角形在甲乙一丙乙矩線内而此兩形并與甲丁直角方形等丙十文論曰試別作丁線與甲乙等其甲乙線既任自身の上分於丙則甲乙偕丁矩線内直角形首用分於丙則甲乙偕丁矩線内直角形直角方形甲丁丁與甲丙借丁丙乙偕丁兩矩線内直角形并等本篇 11 注曰以數明之設十數任兩分之爲七爲三十乘七爲七十、及十乘三爲三十.之兩小實與十自之百一大羃等第三題一直線任兩分之其元線任偕一分線矩内直角形與分一餘線借一分線矩内直角形及一分線上直角方形并等丙解曰甲乙線任兩分於丙題言元線甲乙任不論甲丙爲工-丙偕一分線如甲丙矩内直角形不論甲丙爲楷一分線如甲丙矩内直角形丁一両長分爲短分與分餘丙乙偕甲丙矩線内直角形及甲丙上直角方形并等、論曰試作甲丁直角方形從乙界作乙己垂線與甲戌二卷平行可行卅一而於戊丁引長之遇於己其甲戌與甲丙等則甲己直角形在元線甲乙偕一分線甲丙矩内丙丁與甲丙等則丙己直角形在一分線甲丙偕分餘線丙乙矩内而甲己直角形與甲丙丙乙矩線内丙己直角一形及甲丙上甲丁直角方形并等乙十丙十一甲丁丁又論曰試別作丁線與一分線甲丙等其甲乙即線既任分於丙則甲乙偕丁矩線内直角形鴨甲件・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・乙偕甲丙矩丁借甲丙與丁偕丙乙階両乙、「線内直角形、偕丙乙、自甲丙上直午年本篇兩矩線内直角形并等本外五本篇角方形注曰以數明之設十數任兩分之爲七爲三如前圖則十乘七爲七十・與七乘三之實二十一・及七自之羃四十九并等、如後圖、十乘三爲三十.與七乘三之實二十一・及三之羃九并等。第四題一直線任兩分之其元線上直角方形與各分上兩直角方形及兩分互偕矩線内兩直角形并等解曰甲乙線任兩分於丙題言甲乙線上直角方形與甲丙丙乙線上兩直角方形及甲丙借丙乙丙乙偕甲丙矩線内兩直角形并等戊戌己庚辛論曰試於甲乙線上作甲丁直角方形次作丙乙戊對角線次從丙作丙己線與乙丁平行遇對角線於庚末從庚作辛壬線與甲乙平行而分本形爲四直角形卽甲乙戌角形之甲乙甲戊巻一巻夫甲乙戌兩邊等而甲乙戌與甲戌乙兩角亦等五二卷而甲爲直角卽甲乙戊形之三角并與兩直角等一冊二而甲爲直角卽甲乙戌卅二巻卅一巻卅甲戌乙皆半直角依顯丁乙戌角形之丁乙戌之二系丁戊乙兩角亦皆半直角則戊己庚外角與内角丁等一卷而己戊庚既半直角則己庚戌等為半直為直角廿九巻角矣角既等則己庚己戌雨邊亦等」庚辛辛戌亦六等卅四巻而辛己爲直角方形也依顯丙壬亦直角方形一卷也又庚辛與甲丙兩對邊等而乙丙與庚丙俱爲卅四直角方形邊亦等則辛己爲甲丙線上直角方形丙壬為丙乙線上直角方形也又甲庚及庚丁雨直角形各在甲丙丙乙矩線内也則甲丁直角方形與甲丙丙乙兩線上兩直角方形及兩線矩内兩直角形并等矣系從此推知凡直角方形之角線形皆直角方形乙十丙十甲上又論曰甲乙線既任分於丙則元線甲乙上直角方形與元線偕各分線矩内兩直角形并等本篇加船又甲乙偕甲丙矩線内直角形與甲丙偕丙乙矩線内直角形及甲丙上直角方形并等「一二宗本篇一甲乙偕丙乙矩線内直角形與丙乙偕甲丙矩線内直角本篇『則甲乙上直角方形！形及丙乙上直角方形并等一一一二一與甲丙丙乙上兩直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙矩線内兩直角形并等注曰以數明之設十數任兩分之爲七爲三十之羃百。與七之羃四十九三之羃九及三七互乘之實兩二十一并等、第五題一直線兩平分之。又任兩分之。其任兩分線矩内直角形及分内線上直角方形并與平分半線上直角方形等戊庚丑辛寅寅1 卵残解曰甲乙線兩平分於丙又任兩分於丁其丁丙丙丁線者丙乙所以大於丁丙丁為分内線第乙之較又甲丁所以大於甲丙之較故夏一 ●甲丁丁乙矩線内直角形及日分内線是分内線丙丁上直角方形并與丙乙線上直一条--用角方形等論曰試於丙乙線上作丙已直角方形次作乙戊對角線從丁作丁庚線與乙己平行遇對角線於辛次從辛作壬癸線與丙乙平行次從甲作甲子線與丙戊平行末從壬癸線引長之遇於子夫丁壬癸庚皆直角方形一卷本篇四癸辛與丙丁兩線卅四「而辛丁與丁乙兩線等之系等則甲辛直角形在任分之甲丁丁乙矩線内而癸庚為分内線丙丁上直角方形也今欲顯甲辛直角形及癸庚直角方形并與丙己直角方形等者於丙辛辛巳癸卯二乙卯卯并典区己直角大形等者加丙辛辛巳一巻每加一丁壬直角方形卽丙壬相等之兩餘方形四三、及丁己兩直角形等矣而甲癸與丙壬兩形同在平行一巻、則甲癸與丁己亦等也。卯線内又底等、卽形亦等、卅六又毎加一丙辛直角形則丑寅卯磬折形豈不與甲辛等次於馨折形又加一癸庚直角方形豈不與丙己直角方形等也而甲辛癸庚雨形并亦與丙己等也則甲丁丁乙矩線内直角形及丙丁上直角方形并與丙乙上直角方形等注曰以數明之設十數兩平分之各五又任分之爲三者五所以大於二之較一八爲二則三爲分内數一又八所以大於五之較、八之實十六三之羃九與五之羃二十五等第六題一直線兩平分之。又任引増一直線其爲一全線其全線偕引增線矩内直角形及半元線上直角方形并與半元線偕引增線上直角方形等解曰甲乙線兩平分於丙又從乙引長之増乙丁與甲一庚壬丑辛寅卯癸乙通爲一全線題言甲丁偕乙丁矩線内直角形及半元線丙乙上直角方形并與丙丁丙上直角方形等論曰試於丙丁上作丙戌直角方形次作丁己對角線從乙作乙庚線與丁戊平行遇對角線於辛次從辛作壬癸線與丙丁平行次從甲作甲子線與丙己平行末從壬癸線引長之遇於子夫乙壬一卷癸庚皆直角方形、之系本篇四而乙丁與丁壬兩線等卅四癸辛與丙乙兩線等則甲壬直角形在甲丁偕乙丁矩線内而癸庚爲丙乙上直角方形也今欲顯甲壬直角形及癸庚直角方形并與丙戌直角方形等者試觀甲癸與丙辛兩直角形同在平行線内又底等即形亦等一巻十五、片艾第一巻川平花垣、四廿一冊二而丙辛與等戊等卅六四三毎加一丙壬直角形則丑寅卯馨折形與甲壬等夫聲折形加一癸庚形本與丙戌直角方形等也卽甲壬癸庚雨形并亦與丙戌等也則甲丁乙丁矩線内直角形及丙乙上直角方形并豈不與丙丁上直角方形等注目以數明之設十數兩平分之各五文引増二其十二二乘之爲二十四及五之羃二十五與七之羃四十九等第七題一直線任兩分之其元線上及任用一分線上兩直角方形并與元線偕一分線矩内直角形二反分餘線上直角方形并等己丁辛解曰甲乙線任分於丙題言元線甲乙上及一任用一分線如甲丙上兩直角方形并町不論甲丙爲長分與甲乙偕甲丙矩内直角形二及分爲短分. 餘線丙乙上直角方形并等己庚丑癸亥辛丙論曰試於甲乙上作甲丁直角方形次作乙戌封角線巡丙作丙己線與乙丁平行遇対戊對角線從丙作丙己線與乙丁平行遇對角線於庚末從庚作辛壬線與甲乙平行夫辛己丙壬本篇四二巻皆直角方形四而辛庚與甲丙等即辛己爲之系卅四甲丙上直角方形也又甲戌與甲乙等。卽甲己角形在甲乙偕甲丙矩線内也又戌丁丁壬與甲乙甲丙各等卽辛丁直角形亦在甲乙偕甲丙矩線内也夫甲己・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・己壬兩直角形磬折形及丙壬直角方形并本與甲丁直角方形等今於甲己辛丁兩直角形并加一丙壬直角方形卽與甲丁直角方形加一辛己直角方形等矣則甲乙甲丙矩線内直角形二反丙乙上直角方形并與甲乙上直角方形及甲丙上直角方形并等也注曰以數明之設十數任分之爲六爲四加前圖十之羃百及六之羃三十六并與十六互乘之兩實百二十、及四之羃十六等如後圖、十之羃百。及四之羃。等十六并與十四互乘之兩實八十及六之羃三十六第八題一直線任兩分之其元線借初分線矩内直角形四反分餘線上直角方形并與元線偕初分線上直角方形等一解曰。甲乙線。任分於。内題。解曰甲乙線任分於丙題言元線甲乙借初分線丙乙不論丙乙為一同同二十四丁及分餘線甲丙上直角方長分爲短分。庚丁形并與甲乙偕丙乙上直角方形等、を論曰試以甲乙線引増至丁而乙丁與丙乙一等於全線上作甲戌直角方形次作丁己對二十戊「角線從乙作乙庚線與丁戊平行遇對角線於辛次從丙作丙壬線與甲己平行遇對角兩線於癸次從辛作子丑線與甲丁平行遇丙壬於寅末從癸作卯辰線。與戊己平行遇乙二巻卅一庚於己其卯壬寅己乙丑俱角線方形。而卯癸四之系二卷與甲丙兩線等。即死亡為甲丙上直角方形又寅卅四一篇一辛與丙乙兩線等辨即寅己爲丙乙上直角方形與卅四辛丙乙與乙乙丑竿一丁等故又乙辛辛辛己兩線亦各與丙乙等而甲辛子己兩直角形各在甲乙丙乙矩線内卽等躬子辛與甲乙等故丑寅庚辛戊雨直角形亦各在甲乙丙乙矩線内即六、寅辛、辛丑。與丙乙乙丁等辛庚。又笙入等一丑戊戌等甲乙之子辛等故、寅己既與乙丑等而每加一癸庚即乙丑癸庚拜與寅庚又等是甲辛一子己二辛戌三乙丑四癸庚五五直角形并爲午未申馨折形與元線甲乙偕初分線丙乙矩内直角形四等而午未申馨折形及卯壬直角方形本與甲戌直角方形等則甲乙乙丙矩線内直角形四及甲丙上直角方形并與甲乙借丙乙上直角方形等注曰以數明之設十數任分之爲六爲四如前圖十六互乘之實四爲二百四十及四之羃十六其二百五十六與十六之羃等如後圖十四互乘之實四爲一百六十及六之羃三十六其一百九十六與十四之羃等第九題一直線兩平分之又任兩分之任分線上兩直角方形并倍大於平分半線上及分内線上兩直角方形并一解曰甲乙線平分於丙又任分於丁題言甲丁丁乙上兩直角方形并倍大於平分半線甲丙上分内線丙丁上雨直角方形并論曰試於丙上作丙戌垂線與甲丙等次作甲戌戊乙兩腰次從丁作丁己垂線週戊乙於己從己作己庚線與甲乙平行遇戌丙於庚未作用己線其甲丙戌角形之甲丙丙戌雨腰等即丙戊甲丙二巻而甲丙戊爲直角即餘兩角皆半甲戌ノ雨角亦等一五二巻卅二巻卅一直角・依顯丙戊乙亦半直角又戊庚己角形之二之系、二巻而庚戊己戊庚巳角爲戊丙乙之外角卽亦直角廿九一卷卅一巻卅半直角即庚巳戌亦半直角一二之系又庚戊己庚己戊二巻依顯丁乙己角形兩角等即庚戌庚己兩腰亦等一卷依顯丁乙己角形之丁乙丁己兩腰亦等夫甲丙戌角形之丙爲直角即甲戌線上直角方形與甲丙丙戌線上兩直角方形并一等一等等巻四七而甲丙丙戌上兩直角方形自相等即甲戌上直角方形倍大於甲丙上直角方形矣又戌庚己角形之庚為直角即戊己線上直角方形與庚戌庚己線上第一巻、両直角方形并等兩直角方形并等四七五而庚戌庚已上兩直角方形自兩直角方形并等一塊而庚戌庚已上兩直角方形自相等卽戊己上直角方形倍大於等庚巳之丙丁上直庚己丙丁為丙巳直角形角方形矣之對邉故、見一卷卅四. 則是甲戊戊已上両直角方形并倍大於甲丙丙丁上兩直角方形并也又甲己上直角方形既等於甲戌戊已上兩直角方形則甲丁丁并又等於甲丁丁己上兩直角方形并町七丁己上兩直角方形并亦倍大於甲丙丙丁上兩直角方形并矣而丁己與丁乙等則甲丁丁乙上兩直角方形并豈不倍大於甲丙丙丁上兩直角方形并也注曰以數明之設十數兩平分之各五又任分之爲七爲三分内數二其七之羃四十九及三之羃九倍大於五之羃二十五及二之羃四第十題一直線兩平分之又任引増一線其爲一全線其全線上一及引增線上兩直角方形并倍大於平分半線上及分餘半線借引增線上兩直角方形并異解曰甲乙直線平分於丙又任引増爲乙丁一題言甲丁線上及乙丁線上兩直角方形并戊戌倍大於甲丙線上及丙丁線上兩直角方形年并論曰試於、丙上作丙戌垂線與甲丙等、自戊至用至乙、各作腰線。次從丁作己丁垂線引長之又從戊乙引長之遇於庚次作戊己線與丙丁平行末作用庚線依前題論推顯甲戌乙爲直角面丙戌乙爲半直二卷一一一相對之戊庚己亦半直角又己爲直角廿九一卷卅四巻一卷即己戊庚亦半直角而己戊己庚雨腰必等卅二六依顯乙丁丁庚雨腰亦等夫甲戌上直角方形等於甲巻一丙丙戌上雨直角方形并、丙丙戌上雨直角方形并配七倍大於甲丙上直角方形而戊庚上直角方形等於戊己己庚上兩直角方形并．一卷一巻四七必倍大於對戊己邊之丙丁上直角方形巻卅一叶則甲戊戌庚上兩直角方形并倍大於甲丙丙丁上兩直角方形并也又甲庚上直角方形等於甲戊戌庚上兩直角方形并亦等於甲丁丁庚上兩直角方形并則甲丁丁庚上兩直角方形并亦倍大於甲丙丙丁上兩直角方形并也而甲丁乙丁上兩直角方形并倍大丁庚與乙一於甲丙丙丁上雨直角方形并矣丁等故注曰.以數明之。設十數。平分之。各五。又任增三爲十三、十三之羃一百六十九及三之羃九倍大於五之羃二十五及八之羃六十四也第十一題一直線求兩分之而元線偕初分線矩内直角形與分餘線上直角方形等法曰甲乙線求雨分之而元線借初分小線矩内直角形與分餘大線上直角方形等.先於甲乙上作甲丙直角方形次以甲丁線兩平分於戊次作戊乙線次從戌甲引增至己而戊己線與戊乙等末於甲乙線截取甲庚與甲己等卽甲乙偕庚乙矩線内直角形與甲庚上直角方形等如所求論曰試於庚上作壬辛線與丁己平行次作己辛線與甲庚平行其壬庚與丙乙等卽與甲乙等而庚丙直角形在甲乙偕庚乙矩線内也又甲庚與甲己等而甲爲一卷今欲顕庚丙直角卽己庚爲甲庚上直角方形也卅四直角形與己庚直角方形等者試觀甲丁兩平分於戊即丁辛而引增一甲己是丁己偕甲己矩線内直角形直角形及甲戌上直角方形并與等戊己之戌乙上直角方形等本篇夫戌乙上直角方形等於甲戌甲乙上兩直角方形并・丁目丁辛直角形及甲戌上直角方形并與甲戌甲乙上兩直角方形并等矣次各減同用之甲戌上直角方形即所存丁辛直角形不與甲乙上甲丙直角方形等乎此二率者又各減同用之甲壬直角形則所存己庚直角方形與庚丙直角形等而甲乙偕庚乙矩線内直角形與甲庚上直角方形等也。注曰、此題無數可解、説見九卷十四題、第十二題三邊鈍角形之對鈍角邊上直角方形大於餘邊上兩直角方形并之較爲鈍角旁任用一邊偕其引增線之與對角所下垂線相遇者矩内直角形二甲イ解曰甲乙丙三邊鈍角形甲乙丙爲鈍角從餘角如用下一垂線與鈍角旁一邊如丙乙丙之引增線遇於丁爲直角題言對鈍角之甲丙邊上直角方形大於甲乙乙丙邊上兩直角方形并之較爲丙乙偕乙丁矩線内直角形二反説之則甲乙乙丙上兩直角方形及等丙乙借乙丁矩線内直角形二并與甲丙上直角方形論曰丙丁線既任分於乙即丙丁上直角方形與丙乙乙丁上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并等町一年篇此二率者每加一甲丁上直角方形即丙丁四甲丁上兩直角方形并與丙乙乙丁甲丁上直角方形一三及丙乙階乙丁矩線内直角形二井等也夫甲丙上直角方形等於丙丁甲丁上兩直角方形并等於丙乙乙丁甲丁上直角方形三及丙乙偕乙丁矩線内直角形二并也又甲乙線上直角方形既等於乙一卷卽甲丙上直角方形與四七甲乙丙乙上兩直角方形及丙乙偕乙丁矩線内直角一形二并等矣、第十三題三邊鋭角形之對鋭角邊上直角方形小於餘邊上兩直角方形并之較爲鋭角旁任用一邊偕其對角所下垂線旁之近鋭角分線矩内直角形二解曰甲乙丙三邊鋭角形從一角如甲向對邊乙丙下一垂線分乙丙於丁題言對甲丙乙鋭角之甲乙邊上直角方形小於乙丙甲丙邊上兩直角方形并之較爲乙丙偕丁丙矩線内直角形二反説之則乙丙甲丙上兩直角方形并與甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩線内直角形二并等。論曰乙丙線既任分於丁。卽乙丙丁丙上兩直角方形并與乙丙借丁丙矩線内直角形二及乙丁上直角方形并等体篇此二率者三及乙丁上直角方形并等本篇此二率者毎加一甲丁上直角方形即乙丙丁丙甲丁上直角方形三與乙丙偕丁丙矩線内直角形二及乙丁甲丁上兩直角方形并等也又甲丙上直一卷角方形等於丁丙甲丁上兩直角方形并即乙丙四七、甲丙上兩直角方形并與乙丙偕丁丙矩線内直角形二、及乙丁甲丁上兩直角方形并等也又甲乙上直角卷方形等於乙丁甲丁上兩直角方形并町地即乙丙甲丙上兩直角方形并與乙丙偕丁丙矩線内直角形二及甲乙上直角方形并等反説之則甲乙上直角方形小於乙丙甲丙上兩直角方形并者爲乙丙階丁丙矩線内直角形二也、注曰題中止論鋭角形不言直角鈍角形而直角鈍一卷十角形中俱有兩鋭角七卅二即對銃角邊上形亦同此論如第二第「但三鋭角形所作垂線任用一角面三圖是直角形必用直角鈍角形必用鈍角此爲異、耳直角鈍角形不用直角鈍角不能作垂線一第十四題有直線形求作直角方形與之等、 ○法曰甲直線無法四邊形求作直角方形與之等先作乙丁形與甲等而直角巻四五次任用一邊引長之如丁丙引之 ○至己而丙己與乙丙等次以丁己兩平戊戌乙分於庚。其庚點或在丙點或在丙點之葢丙己與乙外若在丙即乙丁是直角方形與甲等矣丙等又與丙丁等而餘邊俱相等故乙丁同若庚在丙外卽以庚爲心爲直角方形見一巻卅四丁己爲界作丁辛己半圓末從乙丙線引長之遇園界於辛即丙辛上直角方形與甲等論曰試自庚至辛作直線、其丁己線既兩平分於、庚、又卽乙丁直角任兩分於丙則丁丙偕丙己矩内直角形形葢丙己與乙丙等故 □及庚丙上直角方形并與等庚己之庚辛上直角本篇福夫庚辛上直角方形等於庚丙丙辛上兩二五直角方形并町境卽乙丁直角形及庚丙上直角方形并與庚丙丙辛上雨直角方形并等次各減同用之庚丙上直角方形則丙辛上直角方形與乙丁直角形等增題凡先得直角方形之對角線所長於本形邊之較而求本形邊、法曰直角方形之對角線所長於本形邊之一較爲甲乙而求本形邊先於甲乙上作甲丙直角方形作乙丁對角線又引長之爲丁戊線而丁戊與甲丁等。卽得乙戊線。如所求・論曰試於乙戌作戊己垂線從乙甲線引長之遇於己一巻卅一一一印戊己乙其乙戊己既直角而戊乙己爲半直角一卷即戊己乙乙乙卅一亦半直角而戊乙與戊己兩邊等」亦半直角而戊乙與戊己兩邊等一卷次作己庚與戊乙平行作乙庚與戊己平行即戌庚形爲戊乙邊上直角方形也末作戊甲線即丁戊甲丁甲戌兩角等也。五夫乙戊己丁甲己既兩皆直角試每減一相等之丁戊甲丁甲戌角即所存己戊甲巳甲戌兩角必等而已巻則乙己對角線大於乙戊邊之戊巳甲雨邊必等六較爲甲乙矣此増不在本書因其方形故類附於此幾何原本第三巻之首界説十則泰西利瑪寶口譯同同同番訳筆受第一界凡圜之徑線等或從心至圜界線等爲等爲等圖三卷將論圜之情故先爲図界説此解図之等者如上圖甲乙乙丙兩徑等或丁己戊庚從心至圜界等即甲己乙乙庚丙兩圖等若下圖甲乙乙丙兩徑不等或丁己戊庚從心至圖界不等。則兩圖亦不等矣。第二界凡直線、切圜界過之而不與界交、爲切線、丙甲乙線切乙己丁園之界乙又引長之至丙。而不與界交。其甲丙線全在園外爲切線若戊己線先切圜界而引之至庚入圖内、則交線也、第三界凡兩圓相切而不相交爲切圖甲乙兩圍不相交而相切於丙或切於外如第一圖或乙切於内如第三圖其第二第四圖。則交圖也。第四界凡圜内直線從心下垂線其垂線大小之度即直線距心遠近之度甲凡一點至一直線上惟垂線至近其他卽遠三戊子内垂線一而已遠者無數也故欲知點與線相第一行一而已遠者無慙無數也故欲欲點與線相去遠近必用垂線爲度試如前圖甲點與乙丙線相去遠近必以甲丁垂線爲度爲甲丁一線獨去直線至近他若甲戊甲己諸線愈大愈遠乃至無數故如後圖設甲乙丙丁園内之甲乙丙丁兩線其去戌心遠近等為己戊庚戌雨垂線等故若辛壬線去戌心近矣爲戊癸垂線小故第五界凡直線割図之形爲図分、甲乙丙丁園之乙丁直線任割圜之一分如・戊・甲乙丁及乙丙丁兩形皆爲圜分凡分有三形其過心者爲半圍分函心者爲園大分不函心者爲圖小分又割圖之直線爲舷所割圜界之一分為弧第六界凡圜界偕直線内角.爲園分角. 以下三界論図角三種。本界所言雑角乙也其在半図分内為半図角在大分内爲大分角在小分内爲小分角第七界凡圜界任於一點出兩直線作一角爲負圜分角一甲乙丙園分甲丙爲底於圜周乙點出雨直線作甲乙丙角形其甲乙丙角爲負甲乙丙園分角. 第八界若兩直線之角乘圜之一分爲乘圍分角。甲乙丙丁圓内於甲點出甲乙甲丁兩線其乙甲丁角爲乘乙丙丁園分角図角一三種之外又有一種爲切邊角或直線切圍或兩園相切其兩園相切者又或内或外如上圖甲乙線切丙丁戊園於丙即甲丙丁乙丙戌雨角爲切邊角又丙丁戊己戌庚雨園外相切於戊及己戌庚己辛壬兩図内相切於己即丙戊己戊己辛、壬己庚三角俱爲切邊角第九界凡從圍心以兩直線作角偕圍界作三角形爲分圜形一甲乙丙園從戌心出戊甲戌丙雨線偕甲丁丙園界作角形為分図形第十界凡圜内兩負圜分角相等。即所負之図分相似。甲乙丙丁園内有甲乙己與丁丙戌雨負園分角等則所負甲乙丁己與丁丙甲戌兩園分相似欧戊子葉又有兩園或等或不等其並負圜分角等即圖分倶相似如上三圖三圖之甲乙丙丁戊己庚辛壬三負圜分角等卽所負甲乙丙丁戊相似者如云同為一己庚辛壬、三図分相似幾分圜之幾也。幾何原本第三弐本篇論図計三十七題幾何原本第三巻。泰西利瑪売口譯同同同同同一同一九、一第一題有図求尋其心【法目甲乙丙丁図求尋其心先於図之兩界法目甲乙丙丁園求尋其心先於園之兩界任作一甲丙直線次兩平分之於戊一卷次於戌上作乙丁垂線兩平分之於己卽己爲図心論曰如云不然令言心何在彼不得言在已之上下何一者乙丁線既平分於己離平分不能爲心故必言心在乙丁線外爲庚卽令自庚至丙至戊至甲各作直線則甲庚戌角形之甲戌既與丙庚戌角形之丙戌雨邊等戊庚同邊而庚甲庚丙兩線俱從心至界宜亦等即對一卷而爲兩直角等邊之庚戌甲庚戌丙雨角宜亦等一八等過之庚戌甲庚戌丙雨角宜亦等に兎而爲雨直角二巻界二巻矣も矣矣説十説十那夫乙戊甲既直角而庚戌甲又爲直角可不可也系因此推顕図内有直線分他線為兩平分而作直角即國心在其内第二題園界任取二點以直線相聯則直線全在圜内一解曰甲乙丙圖界上任取甲丙二點作直線相聯題言甲丙線全在園内論曰如云在外若甲丁丙線令尋取甲乙丙本篇図之戊心卅次作戌甲戌丙雨直線次於甲丁丙線上作戊乙丁線而與圜界遇於乙即戊甲丁丙當爲三角形以甲丁丙爲底戊甲戌丙兩腰等其戌甲丙戊丙巻甲兩角宜等而戌丁甲為戊丙丁之外角宜大於五一卷一戊丙丁角卽亦宜大於戊甲丁角則對戊丁甲大十六 □□□□□□□□□ 一巻巻角之戊甲線宜大於戊丁線矣夫戊甲與戊乙本十九同図之半径等據如所論則戊乙亦大於戊丁不可通也若云不在図外面在圜界依前論令戊甲大於戊乙亦不可通也、第三題直線過圖心分他直線爲兩平分其外處必爲兩直角爲兩直角必兩平分解曰乙丙丁園有丙戊線過甲心分乙丁線丙丁戌爲兩平分於己題言甲己必是垂線而己有爲兩直角又言己有既爲兩直角則甲己分乙丁必雨平分先論曰試從甲作甲乙甲丁兩線即甲乙己角形之乙一己與甲丁己角形之丁己兩邊等甲己同邊甲乙甲丁兩線俱從心至界又等即兩形等則其對等邊之甲己乙甲乙丁・亦等・巻八而爲兩直角矣、後論曰如前作甲乙甲丁兩線甲乙丁角形之甲乙甲丁兩邊既等則甲乙丁甲丁乙兩角亦等一卷又甲乙己角形之甲己乙甲乙己兩角與甲丁己角形之甲己一丁甲丁己兩角各等面對直角之甲乙甲丁兩邊又等二巻則己乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙廿六欲顯次論之旨又有一說『廿六匁如甲丁上直角方形與甲己己丁上兩直角方形并等一巻而甲乙上直角方形與甲己乙己上兩直角方形四七并亦等即甲己己乙上兩直角方形并與甲己己丁上兩直角方形并亦等此二率者毎減一甲己上直角方一形則所存乙己己丁上兩直角方形自相等而兩邊亦等第四題圜内不過心兩直線相交不得俱爲兩平分解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁兩直線俱不過己心若一過心、一不過心、即兩線而交於戊題言兩直線或不得俱爲兩平分其理易顯有一線爲兩平分不得俱爲兩平分論曰若云不然而甲乙丙丁能俱兩平分於本篇{ 戊戌試令尋本園心於己本篇編從己至戊作甲乙之垂線其己戊既分甲乙爲兩平分卽爲本篇両直角而又能分丙丁爲兩平分亦宜爲兩直角二一是己戊甲為直角而己戊丙亦直角全與其分等矣、第五題兩圖相交必不同心解曰甲乙丁戊乙丁兩園交於乙於乙於丁題言兩圖不同心論曰、若言丙爲同心令自丙至乙至甲各作直線其丙乙至圖交。而丙甲截兩圖之界於戊於甲、夫丙既爲戊乙丁圍之心則丙乙與丙戌等而又爲甲乙丁図之心則丙乙與丙甲又等是丙戌與丙甲亦等而全與其分等也、第六題兩圜内相切必不同心解目甲乙丙乙兩園内相切於乙題言兩圖不同心論曰若言丁爲同心令自丁至乙至丙各作直線其丁乙至切界而丁丙截兩圍之界於甲於丙夫一丁既爲甲乙園之心。則丁乙與丁甲等而又爲丙乙園之心則丁乙與丁丙又等是丁甲與丁丙亦等而全與、其分等也。第七題園徑離心任取一點從點至圖界任出幾線其過心線最大不過心線最小餘線愈近心者愈大愈近不過心線一者愈小、而諸線中.止兩線等. 解日甲丙丁戊乙園其徑甲乙其心己離心任取一點爲庚從庚至園界任出幾線爲庚丙庚丁庚戌題先言從庚所出諸線惟過心庚甲最大次言不過心庚乙最小三言庚丙大於庚丁庚丁大於庚戌愈近心愈大愈近庚乙愈小後言庚乙兩旁、止可出兩線等。先論曰試從己心出三線至丙至丁至戌其丙己庚角一巻而丙己己形之丙己己庚雨邊并大於丙庚一邊二十庚等於甲己己庚則庚甲大於庚丙依顯庚丁庚戌俱小於庚甲是庚甲最大次論曰己庚戌角形之己戌一邊小於己庚庚戌雨邊并一巻十而己戌與己乙等則己乙小於己庚庚戌并矣次各減同用之己庚則庚乙小於庚戌依顯庚戌小於一庚丁庚丁小於庚丙是庚乙最小三論曰丙己庚角形之丙己與丁己庚角形之丁己兩全大邊等己庚同邊。而丙己庚角大於丁己庚角。貝業於分貝業卷大角之庚丙邊。大於對小角之庚丁邊依顯庚丁廿四大於庚戌而愈近心愈大愈近庚乙愈小後論曰試依戊己乙己辛相等角而抵図冊掲界爲己辛線次從庚作庚辛線其戌己庚角形之戊己腰與庚己辛角形之辛己腰既等己庚同腰兩腰間角又等則對等角之庚戌庚辛両底亦等一卷而庚乙兩有之庚戊庚辛等矣此外若有從庚出線在辛之上即依第三論、大於庚辛。在辛之下、即小於庚辛。云庚乙兩旁止可出庚戌庚辛雨線等。雨線等。第八題園外任取一點從點任出幾線其至規内則過圖心線最大餘線愈離心愈小其至規外則過圜心線爲徑之餘者最小.餘線愈近徑餘愈小、而諸線中止雨線等。解曰乙丙丁戊園之外從甲點任出幾線其一爲過癸心之甲壬其餘爲規内甲辛爲甲庚爲甲己皆至規内線者如車輻題先言過心之甲壬最大次之指牙言近心之甲辛大於離心之甲庚甲庚又大於甲己三規外線者、如反上言規外之甲乙爲乙壬徑餘者最小車輻之奏載四言甲丙近徑餘小於甲丁甲丁又小於甲戌後言甲乙兩方止可出兩線等先論曰試從奏心至丙丁戊己庚辛各出直線其甲癸巻辛角形之甲癸癸辛兩邊并大於甲辛一邊一ニ而甲二十奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏奏甲庚甲乙酉過心之甲壬最大次論曰甲癸辛角形之癸辛與甲癸庚角形之癸庚雨・全大川守邊等甲癸同邊。而甲癸辛角。大於甲癸庚角。貝堂於分卷依顕甲庚大角之甲辛邊大於對小角之甲庚邊廿四大於甲己而規内線愈離心愈小三論曰甲癸丙角形之甲癸一邊小於甲丙丙癸兩邊并一二次毎減一相等之乙癸丙癸則甲乙小於甲丙矣依顯甲乙更小於甲丁甲戌而規外甲乙最小四論曰甲丁癸角形之内從甲與癸出甲丙丙癸兩邊此二率者毎減一相等ブ廿之丙癸丁癸則甲丙小於甲丁矣依顯甲丙更小於甲成而愈近径餘甲乙者愈小後論曰試依乙癸丙作乙癸子相等角抵図界次作甲子線其甲子癸角形之甲癸癸子雨腰與甲癸丙角形之甲癸癸丙兩腰各等面兩腰間角又等則對等角之甲子甲丙兩底亦等也吁祗此外若有從甲出線在子之上即依第四論、小於甲丙在子之下・卽大於甲丙故云甲乙兩有止可出甲丙甲子兩線等第九題園内從一點至界作三線以上皆等即此點必圜心解曰從甲點至乙丙丁園界作甲乙甲丙甲丁三直線若等題言甲點爲圜心三以上等者更不待論論曰試於乙丙丙丁界作乙丙丙丁兩直線相聯此兩線各兩平分於戊於己從甲出兩直線爲甲戌爲甲巳其甲乙戌角形之甲乙與甲戌丙角形之甲丙兩腰既等甲戊同腰乙戊戌丙兩底又等即甲戌乙與甲戌丙巻兩角、亦等一爲雨直角依顯甲己丙甲己丁亦等爲八両直角則甲戌甲己之分乙丙丙丁俱平分爲直角而本篇一此兩線俱爲函心線定相遇於甲、甲爲園心矣。之系一人一ツヽ又論曰若言甲非心心在於戊者令戊甲甲戌相聯引作己庚徑線即甲是戌心外所取丙一點而從甲所出線愈近心者宜愈大矣十篇・七四篇則甲丁宜大於甲丙而先設等何也第十題兩圍相交.止於兩點。論曰若言甲乙丙丁戊己園與甲庚乙丁辛癸{ 戊園三相交於、甲於乙於丁.於丁.令作甲乙乙丁兩直線相聯、此兩線各兩平分於壬於、次從士奏作子壬子癸兩垂線其子壬分甲乙子癸分乙丁既皆兩平分而各爲兩直角即子壬子癸本篇兩線俱爲甲庚乙丁辛戌図之面心線而子爲之系其心矣依顯甲乙丙丁戊己園亦以子爲心也夫兩交本篇可録之図尚不得同心本篇何縁得有三交五庚又論曰若言兩園三相交於甲於乙於丁一令先尋甲庚乙丁辛戌園之心於壬寅本篇次從心至三交界作壬甲壬乙壬丁三線二卷界又甲乙丙丁戊己園此三線等也。説十五内有從壬出之壬甲壬乙壬丁三相等線則壬又爲甲本篇本篇乙丙丁戊己園之心不亦交図同心乎一九五五第十一題兩圍内相切、作直線聯兩心、引出之。必至切界、解曰甲乙丙甲丁戊雨圜内相切於甲而已爲甲乙丙之心庚爲甲丁戊之心題言作直線聯聯己兩心引抵圜界ノ必至甲。論曰如云不至用而截兩園於乙丁及丙戊令從甲作甲乙甲庚兩線其甲己庚角卷形之庚己己甲兩邊并大於庚甲一邊而同園心上所出之庚甲庚丁宜等即庚己己甲大於庚丁矣此二率者各減同用之庚己即己甲亦大於己丁矣夫己甲與己乙是内図同心所出等線則己乙亦大於己丁而分大於全也可乎若曰庚為甲乙丙心己為甲丁戊心亦依前轉説之甲己庚角形之己庚庚甲兩邊并大於一卷一甲己一乙丙同圖心所出之己甲己戊宜等卽己甲己一邊一捲而同圍心所出之己甲己戌宜等即己二十庚庚甲大於己戊矣。此二率者各減同用之己庚即庚庚庚甲大於己戊矣此二率者各滅同用之己庚卯庚甲大於庚戌矣夫庚甲與庚丙是内図同心所出等線則庚丙亦大於庚戌。而分大於全也可乎第十二題兩圍外相切、以直線兩心必過切界、解曰甲乙丙丁乙戌兩園外相切於乙其甲乙丙心爲己丁乙戊心爲庚題言作己庚直甲線必過乙論曰如云不然而己庚線截兩圜界於戊於、丙令於切界作乙己乙庚兩線其乙己庚角形之己乙乙乙庚雨邊并大於己庚一邊而乙庚與庚戌乙己與己丙俱同心所出線宜各等即庚戌丙己兩線并亦大於巻庚己一線矣一二捲夫庚己線分爲庚戌丙巳尚餘丙戌而云庚戌丙巳大於庚己則分大於全也故直線聯己庚必過乙、第十三組二文第十三題二支図相切不論内外止以一點先論曰甲乙丙丁與甲戌丙己兩圖内相切若云有兩点相切於甲又於丙令作直線函兩圍心庚辛引出之一乙庚辛癸庚子己丙本篇！則甲丙一如前圖宜至相切之甲之丙如前圖宜至相切之甲之丙本篇則甲丙為兩図之同径矣而此径線者兩平分於庚又兩平分於辛何也直線止以上若云點兩平分五庚辛引出直線一抵甲、一截兩園之界於奏於壬即如後圖令從兩心各作直線至又相切之丙次問之甲乙丙丁図之心爲庚卯辛卯如曰庚也而辛為甲戌丙巳之甲心則丙庚辛角形之庚辛辛丙雨邊并大辛癸辛丙於庚丙一邊一一卷巻而庚辛辛丙與庚癸宜等同園心所二十故出 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 所出等線也将庚癸亦大於庚壬可乎如曰辛也而庚為甲戌丙己之心則丙庚辛角形之辛庚庚丙雨邊并而辛丙與辛甲宜等即辛庚庚丙大於辛丙一邊。二十亦大於辛甲矣此二率者各減同用之辛庚即庚丙亦大於庚甲也夫庚甲與庚丙者亦同圍心所出等線也而安有大小後論曰甲乙與乙丙兩園外相切於己從甲甲乙之丁心丙乙之戌心作直線相聯必過己本篇 4篇若云又相切於乙令自乙至丁至戌各十二ヵ一作直線其丁乙乙戌并宜與丁戌等而爲角一一卷則兩圓相切安得兩點一形之雨腰又宜大於丁戌一二十又後論曰更令於兩相切之乙之己作直線相聯其直本篇線當在甲乙圜内又當在乙丙園内何所置之二二支第十四題園内兩直線等即距心之遠近等距心之遠近等即兩兩卽距心之遠近等距心之遠近等即兩直線等甲庚戊先解曰甲乙丙丁園其心戊園内甲乙丁丙兩線等題言兩線距戊心遠近亦等論曰試從戌心向甲乙作戌已向丁丙作戊庚各垂線次自丁自甲至戌各作直線其戌己戊庚既各分甲乙丁丙線爲兩平分本篇而甲乙丁丙等則平分之甲己丁庚亦等夫甲戌上直角方一巻迄形與甲己己戌上兩直角方形并等町一卷等甲戌之丁一戌上直角方形与丁庚庚戌上雨直角方形并等而甲己丁庚上兩直角方形既等即戊己戌庚上両直角方形亦等則戊己戊庚兩線亦等是甲乙丁丙兩線距心天本巻界之度等説皿後解曰甲乙丁丙兩線距戊心遠近等題言甲乙丁丙両線亦等本巻界論曰依前論從戌作戊己戊庚雨垂線既等。論曰。依前論從戌作戊己戌庚兩垂線、既等本巻界而分甲乙丁丙各爲兩平分本筒其甲戌上直角方形與一巻仁甲己己戊上兩直角方形并等一號等甲戌之丁戌上直角方形與丁庚庚戌上兩直角方形并等卽甲己己戌上兩直角方形并與丁庚庚戌上爾直角方形并亦等此二率者每減一相等之己戊戌庚上直角方形即所存甲己丁庚上兩直角方形亦等是甲己丁庚兩線等也夫甲乙倍甲乙丁丙倍丁庚其半等其全必等。第十五題徑爲圜内之大線其餘線者近心大於遠心解曰甲乙丙丁戊己図其心庚其徑甲己其近心線爲辛壬遠心線爲丙丁題言甲己最大辛壬子近心大於丙丁遠心論曰試從庚向丙丁作庚癸向辛壬作庚子各垂線其丙丁距心遠於辛壬即庚癸亥大於庚子・・本巻界・次於庚癸線截庚丑與庚子等次從説四丑作乙戌為庚癸之垂線末於庚乙庚丙庚丁庚戌各作直線相聯其庚丑既等於庚子卽乙戌與辛壬各以一号本巻界本篇垂線距心遠近等而兩線亦等夫庚乙庚説四十四一巻一戊戌戊乙戊子而與甲己等即甲己大於乙戌亦二十大於辛壬矣依顯甲己大於他線則甲己最大又乙庚戊角形之乙庚庚戌雨腰與丙庚丁角形之丙庚庚丁雨腰等而乙庚戌角大於丙庚丁角則乙戌底大於丙丁底一卷廿四故等乙戊之辛壬亦大於丙丁也是近心線大於遠心線也。第十六題三支第十六題圍徑末之直角線全在圖外而直線偕園界所作切邊角一不得更作一直線入其内其半図分角大於各直線鋭角切邊角小於各直線鋭角先解曰甲乙丙園丁爲心甲丙爲徑從甲作甲丙之垂線題言此線全在図外己論曰若言在内如甲乙。令自丁至乙作直線卽丁甲乙與丁乙甲兩角等五巻乙爲直角丁乙甲亦直角乎。夫角形三角一卷書同同同三十二冊壹得形内自有両直角并。等雨直角十七号也則垂線必在圖外若己戌必不在図内若甲乙又不一。如云在界故曰全在園外、在図界之上一六十論文次解曰題又言戊甲垂線偕乙甲圖界所作切邊角不同得更作一直線入其内論曰若云可作如庚甲、令從丁心向庚甲作丁辛爲庚一卷ル夫丁甲辛角形之丁甲辛丁辛甲兩角甲之垂線十一巻而丁辛甲爲直角卽對小角之丁一番、小於兩直角、十七一卷甲丁者與丁壬爲辛線小於對大角之甲丁線矣」十九同団相等者也将丁壬亦大於丁辛乎則戊甲乙角之一内不得更作一直線而戊甲之下但有直線必入本図之内也、後解曰題又言丁甲垂線偕乙甲園界所作丙甲乙圖分角大於各直線鏡角而戊甲垂線偕乙甲圜界所作同切邊角小於各直線鋭角論曰依前論甲戌下有直線說云必入図内卽此直線偕戊甲所作各直線鋭角皆小於図分角而切邊角小於各直線鋭角系己甲線必切圖以一點庚ノ增先解目甲乙丙圖其心丁其徑甲丙從甲作戊甲爲甲丙之垂線題言戊甲全在一図外 d 増正論目試於甲戌線内、任取一點爲庚自庚至丁作直線其甲丁庚角形之丁甲庚丁庚甲雨巻而丁甲庚爲直角、即丁庚甲小於、角小於兩直角、十七直角對大角之丁庚線、大於對小角之丁甲線矣巻十九則庚點在園之外也凡戊甲以内作點皆依此論故成甲線全在圖外一增次解曰從甲作甲辛線在戊甲之下。題言甲辛必割図為分増正論曰試作甲丁壬角與戊甲辛角等其甲丁壬辛甲丁兩角并等於戊甲丁直角。必小於兩直角。而丁壬公論同十二十一年二月二十二年二月甲辛兩線必相遇フ甲辛兩線必相遇又必在國之内如壬何者壬甲丁壬丁甲兩角既與一直角等即甲壬丁必爲直角卷卅二十一一而對大角之甲丁線必大於對小角之丁壬巻記夫甲丁線僅至圓界則丁壬不能抵鬪界必線矣、十九在園之内也、同同後支前已正論或難曰切邊角有大有小何以畢不得兩分向者聞幾何之分不可窮盡如莊子尺種之義深著明矣今切邊之内有角非幾何乎此幾何何獨不可分邪又十卷第一題言設一小幾何又設一大幾何若從大者半減之減之又減必至一處小於所設小率此題最明無可疑者今言切邊之角小於直線鋭角是亦小幾何也彼直線鋭角是亦大幾何也若從直線鏡角半減之減之又減何以終竟不得小於切邊角邪既本題推顯切邊角中不得容一直線如此著明便當并無切邊角無角則無幾何此則不可得分耳且幾何原本書中無有至大不可加之率無有至小不可減之率若切邊角不可分豈非至小不可減乎答曰謬矣子之言也有図有線安得無切邊角且既言直線鋭角大於切邊角.卽有切邊角切邊角矣苟無角安所較大小哉且子言直線與図界并無切邊角則兩圍外相切亦無角乎曰然曰。試如作甲己乙図、其心而丁戊為切線、卽丁甲己為切邊角次移心於庚又作甲辛癸圖卽丁甲辛爲切邊角而小於丁甲己次移心於子又作甲丑寅圖即丁甲丑爲切邊角而又小於丁甲辛如是小之又小疑無角焉次又於切午此辰。巳丙庚子癸亥線之外以辰爲心作甲巳午圖而與前圓外相切於甲依子所説疑員無角焉然兩園外相切而以丁戊線分之不可分乎更自辰至寅作直線截兩圍之界面分丁戌爲兩平分不可分乎兩圍兩直線交羅相遇於甲也能不皆以一點乎如以一點也即此一點之外不能無空即不能不能不爲四切邊角矣子所據尺種之分無盡又言幾何原本書中無至小不可減之率也是也夫切邊角但不可以直線分之耳若用図線則可分也如甲乙庚園與丙甲丁直線相切於甲庚辛用作丁甲庚切邊大角若移一心作用壬戊辛図又得丁甲辛切邊角卽小於丁甲庚也又移一心作甲己壬園又得丁丙甲壬切邊小角卽又小於丁甲辛也如此以至無窮則切邊角分之無盡何謂不可減邪若十巻第一題所言元無可疑但以図角分圜角則與其説合矣彼所言大小雨幾何者謂夫能相較爲大能相較為小者也如以直線分直線角以図線分図線角是已此切邊角與直線角豈能相較爲大小哉。増題有兩種幾何一大一小以小率半増之遞增至於無窮以大率半減之遞減至於無窮其元大者恆大元小者恆小己甲一二解曰戊甲乙切邊角爲小率壬庚辛直線鋭角爲大率今別作甲丙甲丁等園俱切戊己線於甲其切邊角愈增愈大如前論戊庚別以庚癸庚子線作角分壬庚辛角於庚愈分愈小。然直線角恆大切邊角恆小。至終古不得相比、又增題舊有一說以一小率加一大率之上或以一大率加一小率之上不相離逐線漸移之必至一相等之処又一説有率大於此率者有率小於此率者則必有卒等於此率者昔人以為皆公論也若用以律本題即不可得故今斥不為公論解曰甲乙丙園其徑甲丙令甲丙之甲界甲一定在於甲、而引丙線逐線漸移之向己其所経丁戊己及中間逐線所経無数然依本題論則甲丙所經凡割圜時皆爲鋭角卽小於半圍分角纔離鋭角便爲直角卽大於半圖分角是所經無數線終無有相等線可見前一舊説求爲公諭.又直線鋭角皆小於半図分角直角與鈍角皆大於半圖分角是有大者有小者終無等者可見後一舊説。未爲公論也。第十七題設一點、一園、求從點作切線、法曰、甲點、求作直線切乙丙園其図心丁・先從甲作甲丁直線截乙丙園於乙次以丁爲心甲爲界作甲戌園次從乙作甲丁之垂線而遇甲戌図於戊次作戊丁直線而截乙丙圖於丙未作甲丙直線即切乙丙園於丙論曰乙戊丁角形之戊丁丁乙両腰與甲丙丁角形之一一卷界丁角同即甲丙乙戊兩底甲丁丁丙兩腰各等。説十五一同同所等。一亦等。四巻而戊乙丁爲直角卽甲丙丁亦直角則甲丙偕乙丙園之半徑丁丙爲一直角矣豈非圖之切線本篇十六之系第十八題直線切圖、從図心作直線至切界、必爲切線之垂線、解曰甲乙直線切丙丁図於丙從戌心至切界作戊丙線題言戊丙爲甲乙之垂線甲論曰、如云不然、令從戌別作垂線如至乙而論曰如云不然、令從戊別作垂線、如至乙而截丙丁圓於丁其丙戊乙角形之戌乙丙既爲直角即巻同宜大於乙丙戌角宜大於乙丙戌角十十十七、、、十七九九九未戊丙與戊丁等也戊丙大於小角之戌乙邊矣一燿夫戌丙與戊丁等也戊丙大於同戊乙則戊丁亦大於戊乙乎又論曰若云丙非直角卽其兩旁角一鋭一鋭一鈍、令乙丙本篇戊爲鋭角則鋭角乃大於半圍分角乎十六第十九題直線切圜圍内作切線之垂線則圖心必在垂線之内解曰甲乙線切丙丁戊図於丙圜内作戌丙一爲甲乙之垂線題言図心在戊丙線内甲論曰如云不然心在於己令從己作己丙直本篇而己丙甲與戊丙甲線卽己丙亦爲甲乙之垂線十八等爲直角是全與其分等矣第二十題負圜角與分圖角。所員所分之圖分同。則分圖角必倍大於負圜角解曰甲乙丙園其心丁有乙丁丙分園角乙甲丙負圖角同以乙丙圖分爲底題言乙丁丙角倍大於乙甲丙角先論分圖角在乙甲甲丙之内者曰如上圖試從甲過丁心作甲戊線其甲丁乙角形之丁甲丁乙等卽丁甲乙丁乙甲兩角等一卷而乙丁戊外角與内一卷卽乙丁戊倍大於乙甲相對兩角并等会卅一丁矣依顯丙丁戊亦倍大於丙甲丁則乙丁丙全角亦倍大於乙甲丙全角一次論分圜角不在乙甲甲丙之内而甲乙線過丁心者曰如上圖依前論推顯乙丁丙外角等於内相對之丁甲丙丁丙用兩角并卷一卷則乙丁二而丁甲丁丙兩腰等即甲丙兩角亦等二而丁甲丁丙兩腰等即甲丙兩角亦等五卷則乙丁丙角、倍大於乙甲丙角、後論分圜角在負圜角線之外而甲乙截丁丙者曰如一上図試従甲過丁心作甲戌線其戌丁丙分圜角與戊甲丙負圓角同以戊乙丙園分爲底如前次論戊丁丙角倍大於戊甲丙角角底如前次論戊丁丙角倍大於戊甲丙角依題戊丁乙分圜角亦倍大於戊甲乙負圖角次於戊丁丙角減戊丁乙角戊甲丙角減戊甲乙角則所存乙丁丙角必倍大於乙甲丙角増若乙丁丁丙不作角於心或爲半圓或大於半圓則丁心外餘地亦倍大於同底之負図角論曰試從甲過丁心作甲戌線即丁心外餘地分爲乙丁戊戌丁丙兩角依前論推顯此兩角倍大於乙甲丁・丁甲丙兩角、第二十一題凡同図分内所作負図角俱等解曰甲乙丙丁園其心戊於丁甲乙丙圖分内任作丁甲丙丁乙丙雨角題言雨角等先論函心大分所作曰試從戌作戌丁戊丙線其丁戊丙分園角既倍大於丁甲丙角丁本篇乙丙角千二乙丙角本篇即甲乙兩角自相等公論即甲乙兩角自相等ニ「七十八論後論半園分不函心小分所作、曰丁甲乙丙一丙或爲半圍分或爲不函心小分俱從甲從乙過戊作甲己乙庚雨線若不函心更從戌作庚戌丁戊丙兩線其丁戊己分圜角既倍大於本篇依顯丙戊己分圜角亦丁甲己負圜角一二十二十、倍大於丙甲己負圜角而丁戊庚庚戊己兩庚角與丁戊己一角等則丁戊庚庚戌己己戊丙三角必倍大於丁甲丙戌十二丙戌三角亦倍大於丁乙丙則丁甲丙丁乙丙兩角自相等又後論曰二十題増言分図不作角其心外餘地倍大於同底名負同僧同所各角自相等又後論曰甲丙乙丁線交羅相遇爲己試作甲乙線相聯其甲丁己角形之三角并與乙丙己角形戊戌卷次毎減一交角相等之甲「卅一之三角并等。卅一卅二 =一一巻卽己甲丁己丁用兩角并己丁・乙己丙十五、與己丙乙己乙丙兩角并等矣而甲丁乙乙丙甲丁乙丙甲丁乙丙甲丁乙丙甲丙甲丙午本題第一則丁甲丙與同在甲丁丙乙函心大分内又等一一論丙乙丁・亦等又後論曰丁丙之外任取一界爲己。作丁己。丙己兩線令俱函心而丁甲乙丙己與丙乙一甲丁己俱爲大分次於甲己乙乙乙乙乙己各作直線相聯其丁甲己與丁乙己兩角同負丁甲乙丙己圖界即等本題第一一論依顯丙乙己與丙甲己兩角同負丙乙甲丁己園界又等此二等率并之。則丁甲丙丁乙丙兩全角亦等第二十二題圜内切界四邊形毎相對兩角并與兩直角等丙・戊解曰甲乙丙丁園其心戊園内有甲乙丙丁四邊形題言甲乙丙丙丁用兩角并乙丙丁丁甲乙兩角并各與兩直角等論曰試作甲丙乙丁兩對角線其甲乙丁甲丙丁兩角同負甲乙丙丁圍分、帆等。顯丙甲丁丙乙丁兩角亦等、兩角亦等、丙乙丁兩角并爲甲乙丙一角與甲丙丁丙甲丁一兩角并等次毎加一丙丁甲角即甲乙丙丙丁甲、并與甲丙丁。丙甲丁丙丁丙丁。丙丁甲。一卷則甲乙丙丙丁甲、相對兩角并與元與兩直角等卅一卅二兩直角等依顯乙丙丁丁甲乙并亦與兩直角等第二十三題一直線上作両図分不得相似而不相等論曰如云不燃令於甲乙線上作同方兩図分相似而不相等必作甲丙乙、又作甲丁乙、其兩園相本篇交止於甲乙兩點『即一園分全在内一十一團分全在外矣次令作甲丁線截甲丙乙園一於丙未令作丙乙丁乙兩線相聯夫兩圖分相似者其一同二本負圜角宜笑三説十「則乙丙甲外角與相對之乙丁甲一卷内角等乎十六第二十四題相等兩直線上作相似兩圖分必等。解曰甲乙丙丁兩線上作甲丙乙丙己丁、相似兩圖分題言兩園分等。丙戊巳戊戊論曰甲乙丙丁兩線既等試以甲乙線加丙丁線上兩線必相合即甲丙乙丙巳丁兩圖分相加亦相合。如云不然必兩鬪分相加或在内或在外或半在内半在外矣。若在内在外卽一直線上有兩圓分相似本篇丙甲若半在内半在外即兩而不相等也。廿三日十三本篇両俱不可故相似者必図三相交也。十一等甲丙第二十五題有圜之分求成図法曰甲乙丙園分求成園先於分之兩端。甲丙線次作乙丁爲甲丙之垂線、次作甲乙線相聯其丁乙甲角或大於丁甲乙角或等或小若大即甲乙丙當爲圍之小分何也乙丁分甲丙本篇爲兩平分即知圍之心必在乙丁線内而心在之系本丁點之外則從丁點所出丁乙爲不過心徑線至小斷筒七文封小臺ノ一冊一句、八十二年七故對小邊之丁甲乙角小於對大邊之丁乙甲角也 +故對小邊之丁甲乙角小於對大邊之丁乙甲角也一巻十八即作乙甲戊角與丁乙甲角等次從乙丁引出一線、與甲戌線遇於、戊、即戌爲園心、論曰試從戊作戌丙線其甲丁戊角形之甲丁線與丙丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁戊雨巻皆直角即對直角之甲戌與戌丙兩線等。町卷夫甲戌巻與乙戊以對角等故ニ既等戊丙與甲戊又等。則從六・本管同戊至界三線皆等.而戌爲心。本篇九次法兼論目若丁乙甲丁甲乙兩角等卽甲乙丙爲半圖而甲丙爲徑丁爲心何也丁乙丁甲兩邊等然後丁乙甲・丁甲乙兩角等一巻五今丁乙甲丁甲乙兩角既等即丁乙丁甲兩線必笠一巻丁丙元與丁甲等則從丁所出三線等而丁爲図六心本篇後法曰若丁乙甲小於丁甲乙酉甲乙丙當爲圓大分何也乙丁分甲丙爲兩平分 ↓本篇一・本篇即知圖心在乙丁線内之系而丁點在本篇本篇心之外則所出丁乙爲過心徑線至大ノ七一故對大邊七巻之丁甲乙大於對小邊之丁乙甲也即作乙甲戌十八、角與丁乙甲角等而甲戌線與乙丁線遇於戌即戌爲園心論曰試從戌作戊丙線其甲丁戊角形之甲丁線與丙丁戊角形之丙丁線等丁戊同線而甲丁戊丙丁戊雨一一巻皆直角即對直角之甲戊戌丙兩線亦等一卷夫乙戌一四巻與甲戌以對角等故既等一戊丙與甲戌亦等則從五同戊至界。三線皆等而戌為心本本篇九增求圖分之心有一簡法於甲乙丙圓分任取三點於甲於乙、於丙以兩直線聯之各兩平分於丁於戌從丁從戌作甲乙乙丙之各垂線爲己丁爲己戊而相遇於己卽己爲鬪心論曰己丁己戊既各以兩直角平分甲乙乙丙兩線即本篇図之心當在兩垂線内而相遇於己卽己爲園心其用法。圖界上任取四點、爲乙爲丙爲丁毎兩點各自為心相向各任作図分四円分兩兩相交於戊於己於庚於辛從戊己從庚辛各作直線引長之交於壬卽壬爲圖心論曰試作甲戌戊乙乙乙己己甲、四直線此四線各爲同圖等圖之半徑各等即甲戊己角形之甲戊己甲己戌兩角等而乙戊己角形之乙戊己乙己乙己乙己戊己戊己戊己己乙己己戌兩角亦等次作甲乙直線分戊己於癸即甲己癸角形之甲己邊與乙己癸角形之乙己邊等己癸同邊而對甲己癸角之甲癸邊與對乙己癸角之乙癸邊亦等則甲癸己乙癸己俱爲直角而戌巳線必過心本篇則甲癸己乙乙癸己俱爲直角而戊己線必過心依顯庚辛線亦過心而相遇於壬爲図心一支第二十六題等圜之乘團分角或在心或在界等其所乘之圖分亦等て庚丙先解在心者曰甲乙丙丁戊己兩園等其心爲庚爲辛有甲庚丙與丁辛己兩乘園甲角等題言所乘之甲丙丁己兩圍分亦等論曰試於甲乙丙丁戊己兩園分之上任戊ル辛人取兩點於乙於戊從乙作乙甲乙丙從戊作戊丁戊己各兩線次作甲丙丁己兩線相聯其乙與戊兩角既各半於庚辛兩角本篇卽乙與戊自相等而所負甲乙丙與丁戊己兩園二十・本卷界分相似 ※又甲庚丙角形之甲庚庚丙雨邊與丁説十辛己角形之丁辛辛己両邊各等庚角與辛角又等即一卷甲丙與丁己兩邊亦等而相似之甲乙丙與丁戊甲丙與丁己兩邊亦等一朱而相似之甲乙丙與丁戊一本篇己雨図分在等線上亦等、 ”夫相等園減相等園分廿四則所存甲丙丁己兩園分亦等故云等角所乘之圍分等。一後解在界者曰兩圍之乙與戌兩乘圜角等題言所乘之甲丙丁己兩園分亦等論曰乙戊雨角既等而庚辛雨角各倍於乙戌即庚辛本篇自相笙依前論甲丙丁己兩邊亦自相等而甲乙白椎等会二十同所丙與丁戊己兩園分亦等今於相等園減相等園、廿四分則所存甲丙丁己兩團分亦等注曰後解極易明蓋庚辛角既各倍於乙戌則依先在心之乘圜角卽一論甲丙丁己自相等分圜角隨類異名第二十七題一支等圖之角所乘圜分等則其角或在心或在界俱等先解在心者曰甲乙丙丁戊己雨図等其心爲庚爲辛先解在心者曰甲乙丙丁戊己兩圍等其心爲庚爲至若甲庚丙乘圖角所乘之甲丙分與丁辛己所乘之丁己分等題言甲庚丙丁辛己兩角等論曰如云不然而庚大於辛、令作甲庚壬角與丁辛己角等卽甲壬園分宜與丁己本篇図分等而甲丙與丁己元等則甲壬廿六與甲丙亦等乎。後解在界者曰甲丙丁己兩團分等題言其上乙戊雨角亦等論曰如云不然而乙大於戊令作甲乙壬角與戊角等其甲乙壬與丁戊己若等即本篇所乘之甲壬丁己宜等而甲丙與丁己元等則甲廿六壬與甲丙亦等乎。同断同増題從此推顯兩直線不相交而在一圖之一丙若兩線界相去之図分等則兩線必平行若兩線平行則兩線界相去之図分等先解曰甲乙丙丁園内有甲丁乙丙兩線其相去之甲乙丁丙兩圖分等題言兩線必平行一論曰試自甲至丙作直線相聯其甲乙丁丙既等卽甲日本丙乙與丙甲丁兩乘園角亦筮既内相對之兩角等丙乙與丙甲丁兩乘園角亦等本既内相對之兩角等巻即雨線必平行廿七日後解曰甲丁乙丙爲平行線題言甲乙丁丙兩圖分必一等等論曰試作甲丙線其甲丁乙丙既平行卽内相對之兩巻巻而所乘園分甲乙丁丙亦角甲丙乙丙甲丁必等廿七仝本篇等廿六・廿六第二十八題等園内之直線等則其割本圍之分大與大小與小各等解曰甲乙丙丁戊己兩図等其心爲庚爲辛圖内有用丙丁已雨直線等題言甲乙丙與丁戊己兩大分甲丙與丁己兩小分各等乙庚論曰試於甲庚庚丙丁辛辛己各作直線其甲庚丙角形之甲丙與丁辛己角形之丁己兩底既等而甲庚庚丙雨腰與丁辛辛巳雨戊辛一卷一腰又等即庚辛兩角亦等其所乘之甲 )腰又等即庚辛兩角亦等一卷其所乘之甲本篇丙丁己雨小分必等次減相等之甲丙廿六丁己兩小分則所存甲乙丙丁戊己兩大分亦等第二十九題等図之図分等則其割図分之直線亦等解曰依前題兩園之甲乙丙丁戊己乙庚兩圍分等而甲丙丁己兩園分亦等題言甲丙丁己兩線必等論曰依前題作四線其甲庚丙角形之甲庚庚丙雨腰與丁辛己角形之丁辛辛己兩腰等而庚辛兩角所乘四十六年之甲丙丁己雨図分等即庚辛雨角亦第三十七日半年三十七日角之甲丙丁己雨線必等一番巻四注曰第二十六至二十九四題所説俱等図其在同図亦依此論第三十題有図之分。求兩平分之、内法曰甲乙丙圖分求兩平分先於分之兩界・作甲丙線次兩平分於丁從丁從丁作乙丁爲甲 1丙之垂線卽乙丁分甲乙丙園分爲兩平分論曰從乙作乙甲乙丙兩線其甲乙丁角形之甲丁與丙乙丁角形之丙丁兩腰等丁乙同腰而甲丁乙與丙丁乙兩直角又等即對直角之甲乙乙丙兩底亦等巻五本篇四而甲乙與乙丙兩園分亦等則甲乙丙園界兩十八平分於乙矣第三十一題五文第三十一題丁負牛園角、必直角、負大分角、小於直角、負小分角大於直角、大園分角、大於直角、小於直角、小於直角、小於直角、小於直角角大園分角大於直角小図分角小於直角解曰甲乙丙園其心丁其徑甲丙於半圖分内任作用乙丙角形即甲乙丙角負甲乙丙半圖分乙甲丙角負乙甲丙大分又任作乙戊丙角負乙戌丙小分題先言負半圓之甲乙丙爲直角二言負大分之乙甲丙角小於直角三言負小分之乙戌丙角大於直角四言丙乙甲大図分角大於直角後言丙乙戊小園分角小於直角先論曰試作乙丁線次以甲乙線引長之至己其丁乙一同第一巻依顯丁乙今五丁甲兩線等卽丁乙甲丁甲乙兩角等一卷依顯丁乙一丙丁丙乙兩角亦等而甲乙丙全角與乙甲丙甲丙乙兩角并等又己乙丙外角亦與相對之乙甲丙甲丙乙二卷乙乙乙乙丙卯甲乙丙卯甲乙丙卯甲乙丙乙乙乙乙乙丙乙乙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙丙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙丙乙乙乙乙乙丙乙丙兩内角并等卅二二論曰甲乙丙角形之甲乙丙既爲直角則乙甲丙小巻於直角十七三論曰甲乙戊丙四邊形在園之内其乙甲丙乙戊丙米篇相對兩角并等兩直角而乙甲丙小於直角則乙一廿一戊丙大於直角四論曰甲乙丙直角爲丙乙甲大園分角之分則大於直角後論曰丙乙戊小園分角爲己乙丙直角之分則小於直角此題別有四解四論先解曰甲乙丙半圖其心丁其上任作甲乙丙角題言此爲直角論曰試作乙丁線其丁乙丁甲兩線既等即巻而乙丁丙外丁乙用丁甲乙兩角亦等一五角既與丁乙甲丁甲乙相對之兩内角并等甲冊一冊一巻卅二即倍大於丁乙甲角依顯乙丁甲外角亦倍大於丁乙丙角卽乙丁甲乙丁丙兩角并亦倍大一一卷則用於甲乙丙角夫乙丁甲乙丁丙并等雨直角一於甲乙丙角夫乙丁甲乙丁丙并等兩直角角則甲十三乙丙爲直角二解曰甲乙丙大図分其心丁任作甲乙丙角題言此一小於直角論曰試作甲丁戊径線次作乙戌線相聯其本題甲乙戊既爲直角ニ即甲乙丙爲其分而一論小於直角六三解曰甲乙丙小園分其心丁。任作甲乙丙角題言此大於直角論曰試作甲丁戊徑線而引乙丙圜界至戌次作乙戊線其甲乙戌既負半圜之直角而爲甲乙丙角之分則甲乙丙大於直角一四五合解曰甲乙丙大園分丙丁甲小園分其心戊題言同甲乙大圖分角大於直角。大於直角、大於直角、小松、戊直角論曰試作乙戌丙徑線次作乙甲線引長之至己其乙甲丙直角爲丙甲乙大圖分角之分而丙甲丁小園分角又爲己甲丙直角之分則大分一角大於直角小分角小於直角一系凡角形之内一角與兩角并等其一角必直角何者其外角與内相對之兩角等則與外角等之内交角一豈非直角二系大分之角大於直角小分之角小於直角終無有角等於直角又從小過大從大過小。者大卽小。終無相等依此題四五論甚明與本篇十六題増注互相發也第三十二題直線切圍從切界任作直線割圜爲兩分分内各任爲負圜角其切線與割線所作兩角與兩負圜角交互相等解曰甲乙線切丙丁戊園於丙從丙任作丙戌直線割図爲兩分兩分内任作丙丁戊丙庚戌雨負圜角題言甲丙戌角與丙庚戌角乙丙戌角與丙丁戊角交互相等先論割圜線過心者曰如前圖甲丙戌乙丙戌兩皆直一卷角角十リ十八而丙庚戌丙丁戊雨負半園角亦皆直角本篇卅一庚乙庚則交互相等後論割圜線不過心者曰如後圖試作丙己過心直線次作戊己線相聯其己丙爲本篇一卷甲乙之垂線而丙戊己為直角十八卅一卽戊丙己戊己丙兩角并等於一直角亦丙子等於甲丙己角矣此兩率者各減同用之戊丙己角即所存戊己丙與甲丙戌等也本篇夫戊己丙與丙庚戌元等則甲丙戌廿一與丙庚戌交互相等又丙丁戊庚四邊形之丙丁戊丙丁戊丙丁戊辰丙丁戊丙丁戊丙丁戊丙丁戊戌亥巳之丙丁戊丙午本篇{ 庚戌。雨對角并。等雨直角。而甲丙戌。乙丙戌雨交廿二一卷角、亦等雨直角此二卒者、各減一相等之甲丙戌十三丙庚戌則所存丙丁戊乙丙戌亦交互相等第三十三題一線上求作圜分面負団分角與所設直線角等一先法曰設甲乙線丙角求線上作圖分而負図分角與丙等其兩角或直或鋭或鈍若直角先以甲乙兩平分於丁次以丁爲心甲乙ニ爲累作半園圖分内作甲戌乙角卽負半圖本篇角為直角卅一如所求。次法曰若設丙鋭角先於甲県上作丁甲乙鋭角與丙一等次作戊用爲甲丁之垂線於甲乙之上次作己乙甲角與己甲乙角等而乙己線與甲戊線遇於己即己乙己甲兩線等丙ノ半六未以已爲心甲爲累作甲庚園必過乙一即甲庚乙図分内甲乙線上所作負図角必爲鋭角面與丙等論曰試作甲庚乙角其甲己戌線過己心而丁甲又爲本篇十戊甲之垂線卽丁甲線切甲庚乙園於甲則一六之系貝」則丁六之系曰五本篇甲乙與甲庚乙兩角交互相等如所求、卅二後法曰若設辛鈍角依前作壬甲乙鈍角與辛等次作戊甲。爲壬甲之垂線餘倣第二法而於甲乙線上作甲同同十十十二十二十一後論同次. 第三十四題設図求割一分而負圜分角與所設直線角等十巳法曰設甲乙丙園求割一分而負圓分角本篇與丁等、先作戊己直線切図於甲次十七作己甲乙角與丁等。卽割圍之甲乙線上戊所作甲丙乙角負甲丙乙圖分而與丁等何者己甲乙角與丁等亦與甲丙乙交互相等故躰本篇卅二第三十五題図内兩直線交而相分各兩分線矩内直角形等解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁雨線交而相分於戊題言甲戌偕戊乙與丙戌偕戊丁甲ノ兩矩内直角形等其兩線或俱過心或一過心一不過心或俱不過心若俱過心者其各分四線等即雨矩内直角形亦等咒論曰、國内線。獨丙丁過己心者又有二種内其一丙丁平分甲乙線於戊即丙戌線在甲本篇 ”試作己乙線相聯其丙乙上、成雨直角、二一丁線既兩平分於己又任兩分於戊卯丙戌偕戊丁矩内直角形及己戌上直角方形并與等己丁之己乙上一卷夫己乙上直角方形與己戊戌乙上直角方形等□□□夫己乙上直角方形與己戊戌乙上一卷両直角方形并等即丙戊借戊丁矩内直角形及ノ今四七自己戌上直角方形并与己戌戊乙上兩直角方形并亦等矣次毎減同用之己戌上直角方形則所存丙戌借戊丁矩内直角形不與戊乙上直角方形等乎戊乙與甲戌既等即甲戌偕戊乙矩内直角形與丙戌借戊丁同九九十四九一九二一二次論曰若丙丁任分甲乙線於戌即以甲乙線兩平分一於庚次於庚己己乙乙各作直線相聯。卽己庚本篇其丙戌借爲甲乙之垂線、而成兩直角、一一戊丁矩内直角形及己戌上直角方形并與一一卷等己丁之己乙上直角方形等二卷而己戊・一卷上直角方形與己庚庚戌上雨直角方形并等四七七乙上直角方形與己庚庚乙上兩直角方形并亦等則丙戌借戊丁矩内直角形及己庚庚戌上雨直角方形并與己庚庚乙上兩直角方形并等次每減同用之己庚上直角方形即所存丙戌借戌丁矩内直角形及庚成上直角方形不與庚乙上直角方形等平夫甲戊借戌乙矩内直角形及庚戌上直角方形并亦與庚乙上巻同十一月直角方形等此二相等率者毎減同用之庚戌上五直角方形則丙戌偕戊丁與甲戌借戊乙兩矩内直角形等矣、庚後論曰、國内兩線俱不過心者、又有二種或一線平分或兩俱任分皆從己心與戊相聯作直線引長之爲庚辛線依上論甲戊借戊乙矩内直角形不論甲乙線平分任分皆與己… 過心之庚戌偕戌辛矩内直角形等又依上論丙戌偕戊丁矩内直角形不論丙丁線平分任分亦与過心之庚戌偕戌辛矩内直角形等則甲戊午戊乙與丙戌借戊丁兩矩内直角形等第三十六題圖外任取一點從點出兩直線、一切圖、一割圍、其割圍之全線借規外線矩内直角形與切図線上直角方形等解曰甲乙丙園外任取丁點從丁作丁乙線切圍於乙本篇巨十七作丁甲線截図界於丙題言甲丁偕丙丁矩内直角形與丁乙上直角方形等先論丁甲過戊心者曰試作乙戌線爲丁本篇乙之垂線其甲丙線平分於戊又引十八出一丙丁線卽甲丁偕丙丁矩内直角形及等戊丙之戌乙上直角方形并與戊丁上直角方形等二巻而戌一卷丁上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形并等四七即甲丁偕丙丁矩内直角形及戊乙上直角方形并與戊乙丁乙上兩直角方形并等此兩率者每減同用之一戌乙上直角方形則所存甲丁偕丙丁矩内直角形與丁乙上直角方形等後論丁甲不過戊心者曰試以甲丙線兩平分於己次従戌心作戊己戌丙戌丁戊乙四線即戊乙為丁乙之本篇本篇戊己爲甲丙之垂線. 垂線十八其甲丙線既兩平三戊戌分於己又引出一丙丁線卽甲丁借丁丙間矩内直角形及己丙上直角方形并與己一卷次毎加一戊己上丁上直角方形等」六直角方形即甲丁偕丁丙矩内直角形及己丙戊己上兩直角方形并與己丁戊己上兩直角方形并等夫己丙戊己上兩直角方形并與等戊丙之戊乙上直角方形巻等．而戊丁上直角方形與己丁戊己上兩直角方等四七形并等卽甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形井與戊丁上直角方形等矣又戊丁上直角方形與戊乙丁乙上兩直角方形并等卽甲丁借丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形并與戌乙丁乙上兩直角方一形并等次毎減同用之戌乙上直角方形則所存甲丁借丁丙矩内直角形與丁乙上直角方形等甲一系若從圖外一點作數線至規内各全線借規外線矩内直角形俱等如從甲作丙甲丙甲丁甲戊各線截圖界於己於庚於辛其甲丙偕己甲甲丁偕庚甲甲戌借辛甲各矩内直角形俱等何者試作甲乙切圜線則各矩一線内直角形與甲乙上直角方形俱等故二系從圜外一點。作兩直線切圍、此兩線等テ如甲點作甲乙甲丙兩切圜線即甲丙與甲乙等何者試從甲作甲丁線截圖界於戊其甲乙甲丙上兩直角方形各與甲丁偕甲戌矩内直角一本形等本則此両直角方形自相等形等問三系從圜外一點止可作兩直線切圍若言戊戌一從甲既作甲乙甲丙兩線切圜又可作甲丁線亦切図令從戌心作戌乙戊丁兩線即甲本篇乙戌為直角而甲丁戌亦宜等爲直角一試作甲戌十八直線則甲乙戌角形内有甲丁戊角應大於甲乙戌角廿巻左安得爲直角也又甲乙甲丁若俱切圜即兩線宜第本題試作甲戊線截園於己則甲丁爲近己線甚小同一一糸二一當小於遠己之甲乙線本論又安得相等也故一點上止可作切園線兩也。第三十七題圖外任於一點出兩直線一至規外一割圖至規内而割図全線借割図之規外線矩内直角形與至規外之線上直角方形等則至規外之線必切図解曰甲乙丙圖其心戊從丁點作丁乙至規外之線遇圜界於乙、又作丁甲割園至規内之線而截圍界於丙其丁甲偕丁丙矩内直角形與丁乙上直角方形等題言丁乙爲切圜線本篇』論日試從丁作丁己線切圍於己本作戌乙戊己兩線相聯若丁甲不過戌心者又作丁戊直線其丁已上直角方形與本篇而丁乙丁甲借丁丙矩内直角形等卅六上直角方形與丁甲借丁丙矩内直角形亦等則丁乙丁己上兩直角方形自相等而丁乙丁己一兩線亦等夫丁乙戌角形之丁乙乙戌與丁己戊角形之丁己己戌谷兩腰等丁戈司民即兩角杉之三角各之丁己己戊各兩腰等丁戊同底即兩角形之三角各第一巻等 2而對丁戊底之丁己戊爲直角等に本篇十亦直角故丁乙爲切二線一六之系本篇即丁乙戊千八、 □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□